2부 피타고라스에서 유클리드까지의 원론

[pinetree]

파라오가 다스리고 신이 보살펴 주던 지금으로부터 약5천년전 수학은 물난리가 난 땅 위에서 비로소 시작됐습니다. 고대 이집트인들은 땅을 재고 세금을 매기면서 수학을 발전시켰습니다. (이집트 피라밋드), 그들의 문명은 기하라는 토대 위에 건설됐습니다. 새로운 수학은 새로운 땅에서 새로운 문명과 함께 시작됩니다.

아테네는 세계에서 여섯번째로 관광객이 많은 도시입니다. 사람들이 이 도시에서 찾는 건 지금이 아닙니다. 약2500년전에 있었던 한 고대국가죠. 지금의 관광객처럼 말입니다. 당시 이 땅에 살았던 조상들은 배우는데 열심인 민족이었습니다. 그들은 남의 것을 받아들이는데 전혀 거리낌이 없었죠. 타인의 문화를 완전히 흡수하고 자신의 것으로 만든 후 새로운 것을 내놓았습니다.

오늘 우리는 하나의 시대, 그리고 한권의 책에 대해서 얘기하고자 합니다. 짧지만 강렬했던 이 시대를 살았던 수많은 이들은 눈에 보이지 않는 것들을 이해하려고 노력을 했습니다. 그리고 그것을 한권의 책에 담았습니다. 그 책의 내용은 2천년 동안 읽히고 또 읽혔습니다. 저도 (남명렬 배우) 읽었고 여러분도 읽은 책입니다. (그리스 국립도선관), 저는 방금 서양 문화의 심장으로 들어왔습니다. 흔히 고대 그리스를 서양문화의 출발이라고 합니다. 제가 보고 싶은 고대 그리스는 외형이 아니라 정신입니다. 바로 이 도서관에 있죠. 우리가 읽었던 유명한 고대 그리스는 많습니다. 소크라테스, 플라톤, 아리스토텔레스 또 신화도 있죠. 그러나 가장 많이 읽힌 책은 따로 있습니다. 바로 이 책입니다. EUCLIDES (유클리드의 원론), 원론은 당시 왕이 배웠던 수학책입니다. 프톨레마이어스 1세는 제국의 왕으로서 논리 윤리 철학 등과 함께 필수과목으로 수학을 베웠습니다. 왕에겐 특히 수학수업이 가장 중요했습니다. 스승이 왔습니다(원론의 저자 유클리드), 그런데 왕은 왜 수학을 베워야 했을까요. 원론 안에는 언뜻봐도 낯선 모양들로 가득차 있습니다. 왕이 이것을 배웠다니 뜻밖입니다. 그 이유를 알려줄 첫번째 도형이 여기에 있네요.

피타고라스는 석가모니와 공자, 노자와 같은 시대 사람입니다, 사모스 섬의 피타고라스는 예언자며 신비론자였습니다. 철학자 탈레스의 제자 였다고도 하죠. 그는 이집트와 바벨론 등지를 이십년 넘게 돌아다니다가 이제 막 고향 사모스에 도착했습니다. 세상은 무엇으로 이루어졌을까. 당시에 그리스 지식인들 사이에는 사물의 뒤에 숨은 보이지 않는 원리를 찾는 것이 대유행이었습니다. 피타고라스도 그 질문에 답하기 위해 긴 여행을 떠났었죠. 이집트 사막에는 그리스의 파르테논 보다 2천년전에 지어진 거대한 건축물이 서있었습니다. 피타고라스가 본 것은 지금과 달랐습니다. 외장석에 햇빛이 반사돼 찬란하게 빛이 났죠. 그리스인답게 여기서 그는 이집트 사람들은 관심이없었던 어떤 것을 봅니다. 거대함과 피라밋드를 제거하고 남은 단순한 도형, 저 거대한 직각 삼각형과 이 작은 직각 삼각형은 같습니다. 이집트 사람들은 직각 삼각형을 이루는 세변의 비를 알고 있었습니다. 3대 4대 5, 이 숫자는 왜 직각 삼각형을 이룰까요. 바벨론에서는 더 놀라운 것을 봅니다. (플림튼 322), 숫자를 쓴 석판입니다. 쐐기문자를 현대 숫자로 풀어보니 110 169, 3367 4825, 4601 6649, 12709 18541, 65 97, 319 481, 2291 3541, 799 1249, 541 769, 4961 8161, 24 75, 1679 2929, 161 289, 1771 3229 직각 삼각형을 이루는 숫자들이 3 4 5 말고도 이렇게나 많았습니다. 직각 삼각형을 이루는 세개의 숫자는 많습니다. 그런데 왜 어떤 수는 되고 어떤 수는 안되는걸까요. 그 실마리는 고향 사모스 섬에서 풀게 됩니다.

피타고리안 항구 그리스 사모스, 사모스 섬은 그리스 남동쪽에 위치한 작은 섬입니다. 피타고라스는 지금까지도 유명해서 이 항구는 그의 이름을 빌리고 있습니다. 인구 5만이 사는 지금은 조용한 관광지이지만 당시엔 그리스에서 손꼽히는 상업요충지였습니다. 무명의 청년으로 사모스 섬을 떠났던 피타고라스는 돌아와서는 그리스 전체에서 가장 유명한 인사가 됩니다. 우리도 알고 있는 바로 그의 직각 삼각형 때문입니다. 직각 삼각형에는 피타고라스의 이름이 붙어 있습니다. 피타고라스의 정리라는 유명한 공식이죠. 이집트와 바벨론에서도 이미 그 숫자들을 알았는데 왜 피타고라스 이름이 붙었을까요. (한 그리스인 남자가 현악기 연주), 아름다운 연주, 음악에 힌트가 있습니다. 고향에 돌아와서도 피타고라스는 이집트와 바벨론에서 발견한 숫자를 계속 쫓아갑니다. 생각하기 좋아하는 그리스인, 포기하지 않습니다. 그러던 어느날 대장간을 지나다가 소리를 듣습니다. (대장간 쇠 두드리는 소리), 늘 듣기 싫던 소리였습니다. 그런데 그날은 좋게 들렸습니다. 평소와 달리 이렇게 좋은 소리가 나는 이유는 뭘까. 불의 온도, 쇠의 재질, 도대체 무엇이 그 차이를 만든걸까. 비밀은 길이에 있었습니다. 베타와 감마, 2와 3 이라는 숫자였죠.

-피타고라스가 찾은 3과 2의 길이는 도와 솔 이었습니다. 완전 5도를 이루는 음정이죠. 3과 2, 즉 3분의 2의 비율은 어떤 것이든 화음을 이룹니다.

여기서 피타고라스는 한 걸음 더 나갑니다. 3분의 2가 화음을 이룬다면, 그 3분의 2의 3분의 2도 화음을 이룰 것입니다.

어떤 선분과 그 3분의 2가 되는 선분은 화음을 이룹니다. 그 원리를 적용해 피타고라스는 계속 조화로운 소리를 찾아냅니다. 어떤 길이의 3분의 2씩, 계속 찾아본 화음입니다. 이것을 다시 배열합니다. 비율을 유지한 채 길이를 늘려봅니다. 다시 들어볼까요. –도 레 미 파 솔 라 시 도- 우리가 아는 7음계는 이렇게 만들어졌습니다. 피타고라스는 비로서 조화를 이루는 것에 비밀을 알게 됐습니다. 음악은 끝없이 아름다운 세계로 우리를 데려갑니다. 피타고라스 이전까지 우리는 음악은 저절로 생겨나는 아름다움이라고 생각했죠. 그러나 감동의 비밀을 찾아가다 보면 길이의 비, 즉 수의 비율과 만나게 됩니다. 음과 음 사이에 있는 이 정수의 비는 음악에만 존재하는 것일까. 피타고라스는 오랜 질문에 답을 찾습니다. 이 세상은 정수의 비로 이루어졌다. 물이나 흙같이 세상의 원리를 물질에서만 찾았던 그리스 사회에, 피타고라스는 파문을 던집니다. 세상을 구성하는 보이지 않는 수, 피타고라스는 정신의 세계로, 그리스인들을 초대합니다. 그는 이집트와 바벨론에서 봤던 숫자들에 관계도 알게 됩니다. 직각 삼각형을 이루는 세변의 관계, 그것을 우리는 피타고라스의 정리라고 부릅니다. 그 크기가 크든 작든 바다에 있든 땅에 있든 우주에 존재하는 모든 직각 삼각형은 피타고라스의 정리를 따릅니다. 피타고라스 정리는 a제곱+b제곱=c제곱 입니다. 즉 한변이 a인 정사각형과 b인 정사각형을 합하면 c인 정사각형과 넓이가 같습니다. 세상 모든 직각 삼각형은 이 공식을 만족시킵니다. a제곱+b제곱=c제곱 3제곱+4제곱=5제곱 5제곱+12제곱=13제곱, 이집트와 바벨론에서 봤던 숫자들도 이 숫자들이었습니다. 7제곱+24제곱=25제곱 8제곱+15제곱=17제곱 9제곱+40제곱=41제곱 11제곱+60제곱=61제곱

-피타고라스에서 수학이 출발했다고 해도 좋겠습니다. 사모스의 피타고라스 기원전 580~496, 우리가 피타고라스를 기억하는 이유는 그가 증명을 통해 법칙을 만들었기 때문입니다. 이집트와 바벨론에서는 그 숫자만을 알았지 법칙이 있다는 걸 몰랐습니다. 피타고라스로 인해 수학은 드디어 정신을 얻었습니다. 직각 삼각형은 영원히 피타고라스의 소유가 됩니다. 그리스 어디서든 조금만 달리면 이런 바다를 만날 수 있습니다. 1400여개의 섬이 점점히 흩어져 있는 나라지만 피타고라스의 사상은 그리스 전역으로 퍼지죠. 우리는 백년쯤 후로 달려가 볼까요. 히파수스란 한 청년이 고뇌에 잠겨 있습니다. 히파수스, 피타고라스 학파의 일원입니다. 히파수스도 피타고라스의 신념을 쫓아 회원이 되었지만 어떤 의심이 생겼습니다. 의심은 피타고라스가 가장 자랑스럽게 여겼던 직각 삼각형에 있었습니다. 피타고라스 학파의 회원들은 흰옷을 입었습니다. 늘 함께 토론하고 연구성과도 같이 나누어 가졌습니다. 외부에서 논쟁을 걸어오면 함께 맞섰습니다. 그들은 여전히 세상이 정수의 비율로 이루어졌다는 것을 굳게 믿었습니다. 히파수스도 마찬가지였죠. 오늘은 엘리야의 제논이 논쟁을 걸어옵니다. 그는 피타고라스의 정수론을 공격합니다. 함께 들어 볼까요.

아킬레스가 달리기를 합니다. 거북이가 몇 미터 앞에서 출발한다면 아킬레스는 거북이를 결코 못이깁니다. 왜 그럴까요. 아킬레스가 거북이 있는데까지 왔습니다. 그 시간만큼 거북이는 앞으로 더 나아갑니다. 또 아킬레스가 달립니다. 거북이는 그 시간만큼 더 나아갑니다. 아킬레스는 아무리 애를 써도 거북이를 못따라잡죠~ 제논은 이렇게 피타고라스 정수론을 공격했죠. 공은 이제 피타고라스 학파에게 넘어왔습니다.

-피타고라스 학파는 제논이 틀렸다는 것을 증명하지 못합니다. 당연합니다. 제논의 주장에는 무한의 개념이 포함되어 있는데 이것은 19세기가 되어서야 그 실체를 드러낼 만큼 아주 복잡한 개념이기 때문이죠. 피타고라스 학파는 여자 회원을 받아드릴 정도로 개방적이었지만 비밀주의를 고수했습니다. 회원들은 그 진리를 외부에 발설하지 않기로 서약했습니다. 물론 발표도 개인의 이름이 아니라 학회 이름으로 했죠. 이 세상이 정수의 비로 이루어졌다는 피타고라스의 믿음은 우주 전체에 까지 확대된 신념이었습니다. 이들의 모임은 어쩌면 종교집단에 가까웠다고 해야 옳겠습니다. 히파수스도 비밀서약을 했습니다. 안다해도 밖으로 발설할 수 없죠. 게다가 그가 아는 것은 학회 안에서도 받아들여질 수 없는 진실이었습니다. 피타고라스의 정리는 a가 각각 1이면 c는 얼마일까요? 즉 제곱을 해서 2로 딱 떨어지는 그 수를 찾아야 합니다. 1보다는 크고 2보다는 작은 어딘가에 있습니다. C=1.414213562 계속 찾아들어가 보면 있을 거라고 생각했습니다. 히파수스는 그 수가 없다는 걸 알아버립니다. 그것은 정수로 이루어진 피타고라스의 세계가 무너지는 걸 의미했죠. 히파수스가 찾은 수는 그때까지는 없던 새로운 숩니다. 루트2, 무리수죠. 히파수스는 피타고라스 세계의 너머를 가버린 겁니다. 동료들이 그의 세계를 쫓습니다. 그는 계율을 어긴 자입니다. 진실은 시대의 상식으로는 이해할 수 없을 때가 있죠. 동료들은 그를 묵인할 수 없습니다. 진실이 벼랑 끝에 다달았습니다. 피타고라스 학파는 히파수스를 물에 빠뜨려 죽였다고 합니다. 그러나 히파수스의 발견은 그보다 오래 살아 남았습니다.

-히파수스는 그 길이를 그때까지 존재하는 어떤 수로도 나타낼 수 없음을 증명했습니다. 그것은 새로운 수의 세계가 존재한다는 말이죠. 그렇다면 히파수스는 이 보이지 않는 수의 세계가 존재하는 것을 어떻게 알았을까요. 그것이 바로 증명의 힘입니다.

-이 세상은 무엇으로 이루어졌을까. 그리스 사람들은 이것으로 논쟁했습니다. 물이다, 불이다, 논쟁은 논쟁을 낳았습니다. 말뿐인 논쟁을 하던 그들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냅니다. 바로 증명입니다. 그것은 수학, 당시로서는 기하에서 왔습니다.

-모든 기하는 점에서 출발합니다. 점이란 무엇인가가 정의되지 않으면 기하는 출발 할 수 없습니다. 우리는 이걸 점이라고 합니다. 하지만 조금만 더 확대해 보면 의미가 모호해집니다. 이건 점일까요? 원일까요? 수학에서 점은 실제로 존재하는 것이 아닌 추상적인 논리의 개념입니다. 점이란 무엇인가? 라는 주제에만 그리스의 수많은 학자들이 매달렸습니다. 여기 위대한 그리스의 학자들이 있습니다. 맨처음 점을 정리한 사람은 피타고라스 (Pytta goraas)입니다. –“점은 위치가 있는 단자”라고 했죠. 피타고라스의 제자 플라톤은 점은 선의 시작이라고 했습니다. 그래서 점은 쪼갤 수 없는 선이라 불렀죠. 플라톤의 제자 아리스토텔레스는 스승의 주장을 반박했습니다. 점이 쪼갤 수 없는 선이라면 그 끝이 있어야 한다. 그렇다면 그 끝은 무엇인가? 유클리드는 이전에 철학자들이 인정하던 설을 그대로 인용했습니다. 그래서 얻은 결론은 이것입니다. “점은 쪼갤 수 없는 것이다” 원론의 첫 문장입니다. 그리고 선, 면, 원론은 23가지 정의를 나열하면서 시작합니다. 프톨레마이어스 1세의 원론 수업은 긴 편입니다. 23가지 정의는 유클리드 혼자만의 것이 아니라 그리스 시대 전체가 미친 것이죠. 유클리드는 이 정의를 이용해 왕에 증명하는 법을 가르칩니다. 원론의 방식으로 세상을 풀었던 사람들이 남긴 유산입니다. 주춧돌을 시작으로 돌을 하나씩 쌓아올려 완성한 전체는 그리스인의 사고를 닮았습니다. 생각하는데도 주춧돌이 필요하죠. 증명할 수는 없지만 옳다고 여기는 것 공리가 그런 역할을 합니다. 원론에는 정의 다음에 공리가 나옵니다.

공리1, 모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있다. (너무 당연한 소리인데 그리스인들은 이런 것까지 따졌습니다)

공리2, 유한한 직선이 있으면, 그것을 얼마든지 길게 늘일 수 있다.

공리3, 임의의 점에서 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

공리4, 직각은 모두 서로 같다.

공리5, 평행선은 영원히 만나지 않는다.

그로부터 2천년이 지났지만 아직까지 원론은 우리 삶에 영향을 미치고 있습니다. 복잡해 보이지만 이 사회도 우리가 서로 합의한 공리 위에서 출발했습니다. 뉴욕 항구에 세워진 이 조상은 미국 독립을 상징합니다. 왼손에는 독립선언문을 들고 있죠. 미국의 독립선언문도 원론의 구성방식을 따릅니다. 모든 사람은 평등하게 태어났다는 공리에서 출발해 영국으로부터 독립해야 한다는 결론을 이끌어내고 있죠. 뉴턴의 프린키피아 스피노자의 윤리학 등 많은 책들이 원론의 형식을 따르고 있습니다. 원론은 수많은 석학들의 가슴을 설레이게 한 완벽한 텍스트였습니다. 어떤 길이의 직선으로 정삼각형을 만들어라. 원론 첫번째 문제입니다. 그냥 그려 놓으면 되지 않을까. 안됩니다. 모두가 합의한 것에서 출발해야 합니다. 스승은 정의와 공리만을 이용해야 한다고 말합니다. 1번 문제는 아주 쉽고 간단합니다. 다섯가지 공리가 있다는 건 기억하시죠, 먼저 3번 공리, 임의의 점에서 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다. 원을 그립니다. 또 하나 그릴 수 있죠. 그 다음은 1번 공리입니다. 모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있다. 이 점에서 이 점을 연결합니다. 끝났습니다. 세변이 모두 한 원의 반지름입니다. 길이가 같으니까 정삼각형이죠. 피타고라스도 자신의 직각 삼각형을 원론의 방식으로 증명했습니다. 오늘날에도 모든 수학자들이 이 증명방식을 씁니다. 피타고라스로 시작해 유클리드로 완성된 원론은 영원히 수학의 언어가 됐죠. 수업을 마치고 왕은 묻습니다.

왕: 좀 더 쉬운 방법은 없소?

피타고라스: 기하학에는 왕도가 없습니다.

여러분도 혹시 왕도를 찾습니까? 고대 그리스를 만든 위대한 학자들을 아테네 골목에서 만났습니다. 그들이 사랑했던 엄밀한 논쟁의 세계에 잠시 머물렀습니다. 그리스 시대의 증명, 그것은 논리의 계단을 하나씩 하나씩 올라가는 과정입니다. 비약은 허용하지 않습니다. 완벽한 논리의 완성은 각 단계 마다 엄정함을 요구합니다. 하나를 건너 뛰거나 빠른 길은 따로 없습니다. 이런 시대정신이 고대 그리스 라는 문명을 만들었죠.

어려운 얘기였습니다. 그러나 중요한 얘기죠. 전세계 수많은 사람들이 여전히 그리스를 찾습니다. 그들이 찾는 건 지금이 아니라 2천5백년전의 고대국가 그리스입니다. 그리스의 정신입니다. 끝. (EBS 다큐프라임, 1296회 2부 피타고라스에서 유클리드까지의 원론에서 정리).