자연 속에서 볼 수 있는 피보나치 수열의 예

[쇠북소리]

  (3^2틀 관련 강의자료)

참고 : 이 글을 한글97문서로 작성하여 아래에 첨부하였습니다.

자연에서 볼 수 있는 피보나치수열의 예

(초안 2006.4.28 수정 06.5.17)

최종민

(한국방송통신대학교 시간강사)

  1. 피보나치수열

   황금비율 약 0.618을 자연수로 실현시키는 수열이 피보나치수열이라고 볼 수 있습니다. 피보나치수열을 쉽게 설명 드려 보겠습니다. 이 수열은 다음과 같습니다.

           (1) 피보나치수열 : {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...}    

   (1)에 제시된 수열은 자세히 보아야 규칙을 찾을 수 있습니다. 이 수열은 0과 1의 두 항으로 시작됩니다. 제1항 0과 제2항 1의 합으로 제 3항이 생성됩니다. 즉 ‘0+1=1’과 같은 과정으로 제3항 1이 생성된 것입니다.

    그 다음에는 제2항인 1과 제3항인 1을 합하여 제4항인 2가 생깁니다. 즉 1+1=2와 같은 과정으로 제4항인 2가 생깁니다. 그래서 수열은 {0, 1, 1, 2}까지 진행되는 것입니다. 그 다음에는 다시 ‘1+2’로 3을 만들고, 다시 ‘2+3’으로 5를 만들고, 다시 ‘3+5’로 8을 만들 수 있게 됩니다.

    (2) 피보나치수열 만들기

       ㄱ. 제1항과 제2항(원소 두 개) ------- {0, 1}

       ㄴ. 제3항 만들기 : 0+1=1  ---------- {0, 1, 1}

       ㄷ. 제4항 만들기 : 1+1=2 ----------- {0, 1, 1, 2}

       ㄹ. 제5항 만들기 : 1+2=3 ----------- {0, 1, 1, 2, 3}

       ㅁ. 제6항 만들기 : 2+3=5 ----------- {0, 1, 1, 2, 3, 5}

       ㅂ. 제7항 만들기 : 3+5=8 ----------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8}

       ㅅ. 제8항 만들기 : 5+8=13 ---------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13}

       ㅇ. 제9항 만들기 : 8+13=21 --------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}

 (2)에 따르면, 앞 두 항의 합으로 그 다음 항이 만들지는 규칙을 볼 수 있습니다. 즉 선행된 두 항의 합으로 증가되는 규칙이 있다는 것입니다.

   2. 피보나치수열의 특징

    (2)에서 보면, 최초 원소로 삼은 두 수 {0, 1}만 가지고 수가 만들어진다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 이 수열의 특징입니다. 즉 0과 1 이외에 다른 어떤 수의 도움 없이 수열을 만들어 나간다는 점이 재미있는 것입니다.

   그런데 가장 두드러진 특징은 앞뒤 두 항의 비가 두 항의 비가 황금비율인 약 0.618에 가까워진다는 것입니다. 이것은 제4항인 ‘2’에서부터 나타난다고 볼 수 있습니다. 즉 {2, 3, 5, 8}의 부분을 예로 들어 보면, ‘2 : 3’은 약 0.666이고 ‘3 : 5’는 0.6이며, ‘5 : 8’은 0.625와 같은 비율이 되므로, 이들은 모두 황금비율 약 0.618의 근사값입니다.

   이를 2와 3을 원소로 시작되는 피보나치수열이라는 의미에서 ‘2와 3을 원소로 한 피보나치수열’이라고 볼 수 있습니다. 그런데, 훈민정음과 세종악보에서 정리된 소리묶음의 원형적인 장단음틀을 보면, 3틀과 2틀을 원소로 갖는 '3^2틀'을 가지고 있습니다(최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003, 87쪽 참조). 이 3^2틀'에 피보나치수열의 방식을 적용시키면, '3^2틀의 수열'을 만들 수 있습니다. 이를 가리켜 '3^2틀의 피보나치수열', 줄여서 '3^2틀수열'이라고 말하고자 합니다.

  이 3^2틀수열은 합의 수열로 나열하면 결과적으로 '2와 3을 원소로 한 피보나치수열'과 같아지겠지만. 한편 3틀과 2틀의 수열이므로 두 틀의 연결 구조로 수열을 만들어 나가는 점에서는 다를 수도 있습니다. 따라서 ‘3^2틀수열’은 '2와 3을 원소로 한 피보나치수열'과 같은 방식이지만, 수열의 전개는 다음과 같이 다른 양상을 가질 수 있습니다.

        (3) 3^2틀수열 방식-1 (2와 3을 원소로 한 피보나치수열)

             3^2틀수열 = {2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...}

             2 : 3 ≒ 3 : 5 ≒ 5 : 8 ≒ 약 0.618  (기호 '≒ ' : 근사값 표시)

        (4) 3^2틀수열 방식-2 (2틀과 3틀을 원소로 한 피보나치수열 방식)

             3^2틀수열 = {2, 3, 5(3^2, 2^3), 8(3^2^3. 3^3^2, 2^3^3),

                               13(3^2+3^2^3, 3^2+3^3^2,  3^2+2^3^3, 2^3+3^2^3, 2^3+3^3^2, 2^3+2^3^3) ...}

             2 : 3 ≒ 3 : 5 ≒ 5 : 8 ≒ 약 0.618  (기호 '≒ ' : 근사값 표시)

(3)은 2와 3을 원소로 만들어지는 피보나치수열과 같은 방식의 ‘3^2틀수열’이고, (4)는 수열 속에서도 3틀과 2틀로 항상 움직이는 3틀과 2틀의 수열 방식을 나타내 본 것입니다. 실제로 모든 자연수의 묶음(2이상의 자연수를 가리킴)는 3^2틀로 분석할 수 있는 것입니다. 이것을 바꾸어 말하면, 3^2틀로 2이상의 모든 자연수를 만들수 있다는 것과 같습니다. 어찌되었던지 3^2틀수열에서는 앞뒤로 두 수의 비율이 황금비율 약 0.618에 가까운 값을 갖는 특징이 있다는 것을 알 수 있습니다. 

   3. 자연 속에 보이는 피보나치수열

   피보나치수열은 황금비율성을 갖는 수열이므로, 수리적인 비율의 미적 관계를 갖는 모든 곳에서 볼 수 있게 됩니다. 다음 그림에서 보면, 꽃잎의 길이에서 벌의 몸체에서 황금비율성이 측정됩니다.

<그림 1> 자연 속의 황금비율성

(출처 : 이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음,

《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社, 2002, 124쪽.)

                                              

  <그림 1>처럼 길이의 비율에서 황금비율성을 볼 수 있는 경우입니다. 그런데 아래와 같은 경우에는 나뭇가지의 수나 꽃잎의 수를 통해서 황금비율성을 갖는 피보나치수열을 볼 수 있습니다.

<그림 2> 나뭇가지와 꽃잎의 수에서 보는 피보나치수열

 (출처 : 건국대학교 고석구교수 홈페이지, 검색 2006.4.28)

 <그림 2>에서 보면 자연계에 형성되는 수리적인 형식이 피보나치수열로 해석되면서 황금비율성을 갖는 수리적인 아름다움을 갖는다고 볼 수 있습니다. 이 그림에는 들어있지 않지만, 여러 가지 꽃을 볼 때 꽃잎은 대개 5개형으로 된 꽃들이 많습니다.

   황금비율성은 아래와 같이 사람의 몸에서도 많이 볼 수 있습니다.

   <그림 3>사람의 몸에서 볼 수 있는 황금비율성(피보나치수열)

 

(출처 : 이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음,

《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社, 2002, 125-126쪽.)

   <그림 3>에서 사람 몸의 황금비율성을 볼 수 있습니다. 팔과 손의 길이가 황금비율을 갖고 있는 것입니다. 신기한 것은 어린 아이가 이 비율을 가지고 태어나서 어른으로 자랄 때까지 이 비율을 유지해 나간다는 점입니다. 그래서 이 비율을 신기한 비율이라고 말할 수 있을 것입니다. 손에서만 본다면, 가운데 손가락 뼈의 마디가 차례로 모두 황금비율성을 갖고 있는 것입니다. 어른 손의 예를 들어보면 다음과 같이 볼 수 있습니다.

<그림 4> 손뼈의 피보나치수열(3^2틀수열)

 

  <그림 4>는 어른 손의 뼈마디를 구체적인 길이 ‘2Cm, 3cm, 5m, 8cm’로 예를 들어 표시해 본 것입니다. 이것은 3^2틀수열이 적용된 모습인데, 사람의 손은 이러한 비율에 맞아야 아름답고 정상적인 구조라는 것을 알 수 있습니다. 이제 아래에서 한 가지만 더 보겠습니다. 아래 그림과 같은 나선형 구조는 피보나치수열의 황금비율성을 갖고 있는 것입니다. 

                                           <그림 5> 나선형 구조의 피보나치수열 적용

             
                                       

  <그림 5>에서는 나선형 구조에 담긴 피보나치수열의 황금비율성을 볼 수 있습니다. 이와 같은 피보나치수열의 3^2틀수열은 자연 현상 속에 여러 가지 양상으로 실현되어 있으므로, 우리도 모르는 사이에 이러한 틀을 아름답게 느끼는 심미적 구조에 길들여져 있다고 생각됩니다.

  3^2틀수열의 3을 ‘장’으로 2를 ‘단’으로 대입시켜면, ‘장^단틀’로 볼 수 있습니다.(최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003, 96쪽.) 그러므로 3^2틀은 ‘황금비율성 장단미’ 즉 ‘황금장단미’를 갖는 것이라고 볼 수 있게 됩니다.

   한민족이 만들어 온 문화적 유산인 훈민정음이나 세종악보의 소리 형식이나 시조와 같은 음수율에서 3^2틀수열이 실현되어 왔다는 것을 생각해 보면, 한민족의 수리 미학적 수준을 짐작해 볼 수 있습니다. 이는 곧 ‘장^단틀’로 볼 수 있는 것이므로, 결국 3^2틀은 ‘황금비율성 장단미’ 즉 ‘황금장단미율’을 갖고 있는 것이라고 볼 수 있습니다.  

    3. 맺는 말

    피보나치수열의 제4항 이하인 2이상부터 앞뒤 두수의 비율이 황금비율 약 0.618에 가까우므로, 황금비율성을 갖는다고 말할 수 있습니다. 이것은 2와 3을 원소로 한 피보나치수열이라고 볼 수 있는데, 훈민정음과 세종악보가 갖고 있는 수리적인 묶음의 원형적인 3^2틀에 적용시키면, 3^2틀수열을 성립시킬 수 있습니다. 그러므로 3^2틀은 황금비율성을 갖는 특성이 있고, 이것은 장^단틀로 실현될 때 황금비율의 장단미를 갖는 것으로 볼 수 있습니다.  

    자연 현상에서 이루어진 수리적인 현상들, 즉 수리적인 구조에서 볼 때 벌의 몸길이나 사람의 몸 속 구조는 물론이고, 나뭇가지나 꽃잎의 수에서도 피보나치수열의 3^2틀수열이 적용되는 황금비율성을 갖고 있으며, 또한 나선형을 이루는 많은 자연 현상에서도 찾아볼 수 있습니다.

     한민족은 훈민정음이나 세종악보의 소리 형식에서 3^2틀수열이 사용되었고, 시조와 같은 음수율도 3^2틀수열로 해석되는 것을 보면, 한민족의 문화적 수준은 수리 미학적으로 황금장단미미율을 통하여 잘 나타나 있다고 생각됩니다.

참고문헌

이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음, 《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社. 2002.

최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003.

건국대학교 고석구교수 홈페이지(검색 2006.4.28)

놀이수학(http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm)신비로운 수>자연속의 수

        탐구(피보나치수열)-검색 2006.4.28

<첨부 자료>

출처: 놀이수학(http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/) -검색 2006.4.28

신비로운 수>자연속의 수 탐구(피보나치수열)

 http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm

자연에서 볼 수 있는 피보나치 수열의 예

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …을 피보나치 수열이라합니다.. 피보나치 수열은 생활 속에서 의외로 자주 발견할 수 있다.

피아노 건반은 흰색건반 8개와 검은색 건반5개로 기본13옥타브로 구성돼 있습니다.. 또한 검은색 건반은 2개,  3개가 각각 나란히 붙어 있어 2, 3, 5, 8, 13 등 피보나치 수열을 이루고 있음을 알 수 있다한 변의 길이가 피보나치수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형을 그린 다음 곡선으로 연결하면 그림과 같은 나선형 곡선이 됨을 알 수 있다.

  자연에서 나선형 곡선 구조를 쉽게 관찰할수 있는데,솔방울의 나선의 수를 세어 본다면 1,2,3,5,8등 나선의 갯수를 가지고 있습니다.(시게 방향으로 세는 것과 반시게 방향으로 세어 보거나, 또는 작은 솔방울과 큰솔방울의 나선의 갯수) .

파인애플에서도 이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이 있다.

피보나치 수열

자연에서 나선형 곡선 구조를 쉽게 관찰할수 있는데,솔방울의 나선의 수를 세어 본다면 1,2,3,5,8등 나선의 갯수를 가지고 있습니다.(시게 방향으로 세는 것과 반시게 방향으로 세어 보거나, 또는 작은 솔방울과 큰솔방울의 나선의 갯수) 달팽이의 껍질과 여러 바다생물의 껍질에서 나선형 곡선 구조를 발견할 수 있다. 또한 해바라기의 꽃봉오리에 씨앗이 배열된 모습에서 나선형 곡선이 오른쪽과 왼쪽 방향으로 나타남을 볼 수 있는데, 씨앗이 나선형 곡선으로 배열되어있어 길쭉한 모양의 많은 씨앗이 중앙과 가장자리까지 골고루 분포될 수 있는 것이다.

이렇게 주변에 많은 피보나치 수열의 특징으로 본다면 1=0+1, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5,…와 같이 3항 이상의 수는 바로 전 두항의 합으로 표시된다는 것입니다.

 피보나치 수열이 나타나게 된 원인은 1202년 피보나치는 토끼의 번식에 대한 다음과 같은 문제에 관심을 갖게 됨으로써 나타났습니다.. '한 농장에서 갓 태어난 한 쌍의 새끼 토끼가 사육되기 시작하였다고 하죠. 만약 한 쌍의 토끼는 생후 1개월후에 짝짓기를 하며 짝짓기한후 1개월후에 다시 한 쌍의 토끼를 생산한다고 합니다.. 생산된 토끼가 죽지 않고 계속 산다면 일년동안에 토끼는 몇 쌍이 될까요?'1개월후에는 여전히 1쌍의 토끼, 2개월후에는 1쌍의 토끼가 태어나기 때문에 2쌍의 토끼,  3개월후에는 첫번째 암토끼가 다시1쌍의 토끼를 생산하므로 3쌍의 토끼,  4개월후에는 2마리의 암토끼가 각각 1쌍의 토끼를 생산하므로 5쌍의 토끼가 농장에 있게 되는데 이를 수열로 나타내면1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…와 같이 됩니다.. 수열 앞에 0과 1을 추가하여 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…를 피보나치 수열이라하고 각 항의 수를 피보나치수라 합니다..

  또한, 피보나치 수열의 연속된 항의 비를 계산하면1/1=1,  2/1=2,  3/2=1.5,  5/3=1.666…,  8/5=1.6, 13/8=1.625,  21/13=1.615… 등이 되는데 놀라운 것은 이 비가 황금비 1.618…에 가까이 간다는 것이다.

http://math.kongju.ac.kr/story/dwpark/data/14.htm

피보나치 수열과 황금비

피보나치 수열이란 1 . 3 . 5 . 8 . 13 . 21 ......이런식으로 1번째 항과 2번째 항을 더해서 3번째 항을 만드는 수열을 말하는데 이 수열의 한 항보다 압항의 것으로 나누어 주면 1.615이라는 숫자로 가까이 가는 수열을 말한다. 1.615라는 수열을 황금비라 한다.

예를 들어서 다음 피보나치 수열의 연속된 항의 비를 계산하면1/1=1,  2/1=2,  3/2=1.5,  5/3=1.666…,  8/5=1.6, 13/8=1.625,  21/13=1.615… 등이 되는데 이 비가 황금비 1.618…에 가까이 간다는 것이다.

황금비란 무엇일 까요???---------------->click

http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/Fibonacci/
피보나치 수열과 황금비

  링크 사이트

http://math.kongju.ac.kr/story/dwpark/data/13.html
http://math.kongju.ac.kr/story/dwpark/data/14.htm
http://www.mathlove.org/pds/mathqa/faq/Fibonacci/
피보나치 수열가 황금비

황금비란 무엇인가???

황금비란 그리스 문명에서 만들어진 아름다운 비로서 그리스의 파르테논 신전은 가로와 세로의 비가 (√5+1)/2 :1≒1.618 :1  인 황금비로 이루어져 있다고 합니다.
황금비는 고대 그리스 시대에 지구상에서 가장 조화를 이룬 아름다운 비라 해서 이러한 이름이 붙게 되었습니다.

그럼 황금비 도형을 한 개 만들어 볼까요?
우선 정사각형의 "가나다라"를 그리고 "나다"를 중점 "마"와 꼭지점 "라"를 이어 주세요
그리고 점" 마"를 중심으로 , "마라"를 반지름으로 하는 원호를 그리고, 선분 "나다"를 늘린 직선과의 교점을 "사라"라고 합니다.
다음으로 선분 "나사"위의 점 "사를 지나느 ㄴ수선과 선분"가라"를 늘린선과의 교점을 "아라"라고 합니다.  이때의 직사각형 "가나사아"의 가로 세로의 비가 1:1.6을 이루는 것을 알 수가 있어요, 이 비를 황금비라고 해요

황금비가 무엇이 있는 지 볼까요?
도형으로는 정오각형의 대각선의 길이와 한 변의 비가 황금비를 이루고, 정오각형의 한 개의 대각선이 다른 한 개의 대각선에 의해 황금비로 나누어 집니다.
파르테논 신전 이외에도 고대 그리스의 건축물이나 미술, 공예품에는 황금비에 가까운 비율을 가진 것이 많이 있습니다. 또 르네상스 시대에 활약한 레오나르도 다빈치는 황금비의 직사각형을 활용한 그림을 그린 것으로 알려져 있습니다.

위에서도 얘기 했듯이 황금비는 보기에도 좋고 가장 아름다워서 아마도 우리가 만나는 일상생활의 물건들 중에도 황금비로 이루어진 것이 많습니다. 예를 들어 전화카드나 명함, 태극기(1: 1.5), 종이(1:약1.4)정도로 황금비에 가까운 사물들이 많이 있습니다.

출처 : http://contents.woongjin.com/math/faq/f32/f32c203.htm

더 자세히 알기 :

          http://home.hanmir.com/~pi3wi2/drawfigure/gold2.htm
                          (이 사이트는 황금비 작도 법에 대해서 나왔습니다.)