담헌집/외집4권/주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)/상제법(商除法) 8문제

[낙민]

상제법(商除法) 8문제

상제라는 것은 상량(商量)해서 나눈다는 뜻이고 그 방법은 삼격산(三格算)인데 즉 중격(中格)을 실수로 두며 하격에 법수를 두어 법수와 실수를 측량하여 위쪽에 상수(商數)를 임치(任置)한다. 그리하여 법수가 상을 서로 곱하여 실수에 빼서 실수가 부족하면 상수(商數) 즉 몫을 감하며 실수의 나머지가 있으면 상(商)의 수를 첨가시키되 상수는 실수의 나머지가 법수에 미달되게 취한다. 실수의 나머지 수는 법수에 미만(未滿)이다. 법수를 1퇴시키고 상으로 이것을 나눈다. 이 제법은 승법의 환원(還原)이다.

[참고] ‘取其適足有不滿法者’라는 뜻을 자세하게 설명하여 보자. 상수와 법수를 서로 곱하여 실수에서 뺀 결과가 만약 실수가 부족할 경우에는 상수를 줄여서 시행하며 실수의 나머지가 있으면 상수를 첨가시켜서 상수를 더 큰 수로 하는데 반드시 실수의 나머지가 법수보다 많아서는 안 된다는 뜻이다.

군인에게 돈 87냥 5전을 배부하려고 하는데 매인당 2냥 5전씩이면 몇 명을 줄 수 있는가?
[답] 35명
[풀이] 돈 875를 중간 열(列)에 쓰고 이것을 실수로 하며 25를 하열에 써서 이것을 법수로 한다 인(人)을 단냥(單兩)에 생기하여 첫머리 숫자에 이르면 10이 된다. 10인(人)을 위(位)로 한다. 40을 상열에 임치(任置)하여 상수로 하며, 법수와 상수를 서로 곱하면, 2×4=8, 4×5=20 실수가 12냥 5전 부족하게 되니 곧 상수를 감하여 2로 하여 법수와 상수를 서로 곱하여 합하면 2×2=4, 2×5=10 50이 되어 이것을 실수에 빼면 그 나머지가 법수보다 많은 것이 되니 실수에 여유수가 있는 것이 된다. 따라서 다시 상수를 첨가하여 3으로 하여 법수 상수를 서로 곱하여 합하면 2×3=6, 3×5=15 75가 되며 그것을 실수에서 빼면 법수에 모자란 12냥 5전이 된다. 그래서 법수를 1자리 퇴위시키고 또 같은 방법으로 하여 6을 처음 상수 30밑에 임치(任置)한다. 법수와 상수를 서로 곱하여 2×6=12, 5×6=30 실수에서 빼면 부족수가 2냥 5전이 되므로 곧 상수를 감하여 5로 하여 2×5=10, 5×5=25 곱하여 합하면 12냥 5전이 되어 이것을 실수에서 빼면 실수가 완전히 없어진다.

수레가 80리 갈 때 수레바퀴의 둘레가 16척(尺)이면 수레바퀴는 몇 번 돈 셈인가? 1,800척이 1(里)다.
[답] 9,000번 돎.
[풀이] 80리를 척으로 고치면 144,000척(尺)이 된다. 이 144,000을 실수로 하고 차바퀴 둘레 16을 법수로 하여 셈한다. 법수 16보다 실수의 14가 적으므로 정위법(定位法)에서 상소하다(上少下多)하면 다음 1자리까지 내려간다. 대체로 법수가 실수에 비하여 많으면 이와 같이 한다. 단전(單轉)을 단척(單尺) 공위(空位)에서 기산(起算)하여 법수의 머리 숫자에 이르면 제2위에 상당하게 되니 1,000이 된다. 따라서 1,000전(轉)으로 위(位)가 된다. 곧 실수의 제2위 위에 상수(商數) 9를 두어 법수와 더불어 곱하면 실수의 첫머리 3자리와 꼭 같이 된다. 1×9=9, 6×5=30. 그리하여 실수에서 빼면 완전히 없어진다.

돈 105냥 8전을 가지고 쌀 매두(斗) 값 4전 5푼으로 사면 쌀이 얼마나 될까?
[답] 234두
[풀이] 돈 1053을 실수로 하고 45를 법수로 하면 40에 상당(相當)한다. 역시 다음 1위로 생각한다. 단두(單斗)를 전(錢)에서 기산(起算)하여 법수의 첫머리 숫자에 이르면 제2위가 100에 상당(相當)하게 된다. 이 100두로써 위로 한다. 상수가 2로 두어 법수와 상수를 서로 곱하여 2×4=8, 2×5=10 결과인 90냥을 실수에서 빼면 나머지가 15냥 3전인데 이것은 법수보다 적으므로 좋다. 따라서 법수를 1자리 퇴하고 또다시 상수(商數)를 3으로 두어 법수와 상수를 서로 곱하여 3×4=12, 3×5=15 결과인 13냥 5전을 실수에서 빼면 나머지 1냥 8전이니 법수보다 적다. 따라서 또 법수로 1자리 퇴하고 또다시 4를 상수로 두어 법수와 상수를 곱하여 4×4=16, 4×5=20 결과인 180을 실수에서 빼면 실수가 없어진다.

조 774두 3승을 매 5두 3승 4홉마다 돈 1냥으로 팔면 돈이 얼마나 될까?
[답] 145냥
[풀이] 조 7,743을 실수로 하고 534를 법수로 하고 상수(商數) 145를 얻어 법수와 서로 곱하여 실수에서 빼면 완전히 없어진다.

면포(綿布) 36필 20척 5촌이 있는데 매 63척 5촌마다 면주(綿紬) 한 필과 바꾸면 면주는 얼마가 되는가?
[답] 23필
[풀이] 면포를 통척내자(通尺內子)하면 14,605이 되는데 이것을 실수로 하고 635를 법수로 하여 셈하면 상수[몫]로서 23을 얻는다.

밭에서 일한 결역전(結役錢)이 420냥 7전 5푼이라고 한다. 밭 1부(夫)마다 돈 76냥 5전을 납부하면 밭이 얼마가 되는가?
[답] 5부 4결
[풀이] 돈 42,075를 실수로 하고 765를 법수로 하면 상수 55를 얻으니 5부 반(半)이다. 부 이하는 1부가 8결(結) 8로서 이것을 곱하면 된다.

[참고] 원문에 착오된 글자를 지적하여 둔다. 즉 ‘術曰 …… 得尙五五爲五夫半 …… ’ 이라고 되어 있는데 ‘得尙’을 ‘得商’으로 고쳐야 한다.

마포(麻布) 27필 29척 5촌 5푼이 있어 매 2필 5척 3촌 5푼마다 금박(金箔) 1전(錢)과 바꾸면 금박은 얼마가 되는가?
[답] 1냥 3전
[풀이] 마포를 통척내자(通尺內子)하면 110,955가 되어 이것을 실수로 하고 8,535를 법수로 하여 이것을 나눈다.

은 2근 10냥이 있어 매 9냥 9전마다 주사(朱砂) 1냥과 바꾼다고 하면 주사는 얼마가 되는가?
[답] 2근 {1과1/3} 냥
[풀이] 330냥 은을 냥(兩)으로 통산 으로 실수로 하고 99를 법수로 하여 나누면 상수로 2근 1냥을 얻고 냥 이하를 지분법(之分法)으로 이것을 명하면 99냥분의 33을 얻는다. 즉 법수를 분모(分母)로 하고 실수의 나머지를 분자(分子)로 하며 법수는 2자리이므로 분모의 첫자리는 10자리이다. 실수의 나머지의 첫자리와 법수의 자리가 서로 같고 또 10자리이다.따라서 이것을 서로 약분(約分)하면 된다. 약분법은 아래에 있다.

[참고] 원문의 답 ‘一斤一兩三分兩之一’은 ‘二斤一兩三分兩之一’의 오자이다.