담헌집/외집4권/주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)/정신제법(定身除法) 6문제

[낙민]

정신제법(定身除法) 6문제

정신제(定身除)라는 것은 첫째 법수의 머릿수 1을 제외하고 구하는 것을 말하며 우선 신(身)을 정하고, 다음에 곱한 결과를 피제수(被除數)에서 빼는 방법이다. 법수가 2자리수이고 첫머리수가 1이면 역시 실수를 1격으로 나열하여 실수의 첫머리숫자를 관찰하여 상인 신수를 정하고 법수의 첫머리수 1을 제외하며 그 나머지 숫자로서 신수(몫)와 곱하여, 99수로 자리를 맞추어서 실수에서 빼면 곧 이것이 상제의 첩법이고 가법(加法) 환원이다. 3자리 이상 수에도 역시 사용할 수 있으며 단 2격이 되며 법수는 역시 그 머릿수가 1이라야 하며 같은 방법으로 몫[商身]을 구한다. 대체 이 6문제는 봉1진10이니 귀제법(歸除法)을 사용하는 것도 역시 가하며 또 당귀법(撞歸法)의 견1 무제 작91을 사용하여 귀제를 하여도 가하다.

[참고] 원문에 가법(加法)이라는 말이 있는데 이것은 우리들이 현제 사용하는 덧셈의 뜻이 아니고 이 책에서 나온 바 있는 곱셈 중의 1개 분과인 ‘가법’을 뜻함을 명심하여야 한다.

쌀 480두를 매 15두마다 한 석(石)으로 한다면 몇 석이 되는가?
[답] 32석
[풀이] 48을 실수로 하고 15중 1을 제외한 5를 법수로 하여 실수에 따라서 상정신(商定身) 3을 얻고 3과 15를 곱한 결과를 실수에서 빼면, 3×5=15. 실수의 나머지는 30두가 된다. 이것을 또 나누면 정신(定身) 2를 얻고 같은 방법으로 실수에서 빼면, 2×5=10 완전히 없어진다.

[참고] 정신(定身)이라는 말은 신(身)을 정한다는 뜻이며 신(身)이라는 말은 어떤 수를 나눈 몫을 뜻하며 또 상정신(商定身)이라는 말이 있는데 이것은 문제 중의 상으로서 정신(定身)이라는 뜻에서 사용한 말이다. 또 원문에 ‘商定定身三’이라는 말이 있는데 ‘定’ 자 한 자는 삭제하여야 할 것 같다.

은 768냥을 매 16냥마다 1근으로 하면 몇 근이 되는가?
[답] 48근
[풀이] 768을 실수로 하고 6을 법수로 하여 나누면 정신(定身) 4를 얻고 6×4=24. 768에서 빼면 실수의 나머지는 10이고, 10은 10에 차서[滿十] 본위(本位)에 머무른 것이다. 또 28이 되며 (128이며), 10과 2는 같은 위(位)다. 또 같은 방법으로 나누면 정신(定身) 8을 얻어, 이것을 빼면, 6×8=48. 완전히 없어진다.

[참고] ‘實餘十二八 定身八 而除之’라는 말을 좀 자세히 살펴보기로 한다. 실제로 768을 실수로 하고 6을 법으로 하고 정신 4를 얻어 768에서 6×4=24를 빼면 나머지가 12가 되느냐 하는데 의문을 가질 것이다. 실제로는 법수의 첫 숫자 1을 버렸으므로 6×4=24, 4×1=4를 서로 합하면 64가 된다. 그러므로 76에서 64를 빼면 나머지가 12가 된다. 그러므로 주에서 10과 2는 같은 위라는 말이 쓰여 있는 이유이다.

쌀 751석 6두를 매 1석마다 선가(船價) 3두를 지불해야 한다면 원쌀은 얼마인가?
[답] 626석 2두 5승
[풀이] 쌀은 모두 말[斗]로 환산하면 11,271이 되며 이것을 실수로 하고 8을 법수로 한다. 쌀 1석과 배값 3두를 합하면 18두인데 거두(去頭)하여 8을 법수로 한다. 실수 첫머리 숫자 1을 10이라 생각하여 다음 자리에 더하면 11이 된다. 11은 제수 18보다 적으므로 나눌 수 없다. 따라서 112를 나눈다. 정신(定身) 6이 되며, 6×8=48. 실수에서 빼면 나머지 471을 얻는다. 또 정신(定身) 2를 얻으며 같은 방법으로 뺀다. 2×8=16. 그리하면 신수(몫)가 모두 620이 되며 실수의 나머지는 10이고 또 11 10과 1은 같은 위이다. 이 된다. 정신(定身) 6을 얻고, 6×8=48. 신수를 합하면 626석이 되며 나머지는 3두가 된다. 기령(畸零)에 먼저 15를 더하면 45가 된다. 따라서 정신 2를 얻어 실수에서 빼면, 2×8=16. 나머지는 9가 된다. 정신(定身)을 얻어 실수에서 빼면, 5×8=40. 완전히 없어진다. 석 이하는 당연히 먼저 득수(得數)를 빼고 석률(石率) 15로 이것에 더하면 진수(眞數)가 된다. 이것은 기령(畸零)을 선가후제(先加後除)한 것이다. 이하 이와 같다. 또한 방법은 7,514 석하 유수=6두 를 실수로 하고 2를 쌀 1석과 선값을 합하여 1석 3두로 하고 그 석하(石下) 유수의 첫머리 숫자 1을 제외한 것. 법수로 하여 정신(定身)을 얻어 실수에서 빼면 역시 626석을 얻고 나머지 2두를 얻는다. 기령과 15를 곱하여 합하면 3이 된다. 그래서 이것을 빼면 역시 없어진다. 우선 15를 30에 더하여 45를 얻고 이것을 18로 나누어 정신(定身) 2를 정하고, 2×18을 45에서 빼면 나머지 9를 얻는다. 또다시 같은 방법으로 정신(定身) 5를 정하고, 같은 방법으로 5×18을 90에서 빼면 완전하게 없어진다.
또 다른 방법으로 생각하면 7,514를 실수로 하고, 6두를 석으로 환산하면 0.4석이 된다. 따라서 751석+0.4석=7,514석이라고 하였다. 그러므로 원문에서 석하류(石下留)라는 뜻이 바로 이것을 뜻한다. 2를 법수로 한다. 쌀 1석과 선가 3두를 합하여 1석 3두를 모두 석하류하면 즉 석으로 환산하면 1.2석이 되는데 미리 숫자 1을 없애고 2라고 하였다. 이와 같이 하여 정신(定身) 6을 정하고 또 6×12를 75에서 빼면 실수의 나머지 314를 얻는다. 또 정신 2를 세우고 이것을 같은 방법으로 시행하면 신수는 합하여 620이고 나머지는 74가 된다. 마찬가지로 정신 6을 세우고 74에서 72을 빼고 신수를 전부 합해서 626을 얻게 되며 나머지는 2두를 얻는다. 나머지가 2이므로 15를 2번 더하면 즉 15×2=30이 된다. 이것을 법수 2로 나누면 정신 2를 얻고 30에서 2×12=24를 빼면 나머지 60이므로 또 정신 5를 얻는다. 신수를 모두 합하면 상정신(商定身) 25이고, 실수는 완전히 없어진다. 즉 2두 5승이 된다.

돈 232냥이 있는데 매 12냥 5전마다 인삼 1전과 바꾸려고 하면 인삼은 얼마나 되는가?
[답] 1냥 8전 5푼 6리
[풀이] 232를 실수로 하여 상위에 두고, 125를 법수로 하여 하위에 둔다.

[참고] 여기서 상하(上下)는 상은 좌측, 하는 우측을 뜻한다.

법수의 첫머리수 1로서 실수에 따라서 호칭하면서 정신(定身)을 얻고 1×1=1 신수 1을 얻고, 1×2=2, 1×5=5 실수에서 빼면 나머지 17을 얻는다. 또 정신을 얻어, 1×8=8 실수에서 빼면, 2×8=16, 5×8=40, 신수 8을 얻고 나머지 7을 얻는다. 또 마찬가지 방법으로 하면 정신을, 1×5=5 얻어 실수에서 빼면, 2×5=10, 5×5=25 신수 5를 얻고 나머지 75를 얻는다. 또 정신을 얻어, 1×6=6 실수에서 빼면, 2×6=12, 5×6=30 완전히 없어진다.

국가 창고에서 쌀 455석 11두 4승을 파는데 매석마다 1두 2승이 줄어든다고 하면 원래의 팔 쌀은 얼마였는가?
[답] 422석
[풀이] 45,576 석하류한다 을 실수로 하고, 108을 1석과 줄어진 쌀 1두 2승을 합하여 석으로 환산한 것 법수로 하여 나누어, 정신(定身)을 얻어 실수에서 빼면 된다. 또 다른 방법은 68,364 통두내자하여 를 실수로 하고 1,621 석과 줄어진 쌀 1두 2승을 합한 것을 두로 환산한 것 을 법수로 하여 나누면 역시 같은 결과를 얻는다.

당귀(當歸) 25근 13냥이 있는데 매 1근 15냥마다 감초(甘草) 1근과 바꾼다고 하면 감초는 얼마인가?

[참고] 당귀는 한약의 제료이다.

[답] {13과11/31}근
[풀이] 258,125 근하류한다. 를 실수로 하고 또 1근 15냥을 19,375 근하류하여 를 법수로 하여 나눈다. 그리하면 상정신(商定身)를 13 얻고 실수의 나머지는 625가 된다. 이것을 약분하면 된다.