담헌집/외집4권/주해수용 내편 상(籌解需用內編 上)/지분법(之分法) 26문제

[낙민]

지분법(之分法) 26문제

나눗셈에서 나머지[畸零]가 있을 경우 이것을 나누는 데는 법수로 통분(通分)하여 분모로 하고 실수의 나머지를 분자로 하여 통분(通分)하므로서 환원(還原)하여 합분하며 이때 분자, 분모의 수를 상세히 고찰하여 약분하므로서 간단하게 하는 것을 뜻한다. 옛사람들이 말하기를 승제는 어렵지 않으나 통분은 어렵다고 말한 것을 생각해 보면 주학(籌學)의 오묘한 진리이다.

돈 4냥을 3인(人)에게 나누려고 한다. 한 사람에게 얼마씩 돌아가는가?
[답] 1냥 3푼 {3과1/3}분
[풀이] 4는 실수로 하고 법수를 3으로 하여 이것을 나누면 득수(몫)로서 133이고 나머지 1인데 이 나머지는 무궁하게 계속되므로, 법수를 분모로 하고 실수의 나머지를 분자로 하면 된다.

갑이 돈을 1/2냥 내고, 을이 돈을 2/5냥을 출금하였다면 이 돈을 합하면 얼마가 되는가?
[답] 9/10냥
[풀이] 양 분모를 서로 곱하여 2×5=10 10을 얻고 이것을 합의 분모로 하고 양분자를 서로 양 분모에 곱하여 1×5=5, 2×2=4 합하면 9가 되고 이것을 합이 분자로 한다.

갑은 쌀을 2/3두 내고, 을은 쌀을 4/5두 냈다고 하면 쌀을 합하면 얼마나 되는가?
[답] {1과7/15}두
[풀이] 양 분모를 서로 곱하여 3×5=15 합분모(合分母)로 하고 양 분자를 서로 양 분모에 곱하여 2×5=10, 3×4=12 이것을 서로 합하면 합의 분자가 된다. 그런데 이것은 분자가 분모보다 많으므로 분모로 분자를 나누어 두(斗)가 되고 그 나머지가 분자가 된다.

은을 갑이 1/2근을 내고, 을이 3/4근을 내고, 병이 8/9근을 냈다고 하면 이들을 모두 합한 은은 얼마나 되는가?
[답] {2와5/36}근
[풀이] 3개의 분모를 서로 곱한다. 우선 갑의 분모를 을의 분모에 곱하여 2×4=8 8을 얻고 다시 병의 분모를 곱하여 8×9=72 72를 얻어 이 수를 합의 분모로 하면 된다. 그리고 3개의 분자는 각 분자에 자기 외의 타 분모를 곱한다. 갑의 분자를 전승(轉乘)하면 1×4=4, 4×9=36 2×3=6, 6×9=54 36을 얻고 을의 분자를 전승하면 2×8=16, 16×4=64 54를 얻고 병의 분자를 전승하여 2×8=16, 16×4=64 64를 얻어 이와 같이 하여 얻은 3개의 분자를 모두 합하면 154를 얻는데 이 수를 합의 분자로 한다. 그런데 분자가 분모보다 많으므로 분모로 분자를 나누면 근이 되고 여분이 있는데 이 나머지를 분자로 하여 약분하면 된다.

[참고] 원문에 전승(轉乘)이라는 말이 있는데 이것은 다음과 같은 뜻을 가지고 있다. 즉 ‘甲子轉乘’이라고 말하면 갑의 분자를 을의 분모에 곱하고 또 그 결과의 수를 병의 분모에 곱한다는 뜻이다. ‘乙子轉乘’ ‘丙子轉乘’ 모두 같은 뜻이다.

삼베(麻布) 45필을 매필마다 2/3냥씩으로 값을 받는다고 하면 돈은 전부 얼마인가?
[답] 30냥
[풀이] 베의 필수에 분자를 곱하여 통분이 없으므로 오직 분자뿐이다 이것을 실수로 하고 분모를 법수로 하여 이것을 나누면 된다.

좁쌀 {32와5/7}두를 매 두마다 돈 푼분으로 값을 받으면 돈은 얼마나 되겠는가?
[답] 9전 {8과1/7}푼
[풀이] 좁쌀을 통분하여[通分內子] 이것에 1두(斗) 값 3푼을 곱하여 실수로 하고 분모 7로서 이것을 나누면 된다. 법수에 미달한 것은 바로 이것을 명명(命名)하면 된다.

남초(담배) {10과1/3}근을 매근마다 돈 {1과7/9}전으로 값을 준다면 돈을 합하여 얼마가 되겠는가?
[답] 1냥 8전 {3과19/27}푼
[풀이] 담배를 근으로 통분하여[通分內子] 이것과 1근의 값을 통분한 것을 서로 곱하여 이 수를 실수로 하고 두 분모를 서로 곱한 것을 법수로 하여 이것을 나눈다.

[참고] 위의 방법을 좀 자세하게 알기 쉽게 하기 위하여 숫자를 계산하여 보자.

돈 {2와1/3}냥으로 쌀 14두와 바꾸었다고 하면 돈 7냥으로는 쌀 얼마와 바꿀 수 있는가? 이하 4율
[답] 42두
[풀이] 돈을 통분내자하여 1율로 하고 쌀 14두를 2율로 하면 지금 가진 돈 7냥과 원금의 분모를 곱한 결과의 수를 3율로 하면 된다.

[참고] 문제 뒤에 ‘이하 4율’이라 적어 있는데 이것은 이 문제의 이후에 나오는 문제에는 4율을 구하라고 명기하지 아니하여도 기하(幾何)하는 것이 곧 4율을 뜻한다는 것을 명시한 것이다. 이 문제를 책의 방법으로 자세히 설명하여 보면 다음과 같다. 원전이 {2와1/3}냥이므로 이것을 통분하면 7/3냥이 되는데 이 분수의 분모는 없애고 분자 7만을 가지고 1율로 한다. 그리고 원미 14두를 2율로 한다. 그리고 금전(金錢) 7냥과 원전의 분모 3을 곱하여 즉 7×3=21을 3율로 한다. 그러면 4율은 2율×3율을 곱하여 실수로 하고 1율을 법수로 하여 나누면 되므로 즉

14×21=294

294÷7=42……(4율)

이 42가 구하는 수이다.

원미(原米) 14두의 값이 {2와1/3}냥인데 지금 쌀 42두를 팔면 돈이 얼마나 되는가?
[답] 7냥
[풀이] 원미(原米) 두와 원전의 분모를 곱하여 1율로 하고 원전의 통분내자(通分內子)를 2율로 하며 지금 가지고 있는 쌀을 3율로 하면 14가 된다.

[참고] 보통 방법으로 풀면 다음과 같다. 원미 14두를 1율로 하고 원전 {2와1/3}냥은 2율로 하면 지금 가지고 있는 쌀 42두를 3율로 하여 4율을 구하면 된다.

원전 7냥으로 쌀 42두와 바꾸었다고 하면 지금 돈 {2와1/3}냥으로는 얼마나 많은 쌀을 바꿀 수 있는가?
[답] 14두
[풀이] 원전 7냥과 지금 가진 돈 {2와1/3}냥의 분모 3을 곱하여 1율로 하고 원미 42두를 2율로 하며, 가지고 있는 돈 통분내자 7을 3율로 하면 된다.

원미 42두의 값이 7냥이라고 하면 지금 쌀 14두는 돈이 얼마나 되는가?
[답] {2와1/3}냥
[풀이] 원미 42두를 1율로 하고, 원전 7냥을 2율로 하며, 지금 가지고 있는 쌀을 3율로 하면 된다.

하천을 개수(開修)하는데 {3과1/3}일에 개수면적이 {45와1/5}척을 하였다고 하면 지금 50일이면 얼마나 할 것인가?
[답] 678척
[풀이] 원 날수 {3과1/3}의 통분내자에 원면적의 분모 5를 곱하면 50이 된다. 이것을 1율로 하고 원면적 45척 5분의 1척의 통분내자 226을 2율로 하며 지금 일을 하려는 날 수 50일과 원 일수의 분모 3을 곱한 150을 3율로 하면 된다.

[참고]

원래의 하천 수축 면적이 {45와1/5}척인데 이것에 소요된 날자는 {3과1/3}일이다. 지금 678척을 개수하려고 하면 며칠이나 소요될 것인가?
[답] 50일
[풀이] 원 개수면적의 통분내자 226과 원일 {3와1/3}의 분모 3을 곱한 일수를 1율로 하고, 원일 {3와1/3}일의 통분내자 10을 2율로 하며, 지금 하려고 하는 면적 678에, 원 개적 {45와1/5}척의 분모 5를 곱한 3390을 3율로 하면 된다.

[참고]

원래 하천을 개수하는데 50일에 그 면적 678척을 하였다. 지금 {3와1/3}일이면 개수 면적은 얼마나 될까?
[답] {45와1/5}척
[풀이] 원일 50일에 지금 일을 하려고 하는 {3와1/3}날의 분모 3을 곱하여 이것을 1율로 한다. 또 원래의 개수 면적 678척을 2율로 한다. 그리고 지금하려고 하는 날짜의 통분내자 10을 3율로 하면 4가 된다.

원래의 하천의 개수 면적이 678척인데 그 소요 일수는 50일이다. 지금 개수하려는 면적은 {45와1/4}척인데 소요 일수는 얼마인가?
[답] {3와1/3}일
[풀이] 원래의 개수면적 678에 지금 개수하려는 면적의 분모 5를 곱한 결과인 3,390을 1율로 하고 원래의 소요 일수 50일을 2율로 하며 지금 개수하려는 면적의 통분내자 226을 3율로 하면 된다.

차로 가는 거리가 {35와2/3}리인데 그 차 빌리는 값이 {2와6/7}냥이라고 한다. 지금 차로 가려고 하는 거리는 {96과8/9}이면 찻삯은 얼마인가?



냥
[풀이] 원 차행거리 {35와2/3}리의 통분내자 107과 차 빌리는 값 {2와6/7}냥인 분모 7을 곱하면 749를 얻고 이것을 또 지금 차로 가야 할 거리 {96과8/9}리인 분모 9와 다시 곱한 결과 수 6,741을 1율로 하고 원래의 차 빌리는 찻삯 {6과6/7}냥의 통분내자한 20을 2율로 하고 지금 차로 가야 할 거리 {96과8/9}리 통분내자 872와 원래 차로 간 거리의 분모 3을 곱한 수 2,616을 3율로 하면 된다.

차로 간 거리가 {96와8/9}리인데 이때의 차 빌린 값이


냥이면 지금 차로 가야 할 거리는 {35와2/3}리라고 하면 이때의 차 빌리는 값은 얼마나 될 것인가?
[답] {2와6/7}냥
[풀이] 원 차행거리 {96와8/9}리의 통분내자 872와 지금 가야 할 거리의 분모 3을 곱한 결과 수 2,616과 원래의 빌린 차 값


냥의 분모 2,247을 곱한 것 5,878,152를 1율로 하고, 차 빌린 값


냥의 통분내지 17,440을 2율로 하고 지금 차로 가야 할 거리의 통분내자 107과 원래 차의 주행거리의 분모 3을 곱한 수 963을 3율로 하면 된다.

원 품삯 {2와6/7}냥으로 차를 빌어서 {35와2/3}리를 주행하였다. 지금 품삯


냥으로는 차를 빌려서 가려면 그 주행 거리는 얼마나 되겠는가?
[답] {96과8/9}리
[풀이] 원 품삯 {2와6/7}냥의 통분내자 20과 지금 가지고 있는 돈의 분모 2,247를 곱한 것 수 44,940과 또 원래의 차로 간 거리의 분모 3을 곱한 결과 수 134,820를 1율로 하고 원래의 차로 간 주행 거리의 통분내자 107을 2율로 하며 지금 품삯의 통분내자 17,440과 원 품삯의 분모 7을 곱한 결과 수 122,080을 3율로 하면 된다.

원 품삯


냥으로 차를 빌어 {96과8/9}리를 간다고 하면 지금 품삯 {2와6/7}냥으로는 차를 빌어서 간다면 그 주행 거리는 얼마나 될까?
[답] {35와2/3}리
[풀이] 원 품삯


냥의 통분내자와 지금 품삯의 분모 7을 곱한 결과에 또 처음 달린 차행거리의 분모 9를 곱한 결과 수를 1율로 하고 원래의 차행거리의 통분내자를 2율로 하며 지금 품삯의 통분내자와 원래의 돈의 분모 2,247를 곱하여 그 결과의 수를 3율로 하면 된다.

정사각형의 면적이 10척이라고 하면 한쪽 변의 척수는 얼마인가? 이 문제부터는 개평(開平) 지분(之分)에 속하는 문제이다.
[답] {3와1/7}척 강(强)
[풀이] 실수를 10척으로 하여 이것을 개평(開平)하면 실수의 나머지는 1척이 되어 부진수가 된다. 그러하므로 상을 2배 하고 여기서 상은 정사각형의 한 변의 길이 3을 말하여 이 상을 2배 한다는 것은 양쪽 변을 뜻하게 된다. 8을 첨가하여 염(廉)을 1로 한다. 양쪽의 변의 우각(隅角)이 된다. 다같이 7을 분모로 하고 실수의 나머지 1을 분자로 하면 된다. 염(廉)과 상(商)을 곱하여 방(方)에 더하고 염(廉)에 첨가하여 분모가 되어 역시 얻을 수 있다. 개평방지분(開平方之分)은 대교(大較)를 가견(可見)이나 끝에는 실수(實數)에 영육(盈朒)이 있게 되어 정율(精率)이 아니고, 환원(還原)하면 원척(原尺)의 제곱에 8을 첨가하며 여척(餘尺)의 곧 기준이 된다.

정사각형의 면적이 45,678척인데 정사각형의 한 변의 길이는 얼마나 되는가?
[답]


척
[풀이] 면적 45,678척을 실수로 하여 이것을 개평(開平)하면, 실수의 나머지가 309척이 된다. 이때 상(商)을 배포하고 염(廉)을 첨가하여 분모로 하며 실수의 나머지를 분자로 한다.

[참고] 상 213을 배로 하면 426이 되고 426에 1을 첨가하면 427인데 이것을 분모로 하면 나머지 309를 분자로 하여 427분의 309라고 하면 된다.

정입방체(正立方體) 즉 정6면체의 체적이 28척이라고 하면 정6면체의 한 변의 길이는 얼마나 되는가?
[답] {3과1/37}척
[풀이] 정6면체의 체적을 실수로 두고 이것의 개립(開立)을 하면 실수의 나머지는 1이 된다. 그때의 상은 3이다. 이때의 상(商)은 정6면체의 한 변의 길이가 되고 상의 제곱은 1면의 넓이로 된다 이 몫 3을 제곱하여 또 이것을 3으로 곱하면 3면의 넓이다 27을 얻는다.
또 3을 상 3에 곱하면 상은 1변의 길이이고 3을 곱하면 3변이 길이가 된다. 9를 얻는데 이것과 27을 합하여 그 수에 염1을 첨가하여 이는 3변의 우각(隅角)이다. 모두 37을 얻는다. 이것을 분모로 하고 실수의 나머지 1을 분자로 하면 된다. 염(廉)과 상(商)을 곱하여 우(隅)에 더하고 우(隅)와 상(商)을 곱하여 방(方)에 더하며 상(商)을 3으로 곱하여 방과 합한 후에 염(廉)을 첨가(添加)하여 분모로 하면 역시 얻어진다.

정6면체 즉 정입방체(正立方體)의 체적이 15,736척이라고 하면 그 1변의 길이는 얼마가 되는가?
[답]


척
[풀이] 그 체적을 실수로 두어 개립(開立)을 하면 실수의 나머지는 111이 된다. 이 상 25를 제곱하여 또 3을 곱하면 1,875가 된다. 또 3을 상 25에 곱하면 75를 얻고 75와 1,875와 합하여 이 염 1을 첨가하여 1,951을 분모로 하고 실수의 나머지 111척을 분자로 하면 된다.

직각삼각형[勾股]의 구(勾)는 82척이고, 또 하나의 길이는 257척이라고 하면 현(弦)의 길이는 얼마나 되는가?

[참고]

[풀이] 구와 고를 각각 제곱하여 이것을 합하면 72,773인데 이것을 개평(開平)하고 실수의 나머지 412가 되고, 상은 269가 된다. 이 상을 배로 하고, 이것에 염 1을 첨가하면 539가 된다. 이것을 분모로 하고 나머지를 분자로 하면 된다.