황금분할(黃金分割)/ The Golden Section

[長樂山人 이종인]

황금비(黃金比),  황금분할(黃金分割)/ The Golden Ratio, The Golden Section 

황금분할(The Golden Section) 또는 황금비율(The Golden Ratio)이라는 명칭은 그리스의 수학자 에우독소스에 의해 붙여지게 되었다. 흔히 황금비율을 '피Φ(Phi)'라고 부르는 것은 이 비율을 조각에 이용하였던 그리스의 가장 유명한 조각가였던 피디아스(phidias)를 기리기 위하여

그리스 머리글자에서 따왔기 때문이다. 피아디스는 파르테논 신전 기둥들의 윗부분에 있는

일련의 조각품뿐만 아니라 신전 자체를 포함하여 제우스의 상에 이르기까지 그의 여러 작품들

속에서 이 황금비를 풍부하게 구현하였다.

황금비(黃金比) 또는 황금분할(黃金分割/The Golden Section) 은 주어진 길이를 가장
이상적으로 둘로 나누는 비(比)로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다.
기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드(원론 3, 141)가 정의한 이래
예술분야, 특히 건축, 미술 등에서 즐겨 응용되었다. 

 황금분할의 정의

(a+b):a = a:b

황금비 (phi)는 선분을 a,b 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은

값으로 정의된다.

이 때,

가 성립하고, 를 대입하면

라는 이차방정식이 나오고, 는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

ø^2-ø-1 =0 (^ 기호는 자승을 의미)이 되고 이 방정식의 해를 근의 공식을 이용하여 풀면 다음과 같다. 

 

이 가운데 양의 해(근) = 1.6180339887...이 바로 황금수의 값 Φ(Phi)가 된다.

수학적 성질

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다.

예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 황금비이다. 

* 피보나치 수열 [-數列, Fibonacci sequence]

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…… 형태의 수열. 즉, 첫번째 항의 값이 0이고 두 번째 항의 값이 1일 때

 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 만들어지는 수열을 말한다. 수열의 공식은 다음과 같다.
f_{n = fn-1+ fn-2(단 , f0=0, f1=1, n=2, 3, 4, ….)} 

수열에서 연속하는 두 항의 비의 값(…)으로 만든 수열의 항은 황금비의 값에 점점 가까워진다. 특히

 이 되어 이것은 황금비인 와 거의 같은 값이다.

생활 속에서 볼 수 있는비

고대 그리스로부터 건축물을 아름답게 짓기 위해 황금비가 많이 사용되고
있으며, 명함, 담배갑, 신용카드 등에서도 볼 수 있다.
HDTV 나 컴퓨터의 와이드 모니터 등에는 16:9, 15:9(5:3), 16:10(8:5) 등의
비율이 사용되고 있는데 이것은 황금비의 근사값이라 할 수 있다.

황금분할 (기하학)  [黃金分割, golden section]

선분을 황금비로 나누는 것.  

 

황금비 /黃金比

황금 분할 /黃金 分割

평면기하에서, 한 선분을 2부분으로 나눌 때에 전체에 대한 큰 부분의 비와

큰 부분에 대한 작은 부분의 비가 같게 되는 분할.

하나의 가 있을 때, 그 선분상에 한 점 P를 구하여 ()²=·가 되도록 하는 일이다.

=> 즉, 선분을 외중비(外中比)로 나누어, 그 한쪽의 제곱을 나머지와 전체의 곱과 같아지게 하는일

* 外中比 : 어떤 양(量)이 대소(大小)로 이분(二分)되어 그 작은 부분(部分)과 큰 부분(部分)과의

비(比)가 큰 부분(部分)과 전체(全體)와의 비와 같을 때 그 양쪽 부분(部分)의 비.

중외비(中外比). 중말비(中末比). 황금비

 

이때 와 의 비를 황금비라고 한다. 그 비의 값은, : =(√5-1)/2=0.61803.

※ √5 ≒ 2.23606797749979..

또 정5각형의 같은 꼭지점을 지나지 않는 2개의 대각선은 서로 다른 것을  황금분할한다.  
황금분할을 각도로 구할 경우, ΔABC에서 ∠B=∠R(직각), =2라 하고 위에  와 같게 를 취한다. 
그리고 위에 와 같아지도록 를 취하면 점 P는 를 황금분할한다.

정사각형을 이용한 황금사각형의 작도

작도하는 방법
1. 선분 AB를 한 변으로 하는 정사각형 ABCD를 작도한다.
2. 선분 AB의 중점 0를 잡는다.
3. 점O를 중심으로 하고, 선분 OC를 반지름으로 하는 원을 그리고 선분 AB의 연장선과의 교점 E를 잡는다.
4. 점 E에선 선분 AE의 수선을 그어 변 CD의 연장선과의 교점 F를 잡는다.
5. 직사각형 AEFD는 황금사각형이 된다.

황금분할기 만들기
황금분할기는 닮음의 성질을 이용하여 주어진 선분이나 물체등을 황금비로 만드는

교구이다. 황금분할기를 만들면 황금비와 황금분할의  개념을 더 잘 이해할 수 것.

 

황금비는 고대 그리스에서 발견되었는데 황금비를 가진 직4각형은 가장

조화가 잘 된 직4각형으로 알려져 있다.

고대 그리스의 건조물이나 공예품에는 흔히 황금비가 적용되어,

예컨대 아테네의 파르테논 신전의 윤곽이나 라오콘 상(像)은 황금비

직4각형에 가깝다.

황금비는 건축·조각·회화·공예 등에서 널리 활용되고 있으며, 솔방울,

파인애플 열매, 국화의 꽃잎 등 자연 속에서도 발견할 수 있다.

황금분할이란?
"황금분할 비율"은 보편적으로 사람이 가장 편하고 안정감을 느끼는 비율이라 하며,
수치로는 1:1.618 정도의 비율이다.

파르테논 신전

B.C 497년에 침공한 페르시아에 의해 아테네 전 시가지는 물론 아크로폴리스에 있던 모든 건물들이 파괴되어 버렸고, 

파르테논은 B.C 447년에 건축하기 시작하여 B.C 438년까지 계속되었는 데 

이 때부터 신전으로 쓰기 시작한 것이다. 파르테논신전이 그토록 아름답게 보이는 것은 아름다운 대리석의 

장식과 수학이 잘 어울려 조화를 이루는 데 있다. 

즉, 신전 각 부분이 정확하게 기하학적인 비율로 되어 있다는 점이다. 

기둥머리 부분의 길이를 a, 기둥 아래의 지름을 b, 기둥과 기둥의 중심간격을 c, 기둥 높이를 d, 

신전의 정면 폭을 e, 신전의 옆면 길이를 f라 하면 다음과 같은 관계가 있다. 

b=√5a c=√5b=√5√5a=√5a 

d=√5c=√5√5√5a=5√5a 

e=√5d=√5√5√5√5a=52a 

f=√5e=√5√5√5√5√5a=52√5a 

즉, 신전 각 부분의 길이는 √5와 관련이 있는 것이다. 

피라미드(pyramid) 

let base/2 = 1, then using the formula for the area of a triangle: 

1/2 * base * apothem =  φ

Egyptian royal cubit = mahe

피라미드 280 mahe =115 m,  356 mahe = 185.85 m

즉 높이가 115 m이고 빗변이 185.85 m 
피라미드의 황금비율은 185.85/115 = 1.616 . 

고대 이집트인들은 등간격으로 매듭이 있는 줄을 가지고 길이의 비가 3 : 4 : 5인 직각 삼각형을 만들었고, 

이를 피라미드와 신전등의 각종 건축물에 사용했다고 한다. 

여기서 길이의 비가 3 : 4 : 5인 직각삼각형의 최단선분과 최장선분의 비는 3 : 5로 황금비에 가깝다는 사실을 알 수 있다. 

실제로 오른쪽 그림에서 보듯이 밑면이 정사각형의 각변으로부터 

중심에 이르는 거리(OM)와 능선(PM)의 길이의 비가 1:1.616으로 황금비에 가깝다.

PM/OM = 185.85/ 115.00 ≒ 1.616

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비트루비우스의 인간 Vitruvian Man

비트루비우스적 인간 또는 인체 비례도는 레오나르도 다 빈치의 소묘 작품이다. 
기원전 1세기에 고대 로마의 건축가 비트루비우스가 쓴 ‘건축 10서(De architectura)' 3장 
신전 건축 편에서 ‘인체의 건축에 적용되는 비례의 규칙을 신전 건축에 사용해야 한다’고
 쓴 대목을 읽고 그렸다고 전해진다. 원문을 옮기면서 고대의 인체 비례론을 
그대로 받아들이지 않고 실제로 사람을 데려다 눈금자를 들이대면서 측정한 결과를 
글로 적어두었다.

“자연이 낸 인체의 중심은 배꼽이다. 
등을 대고 누워서 팔 다리를 뻗은 다음 컴퍼스 중심을 배꼽에 맞추고 
원을 돌리면 두 팔의 손가락 끝과 두 발의 발가락 끝이 원에 붙는다… 
정사각형으로도 된다. 사람 키를 발바닥에서 정수리까지 잰 길이는 
두 팔을 가로 벌린 너비와 같기 때문이다.”

앵무조개

꿀벌 머리 + 몸통 : 꼬리 비 = 1 : 1.618

농어의 일종인 바스(Bass) 
아가미 지느러미의 끝 부분에 의해 몸 전체 길이가 아가미로부터 황금분할. 

 원의 비례를 이용하여 황금비 작도하기 

작도하는 방법
1. 선분 AB의 중점 M을 잡고, 점 B를 중심으로 선분 BM을 반지름으로 하는 원을 그린다.
2. 점 B를 지나는 선분 AB의 수선과 원 B와 만나는 점 O를 잡는다.
3. 점 O를 중심으로 반지름이 OB인 원 O를 그린다.
4. 선분 OA와 원 O와의 교점을 C라고 한다.
5. 점 A를 중심으로 반지름이 AC인 원을 그려 선분 AB와의 교점을 P라고 하면, 점 P가 선분 AB를 황금분할하는 점이 된다.

첫 마다 : 두째 마디 = 두째 마디: 세째마디= 세째마디:손 바닥  = 1 : 1.618  Φ (Phi)

하완부와 손의 길이의 비도 Φ (Phi)이다. 
사람의 하완부와 손의 길이의 비도 황금비율인 1.618 이기 때문에 손과 하완부도 황금분할을 이룬다. 
사람의 얼굴도 전반적으로 Φ (Phi)로 구성되어있다. 
잘 생겼다고 하는 사람의 얼굴을 분석해 보면, 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이를 
입술 정 중앙에서 코끝까지 길이로 나누면 황금비율이 되고, 또한 두 눈동자 좌우를 연결한 선부터 턱 끝까지 
수직높이를 역시 코끝에서 두 눈동자를 좌우로 연결한 선까지의 수직높이로 나눠도 황금비율의 수가 나온다. 

또한 계란의 높이를 좌우 길이로 나누어도, 그리고 소라 껍질, 조개 껍질의 각 줄 간의 비율에서도 황금비율은 등장한다.
 
위 그림에서와 같이 나무가 자라면서 처 나가는 가지의 숫자도 피보나치 수열에 따라 늘어난다. 그리고 꽃잎의 
수에 있어서도 ‘화이트칼라 백합’의 꽃잎 수는 1장, 등대풀(Euphorbia)은 2장, 연령초는 3장, 채송화, 딸기꽃은 5장, 
코스모스, 모란은 8장, 금잔화는 13장, 치커리 21장, 질경이는 34장, 쑥부쟁이는 55장 또는 89장이다. 그리고 대다수 
꽃의 꽃잎 수는 위에 언급된 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 중 하나에 포함된다.
그 밖에 조개나 소라의 껍질, 알래스카 큰뿔 양의 뿔 모양 등 자연계에 존재하는 많은 회오리 모양에서 정 중앙을 중심으로 
십자선을 그어 보면, 일정비율로 점점 커지는 원주가 연속해서 나타난다. 그런데 점점 길어지는 각 원주의 반지름 길이를 
비율로 나타내면 1:1:2:3:5:13...로 역시 피보나치 수열의 수를 따라 그 회오리가 커져 나간다는 것을 알 수 있다. 
피보나치 수열은 회오리 바람, 바다의 파도, 물의 흐름의 모양 나아가 태풍, 은하수의 형태에서도 발견된다.
음악의 음계도 피보나치 수에 바탕을 두고 있다

아래에서 보는 바와 같이 음악 에서까지도 피보나치 수열이 바탕이 되고 있다:

 한 옥타브 내에서 모든 음정의 폭은 13 음정으로 되어 있다. 한 음계는 8 음정으로 구성 되어 있으며, 그 중 5 번째와 
3 번 째의 음정이 모든 화음의 기본이 되며, 음계의 첫(1) 음정인 기본 음조로부터 2 단계인 전음조(whole tone)에 
기초를 두고 있다.

피아노 건반도 C 에서 C 까지의 음계에 13 개의 키(鍵-Key)가 있으며 8 개의 흰 키와 5 개의 검은 키로 구성 되어 있으며, 
3 개 및 2 개의 그룹으로 분활 되어 있다. 여기에서 13, 8, 5, 3, 2, 1 은 다 피보나치 수 이다. 
이런 사례를 찾다보면 우주 전체가 피보나치 수열의 조화로 만들어졌을 것이라는 생각이 든다.
토성의 고리도 고리의 폭이 두개의 황금분할로 나뉘어져 있음을 알 수 있다. 
    
황금 나선형의 태풍의 눈                           황금 나선형의 은하수의 형태
최근 태양계내의 각 행성들간의 거리가 임의적인 것이 아니고 피보나치 수열에 따른 등각나선으로 배열되어 있다는 주장이 
나와 흥미롭다. 만일 이것이 맞다면 플라톤(Platon, BC 429~BC 347), 케플러(Kepler, Johannes, 1571~1630), 
보데(Bode, Johann Elert, 1747~1826)로 이어지는 수학적 통찰이 그 본질적 원리에 있어서 맞았음이 증명되게 될 것이다.
과연 신(God)이 자연 속에서 보여주는 아름다움을 위한 규칙과 질서는 경이롭기 한이 없다.  
 
태양계 내의 각 행성들간의 거리도 피보나치 수열에 따른 황금 나선형으로 배열되어 있고, 
각 행성의 공전 궤도/속도 역시 황금 비율에 따른다고 알려져 있다.