피보나치수열,황금비,그리고

[김동석]

피보나치수열,황금비,그리고

식물의 아름다움

 잎차례에 대한 소프트웨어 및 해설

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html

 주요 사이트 링크

 잎차례(phyllotaxis)와 피보나치수열

 줄기에서의 잎의 배열 방식. 잎차례(葉序)라고도 한다. 잎차례는 크게 2가지 형태로 나눌 수 있는데 그 하나는 줄기의 각 마디에 잎이 1장씩 나는 "어긋나기"(互生)이다.대부분의 어긋나기는 잎이 줄기의 둘레에 나선상으로 돌기 때문에 "나선잎차례"라 한다.

 다른 하나는 2장 이상의 잎이 나는  것으로 "돌려나기"(輪生)라고 한다. 특히 각 마디에 잎이 2장씩 나는 돌려나기를 "마주나기"(對生)라고 하는데 마주나기에 있어서, 보통 한 마디에 2장의 잎이 마주 나면 이것의 바로 윗마디에는 이것과 직각으로 2장의 잎이 마주나게 되어, 줄기를 위나 아래에서 보았을 때 각 마디에 마주난 2장의 잎들이 십자(十字)모양으로 교차된 것처럼 보이기 때문에 이를 "십자마주나기"(十字對生)라 한다. 석축과·단풍나무과 식물들이 이러한 잎차례를 취하고 있다.

 물론 돌려나기는 2장에 한정될 필요가 없으며 여러 경우가 가능하다. 방울꽃·협죽도는 줄기의 각 마디에 잎이 3장씩 돌려나는 3돌려나기(三輪生)이고, 사갓나물 등은 각 마디에 잎이 4장씩 나는 4돌려나기(四輪生), 속새는  각 마디에 잎이 헤아릴 수 없을 정도로 많이 나는 여러돌려나기(多輪生)이다.

 가장 흔한 잎차례인 어긋나기(호생)의 나선잎차례에서는 계속해서 난 2장의 잎을 위 또는 아래에서 보면 이 2장의 잎은 일정한 각도를 이루고 있는데 이 각도를 개도(開度)라 한다. 또한 나선잎차례에서는 아래에서부터 각 잎의 부착점을 차례로 연결하면 나선이 그려지는데, 이를 기초나선이라 한다. 그리고 첫째 잎부터 a번 도는 기초나선 위에 n장의 잎이 같은 간격으로 더 나 있어 n+1째 잎이 첫째잎 바로 위에 나 있다면, 이러한 나선잎차례를 a/n잎차례라 하며, 이 경우의 개도는 360×a/n이다. 예컨대 장미속 식물에서는 2번 도는 기초나선 위에 5장의 잎이 더 나 있으므로 이 식물의 잎차례는 2/5잎차례이고 개도는 360×2/5=144도이다

  잎차례와 개도의 관계를 이해하기 위해서 가상적인 한 예 를 보자. 위 그림의 좌측의 상단은 6번째 잎에서 두 바퀴 돌아 본래의 위치로 돌아왔다.따라서 2/5잎차례이고 개도는 144도이다. 하단은 9번째 세 바퀴 돌아 본래의 위치로 돌와왔다. 따라서 3/8잎차례이고 그 개도는 135도이다.

다른 사례를 보고자 할 경우 여기를 클릭하세요.(예1) ,(예2)

그러나 자연에는 어떠한 잎차례라도 허용되는 것이 아니며 일반적으로 다음과 같은 수열의 형태에 따르고 있음이 알려져 있다. 나선잎차례에는 이 수열의 각 항에 n=2를 대입한 경우에 해당하는 수열, 즉 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, …인 것이 가장 많다. 이 수열의 각 항들 사이에는 앞의 두 항의 분모의 합을 분모로 하고, 분자의 합을 분자로 하는 관계가 성립되며, 또 이 수열에 의거해서 계산되는 개도는 점차 극한개도 137도30′에 가까워진다. 이 법칙은 피보나치수열과 수학적으로 밀접한 관계가 있어 널리 알려지게 되었다.

 phi값 0.618034를 각도로 나타내면 0.618034×360=222.92...도 이다. 시계반대방향의 각 222.92는 시계방향으로의 각 137.0776(360-222.92)와 같다.다시말해서 시계반대방향으로 222.92도 마다 잎이 난다는 것은 시계방향으로 137.0776도 마다 잎이 난다는 것과 같은 것으로 표현의 차이에 지나지 않는다.

 이제 피보나치수열과 나선잎차례는 표현의 차이에 지나지 않으며 사실상 같은 것이라는 것을 알수 있다.두 수를 나란히 놓고 비교해 보자.

나선잎차례        1/2,1/3,2/5,3/8,5/13...

피보나치수   1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13...

 1/1을 빼고 두 수열을 비교해 본다면 각 대응항의 두수의 합이 1이라는 것을 알 수 있다.이것은 137도와 222도의 다른 표현이다.나선잎차례는 시계방향으로 나타낸 것이고 피보나치수열은 시계반대방향으로 나타낸 것이다.그러므로 나선잎차례는 피보나치수열의 자연에의 적용례에 지나지 않는다는 것을 알 수 있다.

 잎차례는 왜 이러한 피보나치수열을 취하고 있을까?

 그러면 왜 잎차례는 이러한 피보나치수열을 취하고 있을까?a/n (즉 a회의 회전당 n장의 잎)이 1/2(0.5)라고 하자.3번째 잎의 위치는 첫 번째의 잎의 위치와 같다.이것은 비효율적 배치인데 상단의 잎이 하단의 잎에 그늘이 지게 할 것이다.서로 엇비슷하게 배치되어야 해빛을 최대한 받을 수 있다.그 값이 0.6인 경우는 어떨까?이것은 3/5이고 6번째 잎에서 원위치로 돌아올 것이다.그러므로 앞의 0.5보다는 효율적이지만은 그래도 최적상태는 아니다.여러가지 소수값을 줌으로써 이 효율을 계속 올릴 수 있을 것이다.그러나 이 값이 유리수의 꼴로 나타나는한 그것은 항상 최대공약수를 가지고 그 값에서 원위치로 복귀한다.그러므로 잎차례는 유리수의 꼴로 나타낼 수 없는 수 즉 무리수의 값을 갖는 것이 가장 효율적인 배치이다.

 아래 그림은 몇가지 대표적인 개도를 보여주고 있다. 위에서 보면 135도의 경우 나선형으로 약간씩 빗겨나가 위의 잎이 아래 잎의 햇볕을 가리는 것을 피하고 있음을 확인할 수 있을 것이다. 137도 가까이에서 그 효율이 최대로 된다.

개도에 따른 형태의 변화를 확인하기 위해서는 여기를 클릭하세요. (위) , (아래)

 http://www.ctpm.uq.edu.au/virtualplants/ipi_ac1.html

 그러나 아직 의문은 모두 해소되지 않았다.무리수도 엄청나게 많다.대표적 무리수로 원주율π(3.1415...)와 자연대수 e(2.71828...)가 있다.이것은 왜 잎차례의 틀이 되지 못하고 하필 phi(0.6180...)인가? 잎은 각 개체적 단위들이다.그러므로 그것은 정수의 꼴로 나탄난다.다시말해서 무리수의 틀을 취하더라도 그것이 자연적 대상으로 나타날 때는 정수의 꼴로 표현되어야 한다.자연에는 1개,2개은 있지만 0.6180..개는 없기 때문이다.정수의 꼴로 쉽게 근사화될 수 있으면서도(정수형을 취해야 한다는 자연의 제약) 특정한 값으로 쉽게 수렴되지 않는 수(중복을 최대한 피하기 위한 잎의 조건)는 무엇인가? 수학자들은 그 가장 대표적인 수가 연분수의 꼴로 표현되는 것이라고 한다.앞서 phi가 연분수의 전형적 형태를 취하고 있음을 보았다.물론 π와 e도 연분수의 꼴로 나타낼 수는 있다.그러나 그것은 phi처럼 간단하지 않으며 상당히 복잡한 형태로 나타난다.(그래서 정수로 쉽게 근사화되지 않는다) 자연이 찾아낸 최적의 해는 피보나치수열 phi이다.자연의 형태형성에 피보나치수열이 계속해서 재현되는 것은 무리수의 정수화의 가장 최적의 수열이기 때문이다.신이 있다면 이외에 다른 방법으로 설계할 수 없었을 것이다.

아래표는 잎차례에 따라 식물을 분류한 것이다.

 

a/n    해당식물

2/3    화본과식물(곡류,갈대,대나무 등),느릅나무

1/3    화본과식물,검은 딸기,너도밤나무,게암나무,피들넥(fiddleneck)

2/5    겨자,개쑥갓(groundsel),장미과 식물,오크(떡갈나무,줄참나무 등),후추,포플라(백양나무),사과,가시나무,서양자두(plum),체리,살구

3/8    등대풀(spurge),수양버들,배나무,개아카시아

5/13   쇠뜨기,갯버들,아몬드

이 수는 보편적 수이며 그래서 잎의 배열방식에서 뿐 아니라 씨앗의 배열,꽃잎의 배열 등에서도 되풀이 해서 나타나고 있다.

두상화서(꽃차례)와 피보나치수열

 해바라기꽃내의 씨앗(이것은 사실 큰 꽃안에 작은 꽃들이 모여서 만들어진 것이다.이러한 종류를 두상화 composite flower라 하고 이 작은 꽃들의 배열을 꽃차례 inflorescences라 한다.기타 화서의 종류에 대해서는 여기를 클릭하세요)은 아주 독특한 방식으로 피보나치수열을 전개하고 있다.해바라기의 꽃내부를 자세히 들여다 보면 그 속의 씨앗들이 두가지 다른 방향으로 달리고 있음을 볼 수 있을 것이다.하나는 시계방향으로 배열되어 있고 다른 하나는 시계반대방향으로 배열되어 있다.그 수는 각 21,34(21/34=0.618)이다.종류에 따라 큰 해바라기의 경우 55,89,심지어는 89,144의 배열도 있다.그러나 그 수에 관계없이 두 수가 피보나치수열의 인근값들임에 주목하라.가끔 원형에서 벗어난 변형된 피보나치 배열도 발견되는데 68,110의 배열이다.그러나 이것 역시 34,55의 배수라는 점에서 그 비율을 벗어나고 있지 않다.

이것은 데이지꽃의 경우에서도 볼 수 있다.그렇다면 왜 해바라기씨앗들은 이러한 피보나치수열을 취하고 있는 것일까? 이것은 최소공간에 최대수의 씨앗의 밀식(密植)의 문제에 대한 해(解)이다.

 0.618..이 아니고 0.5라고 하자.그러면 1/2이므로 0.5회전마다 씨앗이 하나(또는 1회전마다 씨앗 2개)놓여지게 되어 결국 씨앗이 직선상의 두방향으로 뻗어가는 결과가 될 것이다.이것은 공간이용상 비효율적이다.좀더 좋은 방식은 나선형으로 성장해가는 방식인데 이렇게 함으로써 씨앗을 더 밀식시킬수 있고 사실 그 형태상 비바람에도 더 잘 견딜 것이다.

 0.48의 경우를 보자.0.48회전마다 씨앗하나 다시말해서 48/100을 맞줄임하면 12회전때 마다 25개의 씨앗을 배열하고 있다.이것은 0.5보다 약간 작으로므로 약간씩 직선에서 벗어날 것이다.그 결과 팔랑개비와 같은 나선상의 회돌이가 만들어진다.그러나 13회전에서 출발점의 씨앗과 같은 직선상에 놓일 것이다.이것보다는 0.43의 경우가 밀식에는 더 효율적이다.(자연에서 素數의 중요성!) 이것은 43회전에서 원점과 동일직선상으로 돌아오기 때문에 앞의 경우보다 더 효과적으로 빈틈을 촘촘히 채울 수 있다.

 phi와 phi 인근수들의 배열의 시뮬레이션(여기를 클릭하세요)

 이제 우리는 무리수가 가지는 중요성을 이해하게 되었다.무리수는 분수의 꼴로 나타낼 수 없으며 따라서 영원히 출발점과 동일직선상의 위치로 돌아오지 않는다.이것은 모든 씨앗이 약간씩 어긋나게 배열된다는 것을 말하며 그만큼 공간의 사용의 효율성을 극대화할 수 있다.

 그러나 앞서 이야기 했듯이 자연은 단위로 전개되기 때문에 정수의 꼴로 나타나면서 무리수의 형태로 접근해가는 수가 가장 좋은 수이다.그것은 무리수phi를 생성하는 피보나치수열 밖에 없다.씨앗의 배열이 피보나치수열을 취하는 이유는 바로 여기에 있다.다음은 0.618..의 phi값 가까이에 있는 수들이 만들어내는 형태들에 대한 시뮬레이션이다.그것을 phi의 경우와 비교해 보라.phi가 공간적 밀식에 있어서 최적의 해라는 것을 알 수 있을 것이다.

이것을 실제 개도를 바꿔가면서 눈으로 확인해볼 수 있는 좋은 애플릿이 있다. 여기를 클릭하세요.

http://www.templejc.edu/precalc/media/units/unit1/ 
 

밀식의 문제라면 꼭 씨앗의 배열의 문제만 있는 것이 아닐 것이다.그러나 문제가 같으므로 그 해는 동일할 수 밖에 없다.그 한예가 솔방울이다.사실 솔방울의 포(苞)는 잎들이 좁은 공간안에 압축되어 변형된 것이다.잎이 가지 주위에 나선을 그리듯 이 포는 나선을 그리며 배열되어 솔방울을 이루고 있다. 자세히 살펴보면 이 안에 두종류의 나선배열이 있는데 하나는 하단의 좌측에서 우측으로 대각선방향으로 진행하고 있고 다른 하나는 우측의 하단에서 상단의 좌측으로 가로질러 가고 있다. 둘중 하나는 성장이 느리고(그래서 둔각나선이 된다) 다른 하나는 성장이 빠르다.(그래서 예각나선이 된다)

이것을 위에서 보면 두 방향의 나선이 달리고 있음을 뚜렷이 알 수 있다.

http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm

종류에 따라 둔각나선과 예각나선의 수가 다른데 어떤 것은 둔각나선3,예각나선8로, 또 어떤 것은 둔각나선5,예각나선 8, 또 어떤 것은 각 8,13(위의 그림)으로 되어있다. 여기에 따라 나선의 형태는 달라지지만 그 모두가 피보나치수열의 인근 두 수열들임에는 동일하다. (그래서 모두 피보나치비율을 이루고 있다)

이 피보나치수열은 심지어는 식물의 외피의 구성에서도 나타난다. 파인애플의 겉표면은 6각형의 비늘로 덮혀 있는데 이 비늘들의 배열에서도 피보나치수열을 찾아볼 수 있다.그런데 여기에는 3중 나선이 서로 얽혀 있다.각 8,13,21의 배열이다.나선의 수가 많을수록 비늘사이의 빈틈을 줄일 수 있다.비늘로 완전히 외피를 덮는 방법으로 고도한 수학적 계산을 통해 그 최적값을 겨우 얻어낼 수 있다.

 꽃잎의 수,기타..

씨앗이나 꽃의 배열에서 뿐 아니라 꽃잎의 수에서도 피보나치수열이 나타나고 있다.그 몇가지 예들이 아래에 나와있다.

 

꽃잎수    해당식물  

1        white calla lily (화란물토란)

2       euphorbia(등대풀속),  nightshade(가지속식물)

3        trillium(연령초속), 백합, 붓꽃(iris)

5        양상추, 미나리아재비(buttercup), 장미, larkspur(참제비고깔속의 식물),

         참매발톱꽃(columbine),...

8        코스모스,delphiniums(참제비고깔속의 식물), bloodroot(양귀비과 식물)..

13      노랑데이지(black-eyed susan), 금불초(ragwort), corn marigold(금잔화), cineraia(국화과 식물)

21      샤스타 데이지( shasta daisy), aster(탱알,해국 등), chicory(꽃상추),

34       데이지(field daisy), 질경이(plantain), 제충국(pyrethrum),

55       데이지(african daisy),

89       데이지(michaelmas daisy)

그림 출전 http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm

 꽃잎이 피보나치 수열을 택하는 이유는 무엇일까? 그것은 개화되기전에 꽃의 내부를 완전히 덮고 있다.그것은 꽃의 내부를 외부와 차단시켜 보호하는 역할도 한다.빈틈없이 촘촘히 덮는 방법은 무엇일까? 이 문제는 솔방울의 포의 배열과 다르지 않다.그것은 바로 피보나치수열의 배열이다.

 이 피보나치수열은 나무의 가지치기에도 나타난다.아래 그림이 그것을 보여주고 있다.처음에는 한 가지에서 나온 2개의 가지가 나온다.새가지중의 하나가 분지되는 동안 다른 가지는 그대로 있다. 한쪽에서 분지되는 동안 다른 쪽은 쉬는 이 과정이 되풀이 되면서 피나보치수열을 이루는 가지치기가 이루어진다.이 이유도 분명한데 아래가지에 그늘을 지우는 것을 최대한 피하기 위한 것이다.이 문제는 잎차례의 문제와 또한 다르지 않다.(물론 완전한 피보나치수열을 실제 나무에서 찾기는 어려운데 그 나무의 성장에 영향을 주는 환경적 요인들이 작용하기 때문이다.)

자연의 아름다움은 항상 조건에 대한 최적의 해를 찾아내고 그것에 따라 설계되어 있다는 것이다.과연 "자연은 신이 쓴 수학책이다"는 갈릴레오의 말이 실감나지 않는가?