피보나치 수열과 황금비

[김동석]

피보나치 수열과 황금비

유럽에 전해진 최초의 아랍 산술책은 알콰리즈미의 책( AD 825 )이다. 이것과 그 후의 산술책들은 인도의 연산 방식에 따라서, 인도 숫자들을 계산하는 법칙들을 담고 있다.( 임시 위치법, 이중 임시 위치법, ...) 이 책이 1857년 라틴어로 번역될 때 'Algoritmi가 말한대로 ...'로 시작한다. 여기서 이름 Al Khowarizmi는 Algorizmi로 되었고 후에 우리가 사용하는 '알고리즘'으로 유래되었다. 또 그는 algebra를 도입하는데 일조하였다. 이 단어는 대수학에 대한 그의 논문 제목 'al-jabr ...'에서 유래하였다. ( 제목 : 이항과 소거의 과학 )

중세 유럽 수학자중 파보나치( 1180-1250 )가 있는데, 그는 이탈리아의 상인으로 아랍문화가 스며드는 세 통로 가운데 하나에서 일하였다. 그는 여러 곳을 여행하면서 인도-아라비아 수학의 실용성을 통감하고 귀국한 후 1202년에 산반서를 저술하였다. 그 내용중에는,

'한 쌍의 토끼가 있어서 매 달 한 쌍의 새끼를 낳는다. 태어난 토끼들도 이와 같이 한 쌍씩의 새끼를 낳아 간다고 한다. 1년 동안 모두 몇 쌍의 토끼가 출산 될까?'

와 같은 문제가 있는데, 이로부터 각 달에 출산되는 토끼쌍의 수룰 나타내는 다음과 같은 수열을 얻는다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 86, ... , x, y, x+y, ...

이 수열은 각 수가 앞에 나오는 두 수의 합으로 되어 있다. 이 수열을 피보나치 수열이라 하며, 그 일반항을  이라 하면, 

 과 같은 다소 복잡한 식으로 나타난다. n 이 커질 때 뒷 항의 값이 거의 0 에 근사하므로  은 대략  과 같아진다.

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* 피보나치 수열의 성질 *

을 피보나치 수열의 제 n 항 이라 하면 여러 가지 놀라운 성질들이 있는데 그중의 하나가 다음과 같다.

황금 분할은, 유클리드 '원론' 에 의하면, "선분은 같지 않은 부분으로 나뉘는데, 전체가 큰 부분에 대한 것이, 큰 부분이 작은 부분에 대한 것일 때, 外中比 로 나누어 진다." 와 같다. 선분을 황금 분할 하는 경우, 긴 쪽을  , 짧은 쪽을 1이라 하면, , 즉,  과 같이 된다. 황금비 자체는 위에서 본 것처럼 피보나치 수열과 밀접하게 관련되어 있다.  뿐만 아니라  의 어떤 누승도  를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. 

 여기서, 어떤 항도 그 전의 두 항의 합으로 되어 있고, 또 의 계수와 상수항 모두가 피보나치 수열을 이루고 있다.

이 수열은 전혀 예기치 못한 곳에서 나타나는데, 그 응용 범위가 파인애플 세포의 성장에서부터 남매간 근친 상간의 유전 효과에까지 이른다. 또 하나의 예로써, 해바라기 씨의 배열을 생각하면, 중심에서 가장자리로 뻗어나온 바른 시계 방향과 반 시계 방향의 나선의 수를 세어 보면 피보나피 수열의 이웃하는 두 항임을 알 수 있다. 이러한 현상은 솔방울 씨앗의 배열, 국화과의 꽃(데이지 꽃, 벚꽃), 태풍의 눈에서도 볼 수 있는 이와 같은 나선들은 기이하게도 대수나선(Logarithmic spiral)이 된다고 한다. 이는 곧 자연이 접근하려고 하는 어떤 현상의 수학적 표현이며, 수학이 결코 자연과 동떨어진 대상이 아님을 입증해 주는 것이라고 볼 수 있다. 오늘날에도 미국에서 발행되는 계간지 '파보나치'가 있는데, 이는 이 수열의 응용 가능성이 무한하기 때문에 착안된 잡지 이름이다.

이외에도 라메( 1795-1870 )는 유클리드 호제법에서 '두 자연수의 최대 공약수를 찾는데 필요한 나눗셈의 횟수는 둘 중 작은 수의 자릿수의 다섯배보다 클 수 없다'에 피보나치 수열의 일부를 사용하였다.

피보나치의 수학적 재능은 노르망디 왕국의 황제 프레드릭 2세의 관심을 얻게 되었고 그 결과로 피보나치는 궁정에서 열린 수학 경기에 참여할 것을 초청받았다.

그는 다음의 문제들을 제안 받았는데 즉시 문제를 해결하여 황제에게 감동을 주었다. 다음 문제를 풀어보고 관심있는 사람은 질문 코너를 이용하기 바란다. 

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< 문제 >

 

1.	와  가 모두 어떤 유리수의 제곱이 되는 유리수 x
2.	의 해를 구하는 문제 근사해  x ~ 1.3688081075 이 방정식의 어떤 해도 의 꼴로 표현될 수 없음을 보임
3.	세 명이 한 더미의 돈을 가지고 있다. 그들의 몫은 각각 , , 씩 이다. 각자는 돈 더미에 아무것도 남을 것이 없을 때까지 가져간다. 첫 번째 사람은 자신이 가져간 돈의  을, 두번째 사람은  을, 세번째 사람은  을 되돌려 놓는다. 이와 같이 돌아온 돈을 이번에는 세 사람이 나누면, 각자에게 원래 할당된 몫이 된다. 원래의 돈 더미에는 얼마가 있었으며 각자는 얼마나 받았는가?

[top class]

피보나치 수열의 일반항을 구하는 방법은 안나와 있네요.