수험생훌리 및 n수훌리를 위한 행렬진위문제 무조건 다맞는 법

상위권이든 하위권이든 언제나 공통적으로 어려워 하는 문제가(수리나형의 경우) 바로 행렬 진위문제이다. 실제 모의고사나 수능에서 오답률이 매우 높으며 각종 해설들은 기상천외한 방식으로 문제를 풀어놓는데 '과연 이걸보고 학생들이 따라할 수 있겠는가?' 하는 생각에 안타까웠다.  본인은 수험생 때 행렬진위문제는 어렵게 나올 수록 좋아했고, 수험생 생활을 하면서 행렬진위 문제만큼은 틀려본적이 없고 2점짜리 마냥 쉽게 풀어왔다. (글의 신빙성을 위한 잘난척임..) 군휴학도 했겠다..여행 갔다 한국 돌아온기념으로(라지만 사실은 할일이 없어서..) 행렬 진위에 대해서 내가 파악하고 있는 그대로 완벽한 특강을 하고자 이글을 적는다.   행렬진위 문제는 주로 다음의 측면에서 출제한다.   1. AB=BA가 되는 경우.  B가 A와 A의 역행렬과 단위행렬의 일차결합(더하기,빼기,실수배)으로 이루어져 있으면 AB=BA이다.   위에 써놓은 것이 행렬진위 문제에서 가장 많이 사용한다고 생각하는 규칙이다. 이글을 읽는 수험생(있을려나 모르겠다만..)들은, 아시다시피 행렬에선 AB/=BA 의 식처럼 보통은 교환법칙이 성립하지 않는다. 이것이 행렬 연산에서의 가장 큰 특징이다. 가장 큰 특징이 되는 이유는 실수의 성질과 다르기 때문에 실수에서의 곱셈공식들을 행렬의 연산에서 이용할 수 없기 때문이다. 예를 들어 행렬의 연산에서는 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 이라는 실수에서의 곱셈공식은 사용할 수 없고, (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2 이 되어야 한다. 행렬에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것은 아무리 우리 꼬꼬마 훌리 수험생이어도 알고 있는 내용일테고..당연히도 시험 출제자들도 너무 가소로워서 이걸로는 문제를 내지 않는다. 그렇기 때문에 문제는 행렬임에도 불구하고 교환법칙이 성립하는 경우가 나오는 것이다. 그렇다..행렬인데도 불구하고 교환법칙이 성립하는 그때!! 우리는 행렬을 실수 마냥 취급하고 마구 계산해도 된다. 행렬끼리 교환법칙이 성립하는 경우는 다음과 같다. B가 A와 A의 거듭제곱꼴과 A의 역행렬과 단위행렬의 일차결합(더하기,빼기,실수배)으로 이루어져 있으면 AB=BA이다. 무슨 소리냐 하면, B=(A^-1)+3A+4E 같은 식으로 주어졌다면 AB=BA가 된다는 거다. 이유는 간단하다. 역행렬을 정의할때 원래 순서를 바꾸어서 곱해도 단위행렬이 나오도록 정의했고, A를 여러번 곱하는건 순서를 어떻게 해도 상관이 없을 수 밖에 없다.(같은걸 여러번 곱하는데 순서가 무슨 필요겠는가..)  <img src="https://t1.daumcdn.net/cafefile/pds65/3_cafe_2008_03_09_02_55_47d2d30b9b1d4" border="0" class="c" alt="이미지를 클릭하면 원본을 보실 수 있습니다."/>   문제를 하나 보자. 1번 원칙이 ㄱ에서 명백하게 드러난다. B=A-E라고 쓰면 B는 A와 E의 일차결합으로 이루어져 있으므로 AB=BA인 것이다. 예시로 들어준 지금의 문제가 너무 쉬워서 지금 내가 설명한 방식 이외의 방식으로 생각하는게 더 쉬워보일수 있겠지만, 전혀 그렇지 않다. 아무튼 내가 제시한 1번 원칙을 외우면 더이상의 해설이 전혀 필요 없다.     2. 역행렬 구하기.  A()=E를 만족하도록 ()을 조작하는 연습을 하면서 역행렬을 구하기만 하면 해결.   역행렬을 구하는 법을 알아야 한다. 방금 위에 제시한 보기 ㄴ에서 역행렬을 갖느냐고 묻는데 역행렬 유무의 진위판단 문제는 항상 나오는 문제고 항상 학생들이 틀리는 문제다. ㄴ을 푸는 방법은 간단하다. 역행렬을 직접 구해봐서 구해지면 있는것이고 안구해지면 없는것이다. 일단 A의 역행렬을 구하고 싶으면 A(    )=E라고 쓰고 ()괄호안에 들어가는 행렬을 찾으면 그게 바로 역행렬인 것이다.(역행렬의 정의에 따름) ㄴ을 풀어보면 A(A)=E가 된다;; 사실 약간의 조작을 거치면서 계수가 맞도록 괄호안을 조작하도록 문제가 어렵게 나올수도 있지만 지금같은 경우는 괄호안의 행렬을 A라고 쉽게 찾았으니 A의 역행렬은 A가 되는것이다. 그러므로 A의 역행렬은 당연히도 존재한다.   약간 더 어려운 예로 해보자. A^2=0 이면 A+E는 역행렬을 갖는가? 이것도 만들면 된다. (A+E)()=E가 되도록 조건식을 만들자. 괄호안에 들어가는 행렬은 A^2=0라는 식과 일단 계수를 맞추다 보면 (A+E)(A-E)=A^2-E=-E라는 결과를 얻고 결국 A+E의 역행렬은 -(E-A)라는 것을 알 수 있다.   3. 영인자에 대한 내용   어렵게 영인자라는 용어를 사용했는데 별건 아니고 위에 보기문제로 주어진 ㄷ의 예를 말하는 것이다. ㄷ명제는 틀리다. A와 B모두 영행렬이 아니도록 하면서 두 행렬의 곱이 영행렬이 되도록 할 수 있다. 그러한 행렬 A, B를 영인자라고 부른다.(사실 영인자에 대해 엄밀히 말하자면 틀리니 똑똑한 수학과 훌리들이 있더라도 너무 따지진 말고 양해부탁) 아무튼 영인자라는 놈이 있어서 ㄷ이 틀리다는것과, 또하나 영인자에 대해 알아둘것은 영인자는 역행렬이 없다는 것이다. AB=0라는 식에서 두 A,B가 영인자일때 A의 역행렬이 존재한다면 B=0이 된다. 그러므로 영인자는 역행렬을 가지지 않는다. 라는 귀류법으로 증명가능하다. 따라서 진위문제에서 어떤행렬이 영인자라는 판단이 서면 그것은 무조건 역행렬을 가지지 않는다라고 알고 있어야 진위를 파악할 수 있다.       한마디로 세개 정도만 알면 된다.   1. AB=BA가 되는 경우. 2. 역행렬 구하기. 3. 영인자에 대한 내용.   알아들었으리라 믿는다.               다음은 자게에서 귤껍데기라는 훌리에게 해준 풀이..07수능 문제다(3점짜리라 행렬진위문제 축에도 못낀다고 생각)   귤껍아 내가 올린 원칙을 하나도 사용하지 않아도 된다..쉬운 행렬진위는 저 핵심 논리가 필요 없음. <img src="https://t1.daumcdn.net/cafefile/pds65/9_cafe_2008_03_09_02_55_47d2d31e151e3" border="0" class="c" alt="이미지를 클릭하면 원본을 보실 수 있습니다."/>     ㄱ. 역행렬이 존재하면 곱셈에 대한 역원이 존재하는 것이므로 실수처럼 나누면 됨. 당근 맞음. ㄴ. 수열 규칙을 묻는 문제임, 그냥 2승 구해보면 2(E-A)나오고 3승 구해보면 4(E-A)나오므로 5승은 ㄴ과 같이 나올것을 귀납적으로 예측가능함. ㄷ. 이것도 그냥 전개해보면 (E-ABA)^2=E-2ABA+ABAABA인데 ABAABA=ABEBA=ABBA=ABA이니까 당연함.   굳이 ㄷ에서 1번 규칙을 쓰자면 E와 새로운행렬C=ABA라고 정의 했을때 E와 C사이에는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하므로 실수에서의 곱셈공식을 사용해서 전개가능하다. 정도를 쓸수 있을듯.