단위와차원및환산방법(가장쉽게정리)

[정종태]

<주기>

이해가 쉽게 예제풀이를 넣었습니다

참고 문헌을 발취하여 쉽게 이해하도록 정리한 것입니다...까페지기

1. 단위와 차원

1) 개요

공학이나 기술등에서 양을 나타내거나 변화를 말하려고 할 때 차원과 단위를 사용하게 된다.

길이, 시간, 온도 등과 같이 측정할 수 있는 값으로 측정의 기본이 되는 개념을 차원(dimention)

이라고 한다. 즉 각 기본개념은 한 개의 차원이 된다.

물리량의 기본개념을 차원의 표시방법으로 나타내면 다음과 같다.

길이 : [L]

질량 : [M]

시간 : [Θ]

온도 : [T]

힘   : [F]

에너지 : [H]

이러한 차원의 크기를 구체적으로 나타내기 위한 방법으로 단위(unit)를 사용하게 된다.

단위는 하나의 약속이다.

단위계는 지역과 관습에 따라 [미터-킬로그램-초]를 기본측정단위로 하는 MKS 단위계와

[센티미터-그램-초]를 기본측정 단위로 하는 CGS단위계 및

[피트-파운드-초]를 기본측정단위로 하는 FPS단위계가 있다.

국제적인 통일단위계로는 국제도량형총회에서 미터법에서 출발하여 국제적인 통일단위를

목적으로 하고 있는 국제단위계 (SI : International System of Unit)가 있으며 앞으로는

점점 국제단위계로 통일되어가는 추세에 있다.

SI단위계는 다음 7개의 단위를 기본단위로 채용한 것이다.

길이 = m

질량 = kg

시간 = sec

전류 = Ampere

열역학적 온도 = K

광도 = cd(칸델라)

물질량 = mol

힘을 나타내는 방법에 따라 절대단위계와 중력단위계로 나타내기도 한다.

힘을 SI단위계로 나타내면 절대단위계, 힘을 무게단위로 나타내면 중력단위계라고 한다.

다음에 단위와 차원에 대하여 간단히 고찰해 보기로 한다.

2) 단위

어떤 물리량의 크기를 나타낼 때 비교의 기준이 되는 크기를 정하여 두고 측정하려고 하는 크기가 기준량의 몇 배가 되는가를 타나냄으로서 측정량의 크기를 나타내게 되는데 이때 기준이 되는 일정량을 단위라고 한다. 즉 단위는 미리 약속한 임의의 크기를 기준으로 하여 나타낸다.

이러한 단위를 하나 하나 규정하면 복잡함으로 기본이 되는 몇 개만의 단위를 정하여두고

이를 기본단위로하여 물리법칙 또는 정의에 따라 다른 단위는 기본단위를 조합하여 만들면 편리하다.

이렇게하여 만들어진 단위를 일반적으로 보조단위 혹은 유도단위라고 한다.

길이, 질량, 시간, 온도, 물질량(몰)을 기본단위로 한다.

힘을 기본단위에 추가하기도 한다.

기본량을 표시하는 기본단위를 각 단위계 별로 나타내면 다음과 같다.

기본량	MKS	CGS	FPS
길이	미터 (m)	센티미터 (㎝)	피트 (pt)
질량	킬로그램 (㎏)	그램 (g)	파운드 (1b)
시간	초 (sec)	초 (sec)	초 (sec)
온도	℃ (셀시우스 단위) K (켈빈 단위)	℃ (셀시우스 단위) K (켈빈 단위)	℉ (파렌하이트 단위) °R (란킨 단위)
질량	kmole	mole	파운드몰 1b mole

가) 절대단위계

절대단위계는 SI 단위체제인 MKS 단위와 CGS 단위 및 FPS 단위가 이에 속한다.

절대단위계는 힘을 SI 단위계로 나타내는 방법이며, MKS 단위계의 경우, 질량 1킬로그램에

1㎏/m.sec²의 가속도가 작용하는 힘을 1뉴턴으로 나타낸다.

구  분	길이 [L]	시간 [θ]	질량 [M]	힘 [F]	에너지 [H]	온도 [T]
MKS	m	sec	㎏	N	J	K
CGS	㎝	sec	g	dyne	erg, J, cal	℃
FPS	ft	sec	1b(파운드)	poundal	ft, poundal	℉, °R
※ 참고 : 1b = 32.174 poundal

a) 힘의 단위

힘의 단위는 뉴톤의 운동 제 2법칙에 의하여 나타낼 수 있다.

◦ 뉴톤의 운동 제2법칙은 F(힘) = M(질량) x A(가속도) 이다.

◦ 여기에서 질량을 무게로 환산하면 ㎏f(무게) = ㎏ x gc (중력 환산계수)이다.

◦ 즉, ㎏ = ㎏f/gc가 되므로 1N = 1㎏f x (1m/sec²) / gc로 나타낼 수 있다.

◦ gc = 9.8m/sec²이므로 1㎏f = 9.8N이 된다.

◦ 유의사항

힘의 단위로는 통상 무게가 사용되며 이 무게를 절대단위계로 환산할 경우에는 위에서 검토한 바와 같이 환산 계수인 gc를 나누어 주어야 한다.

1N = (1㎏)(1m/sec²)/(gc) : gc = 9.8m/sec²

1dyne = (1㎏)(1㎝/sec²)/(gc) : gc = 980㎝/sec²

1poundal = (11b)(1ft/sec²)/(gc) : gc = 32.174ft/sec²

b) 압력의 단위

압력은 단위면적당 작용한 힘으로 정의된다.

CGS단위계 : 1,000,000 dyne/㎠ = bar

MKS단위계 : N / ㎡ = Pa

FPS단위계 : 1bf / in2 = psi

1atm = p x g x h = (1g/㎤) x (980.6㎝/sec²) x (1033.6㎝)

     = 1,013,000(dyne/㎠ = 1.013bar = 1,013mbar

(액주를 기준으로 한 절대압력단위는 P = p x g x h로 나타낼 수 있다.)

나) 중력단위계(重力單位系, gravitational system of units)

기본단위로서 길이,시간,무게를 취하여 역학적인 여러 양을 유도하는 단위로서 질량 대신 무게를 기본단위로 사용하는데, 예를 들면 CGS중력단위계에서는 힘의 단위를 질량 1g의 물체의 무게를 그램중(gw)으로 하므로, 힘의 표시법이 간단해진다. 주로 공학 방면에서 사용되어 공학단위계라고도 한다.

공학단위 (工學單位, engineering unit)란 공학상의 여러 계산을 편리하게 할 수 있도록 정해놓은 단위로서 기본단위로는 길이에는 미터(m), 질량에는 킬로그램(㎏), 시간에는 초(s), 이 밖에 힘의 단위 킬로그램을 추가하여 구성된다.

중력단위계는 무게단위로 힘을 나타내는 단위계이며 질량 1킬로그램을 저울에서 무게로 달면 실제로는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 중력가속도 9.8m/sec²이 작용하여 SI단위계로는 9.8m/sec² 즉 9.8뉴턴의 힘이 작용하지만 관습상 무게로 1킬로그램이라고 측정하는 것을 인정하여 중력가속도 환산계수 gc를 나누어줘서 1㎏f로 표시하는 방법이다.

즉 중력단위계에서 말하는 1㎏f는 힘의 단위이며 9.8뉴턴이다.

이 수치는 단위환산에서 자주 이용됨으로 반드시 기억하고 있어야 한다.

구  분	길이 [L]	시간 [θ]	질량 [M]	힘 [F]	에너지 [H]	온도 [T]
Meter법	m	sec	㎏	㎏f	J	K
미국공학	ft	sec	1bm	1bf	Btu	℉, °R
※ 참고 : 1bm → 파운드메스(mass), 1bf → 파운드포스(force)

3) 차원

차원은 각 단위가 측정값에 어떻게 서로 연관되어 있는지를 나타내는 지수이다.

다음에 단위와 차원의 표시 예를 나타내었다.

단위	양	차원	MKS단위계
기본단위	힘 질량 길이 시간	[F] [M] [L] [θ]	㎏f ㎏ m, ㎝ sec, hr
유도단위	밀도 압력 동력	[M(L의-3승)] [F(L의-3승)] [FL(θ의-1승)]	㎏/㎥ ㎏f/㎥ ㎏f/m.sec

2. 단위의 환산

주어진 단위로부터 원하는 단위로 단위를 변환하는 것을 단위의 환산이라고 한다.

단위의 환산은 각 단위계의 크기를 비교하는 환산인지를 알고 있어야 한다.

예를 들면 1인치는 2.54 센티미터라는 것을 알고 있어야 인치를 센티미터로 고칠 수 있다.

유도단위의 환산은 단위 각각을 순서대로 환산하면 원하는 단위로 환산할 수 있다.

다음예제를 스스로 풀어보기로 합시다.

1) 0.5리터(ℓ)를 세제곱피트(ft³)로 환산하시오.

(풀이)
1ℓ = 1,000㎤

1ft = 30.48㎝

1ft³ = (30.48㎝)의 3승 = 28316.847㎤

1㎤ = (1/28316.847) ft³

0.5ℓ = 500㎤ = 500 x (1/28316.847) ft³ = 0.0177ft³

2) 지상25미터에 있는 7킬로그램 질량의 물질이 가지고 있는 위체에너지를 SI단위계(N.m)로 나타내시오.

(풀이)

힘을 SI단위계로 나타내면 절대단위계, 힘을 무게단위로 나타내면 중력단위계라고 한다.

MKS 단위계의 경우, 질량 1킬로그램에 1㎏/m.sec²의 가속도가 작용하는 힘을 1뉴턴으로 나타낸다.

위치에너지(Ep) = m x h x g = 7㎏ x 25m x 9.8m/sec² = 1,715㎏.㎡/sec² = 1,715 N.m

3) 10킬로그램(힘)은 몇 뉴턴인가요?

(풀이)

10㎏f x (9.8 N/㎏f) = 98 N

4) 4℃의 물 5㎥의 무게를 SI단위계(Newton), MKS단위계(㎏f), FPS단위계(1bf)로 나타내시오.

단, 비중은 1이고 중력가속도는 MKS단위계로 9.8m/sec²이다.

(풀이)

가) SI단위계

◦ 4℃물 5㎥

◦ 질량(m) = 밀도(p) x 부피(V)

◦ 무게(F) = 질량(m) x 중력가속도(g) = 밀도(p) x 부피(V) x 중력가속도(g)

◦ 계산

무게(F) = 질량(m) x 중력가속도(g) = 밀도(p) x 부피(V) x 중력가속도(g)

= (1,000㎏/㎥) x (5㎥) x (9.8m/sec²) = 49,000㎏.m/(sec²)

= 49,000 N

나) MKS단위계

중력단위계는 무게단위로 힘을 나타내는 단위계이며 질량 1 킬로그램을 저울에서 무게로 달면

실제로는 뉴턴의 운동 제2법칙에 따라 중력가속도 9.8m/sec²이 작용하여 SI단위계로 9.8 뉴턴의

힘이 작용하지만 관습상 무게로 1킬로그램이라고 측정하는 것을 인정하여 중력가속도 환산계수

gc를 나누어줘서 1㎏f로 표시하는 방법이다.

49,000㎏.m/(sec²) ÷ gc = 49,000㎏.m/(sec²) ÷ (9.8㎏.m/㎏f.sec²) = 5,000㎏f

다) FPS단위계

5,000㎏f x (1 1bf / 0.454㎏f) = 11013.22 1bf

5) 500ft/sec의 유속을 m/min으로 환산하시오.

(풀이)

1ft = 0.3048m

1min = 60sec

500ft/sec = 500ft/sec x (0.3048m/ft) x (60sec/min) = 9,144m/min

6) 1㎏/㎡은 수주(水主)로 몇 mm에 해당하는가

(풀이)

수주(水主) 10m = 1㎏/㎠

1㎏/㎡ = 0.0001㎏/㎠ = 10mH₂O = 1mmH₂O

3. 펌프등 회전기계의 동력계산

1) 동력의 정의와 그 단위

펌프의 동력계산은 수처리를 위한 유체역학의 기본이 됩니다.

그 기본개념과 계산방법을 확실히 이해하고 응용할 수 있어야 합니다.

동력은 (힘) x (이동거리) 즉 일을 시간으로 나눈 단위이다.

다시말하면 시간당 수행한 일 (힘 x 거리)이 된다.

실용단위로는 보통 W(와트), Kw(킬로와트), HP(마력), PS(국제마력) 등을 사용한다.

1W = 1Joule/sec = 1N.m/sec

1Kw = 102㎏f.m/sec

1HP(영국마력) = 76㎏f.m/sec

1PS(불마력) = 75㎏f.m/sec

<참고>

힘은 질량에 중력가속도를 곱한 차원을 갖는다.

뉴턴의 운동 제2법칙에 의하면 즉 F = ma = mg에서 힘은 질량에 가속도를 곱한 값이 된다.

지구중력장에서는 힘은 질량에 중력가속도를 곱한 값이 된다.

1㎏의 질량에 중력가속도 9.8m/sec²을 곱하게 되면, 1㎏x9.8m/sec²=9.8m/㎏.sec²=9.8N 이 된다.

1킬로그램에 중력가속도가 작용해서 생기는 힘에 중력가속도 보정계수인 gc(1gc=9.8㎏.m/㎏f.sec²)

을 나누어주면 1㎏f이다. 라고 정의한다. 바꾸어 말하면 1㎏f=9.8Newton의 관계가 성립한다.

<보충설명>

우리는 관습적으로 질량 1㎏을 저울에 달아서 무게 1㎏f로 사용하여 왔다.

질량은 질량의 차원을 갖지만 무게는 힘의 차원을 갖는다.

무게와 질량의 값을 같이 해주고 차원을 바꾸어 주기 위하여 중력가속도 보정계수인 gc를 도입하였다.

즉 W = m x (g/gc)

여기에서

W는 무게이다.

M은 질량이다.

g는 중력가속도이다.

gc는 중력가속도 보정계수이다.

중력가속도와 중력가속도보정계수는 값이 같고 단위가 다르다.

2) 펌프의 동력계산식 (이론동력)

P = (㎏f･m/s) = 비중량(㎏f/㎥) x 펌프의 토출량(㎥/s) x 펌프의 전양정(m) = r･Q･H

☞ 비중량(r)에 수두(H)를 곱하면 압력단위가 되므로 압력에 유량을 곱하면 동력이 됩니다.

3) 펌프의 실제동력 계산

펌프의 이론동력에 효율(η)을 나누어주고 전동기 용량을 구하기 위해서는 이 값에 전동기 전단계수 (K:1.1)를 곱하여 준다.

P(이론동력) = (㎏f･m/s) = 비중량(㎏f/㎥) x 펌프의 토출량(㎥/s) x 펌프의 전양정(m) = r･Q･H

P(실제동력) = (㎏f･m/s) = 비중량(㎏f/㎥) x 펌프의 토출량(㎥/s) x 펌프의 전양정(m) = r･Q･H

= {(r x Q x H)/η}1.1 = {(P x Q)/η} x K (전동기전당계수)

: P(압력) = r(비중량) x H(펌프의 전양정)

※ 실제계산시 상기공식에서 원하는 단위로 환산해 준다.

1W = 1Joule/sec = 1N.m/sec

1Kw = 102㎏f.m/sec

1HP(영국마력) = 76㎏f.m/sec

1PS(불마력) = 75㎏f.m/sec

참고) 펌프의 동력계산식 : 핵심이론 참조

문제계산)

동력 (KW) = 유량 x 압력 = 유량 x (전양정 x 비중)

= 360 x 1/60 x 1/60 x 10 x 1,000 x 1/102 x 1/0.7 = 14(킬로와트)

[계산참고]

360은 시간당 세제곱미터로 나타낸 유량이다.

1/(60 x 60)은 유량을 초당 세제곱미터로 환산해준다.

10은 미터로 타나낸 전양정 즉 수두이다.

1,000은 (킬로그램 / 세제곱미터)의 단위로 나타낸 비중이므로 수두인 10과 비중인 1,000을 곱하면

(킬로그램/세제곱미터)단위로 나타낸 압력이 된다.

유량에 압력을 곱하였으므로 동력이된다. 킬로와트와 환산하려고 102를 나누어 주었다.

(영국마력으로 환산하려면 76을 나누어 준다.) (PS-프랑스마력으로 환산하려면 75로 나누어 준다.)

효율이 70%이므로 0.7을 나누어 주었다. 전동기 전달계수는 고려하지 아니하였다.

주의할 점은 일률의 단위의 하나로서 영마력(HP)과 불마력(PS)이 있으며, 우리나라에는 불마력이 사용된다.

따라서 엄밀히 말하면 영국마력과 미국마력이 있으나 우리나라에서는 불마력이 사용되므로 마력(HP)라고 하면 (PS)인 불마력을 기준하기로 한다.

참고문헌: 주관환경기술 9902/파일번호991212  

정리하여작성한자; 정종태

[최재영]

감사합니다.