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<p><xbody bgcolor="white" text="black" link="blue" vlink="purple" alink="red"> </p>
<p>벡터형식에서 화살표를 없애고 스칼라 형태로 바꾸것에 대해서 약간
깨달은게 있어서 써봅니다.</p>
<p>만약 다음과 같은 벡터방정식이 있다고 합시다.</p>
<p>---------------------------------------------------</p>
<p>물체가 중력과 공기저항을 받고 있다.</p>
<p><b>F</b> = m<b>g</b> - mk<b>v</b></p>
<p>(- mk<b>v</b>는 <b>v</b>의 방향과 반대방향인 공기저항력입니다.)</p>
<p>-----------------------------------------------------</p>
<p>벡터란 무엇일까요?</p>
<p>바로 1차원을 3차원으로 연장한것입니다.</p>
<p>즉, 3차원식이지만, 1차원에서의 운동도 벡터방정식을 쓸수있습니다.</p>
<p>하지만 1차원에선(즉, 자유도가1) 방향이 2방향밖에 없으므로,</p>
<p>+ , - 가 벡터의 방향이라고 생각해도 논리가 성립할수 있습니다.</p>
<p>따라서 좌표만 잘 세우면(ex:하늘방향을+좌표로잡는다)벡터 방정식을 마치 스칼라방정식의 모양처럼 쓸수있다는 것입니다.(주의점:스칼라방정식 처럼 생겼으나 여전히 벡터의 성질을 가지고 있습니다.)</p>
<p>즉, 저문제에서 물체가 1차원 운동만 한다고 가정합시다.(ex:연직상방으로 던진 물체)</p>
<p>그러면 하늘 방향을 + 인 좌표를 잡을수 있고, 벡터방정식</p>
<p><b>F</b> = m<b>g</b> - mk<b>v </b>을</p>
<p>F<b>k</b> = - mg<b>k</b> - mkv<b>k</b></p>
<p>처럼 쓸수있습니다.(단 여기서 <b>g</b> = -g<b>k , k ==</b>> +z방향의 단위벡터)</p>
<p>즉, 양변에 k 를 없앨수 있으므로,</p>
<p>F = - mg - mkv </p>
<p>라고 쓸수있는것입니다.</p>
<p>위에서 g 의 방향은 항상 일정(항상땅방향) 이므로 <b>g</b> 를 <b>g</b> = -g<b>k</b>등으로 타내낼수있습니다.(<b>g</b>는 방향과 크기가 항상일정, 여기선 g는 가속도의 크기이다.)</p>
<p>하지만 <b>F</b>와 <b>v</b>를 - F<b>k </b>나 - v<b>k</b>처럼 나타낼수는 없습니다</p>
<p>왜냐하면 이경우 F = F(t) 나 v = v(t)로 본다면, 시간에 따라서 F와 v가 일정하지 않고, + 값이 될수도...- 값이 될수도...크기가 0 이 될수도...있는것입니다...</p>
<p>따라서 이경우 사람이 임의로 F나 v앞의 부호를 정해줄수가 없습니다. 하지만 이 방정식의 경우 F와 v 값은 부호가 안에 숨어있다고 생각하시면 됩니다.(g는 무조건 + 부호)</p>
<p>즉, 지금 이 벡터 방정식을 이렇게 표현한뒤에는 항상 염두해 두어야하는게,</p>
<p>1. F나 v는 부호를 포함하고 있다. - 값을 가질수도 있다.</p>
<p>2. 여기서 g는 좌표를 한번 설정해주면 변하지 않는다.(+이건, - 이건..)</p>
<p>그러면 F = - mg - mkv 식이 과연 스칼라 방정식일까요? 벡터방정식일까요?</p>
<p>이 방정식의 토대는, F(t)<b>k</b> = - mg<b>k</b> - mkv(t)<b>k </b>이므로, </p>
<p>이 방정식이 스칼라 인가? 벡터인가? 라는 질문이 될수있습니다.</p>
<p>당연히 이 방정식은 벡터방정식!!!</p>
<p>만약 F'(t) = - F(t) , v'(t) = - v(t)라고 가정합시다.</p>
<p>그러면 좌표변환을 180도(즉, 아래방향을 + 로 잡는다.) 한다면,</p>
<p>이 방정식은 이렇게 변합니다.</p>
<p>F'(t)<b>k</b> = mg<b>k</b> -mkv'(t)<b>k</b></p>
<p>따라서 좌표변환에 따라서 적절히 벡터의 성분이 변환하였으므로 이
방정식은 벡터방정식이라고 말할수있습니다.(즉, 성분들이 F(t) ->
F'(t) , -mg -> mg , -mkv(t) -> -mkv'(t) 이렇게 변환됨!!!)</p>
<p><b>k</b>를 그냥 없다고 생각한다면, 방정식 F(t) = - mg -mkv(t) 가 좌표변환에 따라서 F'(t) = mg -mkv'(t) 로 변한다고 생각할수있습니다.</p>
<p>따라서 F(t) = - mg -mkv(t) 는 벡터방정식의 한 종류 인 것입니다...^-^;</p>
<p>....이게 의미하는건 좌표를 180도 바꾸었을때 마지막의 답이 +50N
에서 -50N 등 으로 바뀔수 있는것입니다.^^;</p>
<p>....설명이 먼가 부족하게 느껴지는데;;; 깨닿는게 있으면 또 리플올리져.--;</p>
<p>긴글 읽어주시느라고 감사...^^;</p>
<p>물리적 태클 환영..-_-;;</p>
<p></xbody> </p>
</xbody>
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첫댓글당연하게 생각해온 것인데도 생각할수록 애매한게 물리더군요...-_ㅠ 솔직히 이 논의는 고등학교 공통물리에서도 논의될수있는 문제라고 생각합니다.;; 휴....정말 쉬운게 본질적으로 정말 어려운게 아닐까요? 그래서 이 글로써 이 논의를 완벽히 설명했다고는 생각하지 않습니다.^^*
내가 봐도 어색해 보이는군요..ㅎㅎ 넹..틀렸습니다....ㅎㅎ 수학적으로 스칼라방정식이죠..ㅋㅋ 물론 벡터의 성격을 가지고 있죠^^ 1차원에서 부호를 가지면 비록 스칼라 형태라도 벡터의 성격을 가집니다. 이 간단한것을...저런식으로 설명하다니...나도 참....옛날에 왜그랬을까???-_-;;
첫댓글 당연하게 생각해온 것인데도 생각할수록 애매한게 물리더군요...-_ㅠ 솔직히 이 논의는 고등학교 공통물리에서도 논의될수있는 문제라고 생각합니다.;; 휴....정말 쉬운게 본질적으로 정말 어려운게 아닐까요? 그래서 이 글로써 이 논의를 완벽히 설명했다고는 생각하지 않습니다.^^*
좋은 걸 깨달으신 것 같네요. 학부 일반물리 수준까지도 막무가내로 식을 세우는 것이 통하죠. 그런데, 전공과정 들어가면, 정확하게 좌표를 세우고, 차근차근 방정식을 세우는 것이 중요합니다. 물론 고등학교 과정에서도 부호를 고민하면서, 배울 수 있는 내용이라 생각합니다.
근데, 한가지 태클, 벡터 방정식은 정의되길, 벡터가 식에 나오는 방정식이 아닌가 싶습니다. 마지막 예를 들은 스칼라로 이루어진 식은 벡터방정식이라고 하기에는 좀 어색해 보입니다.
저번에도 1차원벡터와 스칼라에 대한 논의가 나온 적이 있었는데..
n*1행렬(혹은 1*n)이 텐서해석적으로 n차원 벡터(rank 1)를 설명하는데 1*1행렬은 1차원벡터인가, 스칼라인가(rank 1? 0?). 이런 종류의 논의였어요^^;;;
넵...물론 스칼라로만 이루어진 방정식(아무말이없으면)당연히 스칼라 방정식이죠. 하지만 이 경우는 중요한 조건이 하나 있습니다.(방정식만봐서는모르죠^^) 그 조건이란 좌표를 잡았다는것입니다.
즉, 좌표변환에 따라서 방정식 F(t) = - mg -mkv(t) 가 F'(t) = mg -mkv'(t) 이렇게 변환되는건 확실하니깐 스칼라방정식이라고 부르지는 못할듯 싶습니다.
하지만 이경우 벡터(단위벡터)란게 하나도 없으니 벡터방정식이라고 부르기도 얘매한데.....하지만 그래서 제가 전개시킨 논의는 이 방정식에는 단위벡터 k 가 생략되어있다구요~~~
따라서 물리적상황을 고려한다면 벡터방정식으로 생각해야 하지 않을까..하는^^; 이 방정식에 내가 별명을 붙였는데요...'단위벡터가 생략된 1자유도의 벡터방정식~' 넘기나;;;;쿨럭...
내가 봐도 어색해 보이는군요..ㅎㅎ 넹..틀렸습니다....ㅎㅎ 수학적으로 스칼라방정식이죠..ㅋㅋ 물론 벡터의 성격을 가지고 있죠^^ 1차원에서 부호를 가지면 비록 스칼라 형태라도 벡터의 성격을 가집니다. 이 간단한것을...저런식으로 설명하다니...나도 참....옛날에 왜그랬을까???-_-;;