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이것을 인구 증가에 있어 맬서스의 법칙이라고 한다.
k가 양수이면 시간(t)이 지남에 따라 개체수는 기하급수적으로 빨리 증가해 필요한 식량생산을 넘어서게 된다는 것
이다.
인구의 변화와 벨허스트의 법칙
맬서스의 법칙을 나오게 한 방정식은 너무도 많은 조건을 무시했다.
인구가 증가하는 요인은 출생 하나로 볼 수 있지만 인구가 감소하는 요인인 사망은 그 종류가 너무도 많다.
그러나 맬서스의 법칙은 인구가 감소하는 요인으로 오직 자연사만 인정했다.
이에 조건을 하나 더 추가해보자.
사람이 사회생활을 하면서 오는 경쟁관계에 의해 사망하는 경우이다.
둘 만 있다고 가정하면 둘 사이에 오는 관계는 너와 나 하나뿐이다. 셋이 있으면 셋 중 둘이 경쟁하는 관계가
세 가지가 있다.
현재의 개체수를 p라고 하면 각각의 두 개체 사이의 경쟁관계는 p(p-1)/2개 있다.
이러한 경쟁관계에 비례하여 사망하는 경우도 많아지므로 다음 조건이 감소 요인으로 추가된다.
k3p(p-1)/2
이 조건을 추가하고 a=k+k3/2 그리고 b=k3/2라고 하면, 인구의 증가를 예측하는 방정식은 다음과 같이 단순하게
표현할 수 있다.
dp/dt=p(a-bp), p(0)=p0
이 방정식을 벨허스트 모델이라 하며 이 방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.
p(t)=ap0/{bp0+(a-bp0)e-at}
이다.
이 해를 로지스틱 함수라 한다.
이 함수의 분모에서 a는 양수이므로 시간 t가 점점 커질수록 e-at 가 매우 빠른 속도로 작아져 (a-bp0)e-at는 0으로
가까이 간다.
그러므로 p(t)는 a/b에 가까이 간다.
따라서 개체수는 a/b를 넘을 수 없다.
이 수를 균형개체수라 한다.
다음 그림은 a/b가 초기의 수보다 클 때 개체수의 변화를 보여준다.
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이 방정식은 1840년 벨허스트(P. F. Verhulst)에 의해 처음으로 개발되었다.
좀 더 정확한 개체수의 모델을 구하려면 전쟁, 이민, 기술변화, 다양한 나이 대의 암컷의 수를 고려해야 한다.
특히 임신할 수 있는 암컷의 수는 매우 중요한 요소가 된다.
다음 편에서 벨허스트 모델의 해인 로지스틱 함수의 그래프가 2012년 대선의 그래프와 비슷하여 부정선거 시비가
나온 점에 대해 알아본다.
2012년 대통령 선거는 선거 역사상 유일하게 두 진영을 대표하는 두 후보 사이의 대결이 되었다.
그래서 단 한 번도 50% 이상의 지지를 받아 대통령에 당선된 경험이 없는 우리나라 투표 역사상 처음으로 50%
이상의 지지를 얻은 대통령이 나왔다.
로지스틱 함수와 부정선거 시비
뜻하지 않게 개표에 있어 부정선거 논란이 조용히 거론되었다.
그것도 과학적인 분석을 통해서. 세계 경제대국에 속하고 민주화의 고된 훈련을 경험하며 획득한 21세기 대한민국
에서 부정선거라니?
하긴 해방 이후 우리나라 선거 역사를 보면 거의 대부분이 부정선거였다.
부정 시비가 생기지 않고 선거한 일은 오래되지 않았다.
그러면 이러한 부정선거 논란이 나온 것은 왜일까? 그것은 시간대별로 누적하여 획득한 후보자 별 지지그래프가
인구 증가를 예측하는데 필요한 로지스틱 함수와 매우 비슷하게 나왔기 때문이다.
다음과 같은 앞서 소개한 일반적인 로지스틱 함수의 그래프와 SBS에서 발표한 대선시간 별 누적된 투표수의
그래프를 비교하면 분명 매우 닮았다.
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▲ 일반적인 로지스틱 함수의 그래프(위), SBS에서 발표한 2012년 대선시간 별 누적된 투표수의 그래프 |
그래서 다음 아고라에 글을 올린 김 씨는 다음과 같이 의심을 했다.
만약 누군가가 전형적인 로지스틱 함수를 이용하여 시간대별 득표수를 미리 설계했다면, 그리고 그 설계에
따라서 득표수를 시간대별로 미리 계산해 놓고, 개표현장에서 컴퓨터에 입력되어 올라오는 득표 수치를 중간에
집계하는 프로그램 과정에서 개입하여 미리 계산해 놓은 득표수로 치환해 버린다면 시간대별로 종합적으로
나타나는 득표수는 실제 개표현장에서 집계해서 올려 보낸 개표수와는 전혀 다른 사전에 치밀하게 설계하여
미리 산출해 놓은 득표수가 될 수도 있다.
그리고 언론에는 이 득표수를 제공해 주면 국민들은 개표소 현장에서 실제로 개표한 득표수는 전혀 모르고 오직
미리 설계해서 중간에 집계 프로그램 과정에서 바꿔치기 된 가상의 득표수만을 보게 되는 것이다.
놀라운 상상력이다.
맞다. 분명히 가능하다.
부정선거를 하려고만 들면 집권여당의 이점을 살려 충분히 할 수 있다.
그러나 개표를 모두 완료하고 그 수치를 다시 확인하면 분명히 거짓된 수치는 밝혀진다.
개표된 투표용지까지 조작할 수 있을 정도로 우리나라 선거문화가 낙후되어 있을까?
김 씨가 사용한 로지스틱 함수는 p(t)=kp0eat/{k+p0(eat-1)}, k=a/b이다.
이 함수는 인구증가를 예측하는 벨허스트 모델 dp/dt=p(a-bp), p(0)=p0 을 만족하는 해이다.
로지스틱 함수에 k=a/b를 대입하여 정리하면 다음과 같은 함수가 된다.
p(t)=ap0/{bp0+(a-bp0)e-at}
이 함수는 t가 점점 커질수록 a/b에 가까이 간다.
따라서 a=b=1로 두면 이 함수는 0보다 크고 1보다 작으며 t가 커질수록 1에 가까이 간다.
0보다 크고 1보다 작은 p0를 대입하면 다양한 로지스틱 함수를 그릴 수 있다.
아래 그림은 p0=0.0001인 경우 그래프이다.
p0가 0.0001보다 크면 그래프가 왼쪽으로 치우치고 작으면 오른쪽으로 치우친다.
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▲ p0=0.0001인 경우 그래프 |
다음 아고라에 반박문을 올린 박 씨에 의하면 김 씨가 제시한 시간대 별 로지스틱 함수 p(t)의 값은 다음과 같이 구해
졌다.
시간대(t) 별로 박근혜 후보를 지지한 투표수를 박근혜 후보를 지지한 전체 투표의 수로 나눈 값을 f(t)라 하자.
이 값은 시간대 별 득표수와 전체 득표수가 이미 나왔기 때문에 매우 쉽게 구할 수 있다.
이 f(t)를 로지스틱 함수의 k에 대입해서 얻은 값이 그루터기추억이 제시한 시간대 별 로지스틱 함수 p(t)의 값이다.
여기서 p0=0.00016을 사용했다.
p(t)=f(t)p0et/{f(t)+p0et-1)}, t=1,2,...,21
따라서 그루터기추억이 미리 산출했다고 가정한 그 자료 p(t)를 넣으면 당연히 박근혜 후보가 얻은 표 f(t)와 정확히
일치할 수밖에 없다.
따라서 부정선거를 기획한 자가 약 2%의 차이로 이기게끔 조작했다면 김 씨가 산출한 그 자료를 미리 만들어 실행
하여 박근혜 후보가 얻은 투표수가 나오고 같은 방법으로 문재인 후보가 얻은 투표수도 얻을 수도 있다.
역사상 부정선거 당사자의 최후는?
그러나 다시 생각해 보자.
정말이지 부정선거를 기획 했다고 하자.
그러면 전국에서 올라오는 투표수를 집계하고 그것을 방송국에 보내는 과정에 집계한 수와는 관계없이 이미 조작된
자료를 전송해 주었다는 것이 된다.
그렇다면 수개표 된 투표용지는 당선자 결정이 나기도 전에 사라져야 한다는 것인데 이것은 제도적으로 가능할 수
없다.
하지만 시간대 별 투표수의 그래프가 우연히도 로지스틱 함수와 비슷하고 여기서부터 부정선거 가능성을 비친
김 씨의 생각은 참으로 놀라운 것이다.
따라서 그의 의심대로 개표가 완료된 투표용지의 수가 방송된 자료와 정확히 맞는지 확인하는 것은 필요하다.
그러나 2012년 대선이 끝난 후 야당은 이를 요구하지 않았다.
부정선거를 끝까지 들키지 않게 잘 하는 것도 정권을 유지시키는 능력이다.
또한 부정선거의 의심이 간다면 제대로 확인하고 여론화하여 재선거를 하는 것도 정권을 장악하는 능력이다.
이승만은 대범한 부정선거를 감행하여 여러 번 대통령에 당선되었다.
또한 박정희도 부정선거 논란이 끊임없이 따라다녔다.
그들이 행한 부정선거는 들키지 않게 노력한 것이 아니라 들키는 것을 아예 염두에 두지 않고 저질렀다.
그 결과 이승만은 혁명의 타도 대상이 되어 하와이로 쫓겨났고, 박정희는 임기가 없는 종신 대통령의 자리에
있다가 결국 자신이 신뢰했던 중앙정보부장이 쏜 총탄에 죽은 것이다.
2012년 대선은 누가 보아도 관권을 동원한 확실한 부정선거임이 이미 밝혀졌다.
단지 대중은 이로 인한 사회의 혼란이 염려스러워 밝히기를 선뜻 나서질 않을 뿐이다.
그래서 아직 법적으로 밝혀지지 않았을 뿐이다.
이 선거를 끝까지 공정한 선거였다고 주장하고 특검을 거부하며 정권을 이어가는 현 여당의 능력이 뛰어난지
아니면 여론화에 성공하고 법적으로 단죄를 이루려고 하는 야당을 포함한 재야 세력의 능력이 뛰어난지는 지켜볼
일이다.
낭비를 막아주는 수 √2
컴퓨터가 매우 실용화되면서 종이의 소비가 줄어들 것으로 기대했다.
그러나 화면 속의 글씨보다는 종이 위에 인쇄된 글씨가 보기 편해 출력을 또 하기도 한다.
중요한 자료의 보관을 위해서는 디지털 저장 뿐 아니라 고전적인 인쇄물로 저장하는 습관도 아직 갖고 있다.
특히 컴퓨터의 인쇄술 발전은 홍보물을 값 싸게 남발하여 종이의 소비를 크게 줄이지는 못했다.
종이를 소비하는 것은 나무를 벌목하는 것이나 다름없어 이는 환경에 매우 나쁜 영향을 끼친다.
미국을 제외한 대부분의 나라에서는 같은 규격의 컴퓨터 용지를 사용한다.
A와 B로 시작하는 종이가 그것이다. 이 종이에는 일정한 특징이 있다.
그것은 비록 크기가 다를지라도 모양이 같다는 것이다.
모양이 같다는 것은 닮은꼴로 적당한 비율로 축소하고 확대하면 서로 다른 규격의 종이로 출력할 수 있다.
따라서 닮은꼴은 종이의 낭비를 막아줄 수 있다.
여기에 숨어 있는 수가 있으니 바로 2의 제곱근인 √2이다.
이 수의 크기는 밑변과 높이가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이와 같다.
복사용지에 숨겨진 수
우리가 주로 사용하는 복사용지는 A4나 B4 또는 B5를 많이 사용한다.
그중 가장 많이 사용하는 A4의 긴 변의 길이와 짧은 변의 길이를 재고, 다시 긴 변의 중간을 중심으로 반으로 접은
후 나온 사각형의 긴 변의 길이와 짧은 변의 길이를 재면 다음 표와 같다.
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한편 복사용지가 아닌 일반용지의 길이를 복사용지와 같은 방법으로 재었더니 아래 표와 같았다.
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복사용지는 반으로 거듭 접었을 때 나오는 가로와 세로의 비가 항상 같으나 일반용지는 다른 두 비가 교대로 나옴을
알 수 있다.
가로와 세로의 비가 서로 같은 직사각형들은 닮은꼴로 한 사각형을 적당히 확대하거나 축소하면 다른 사각형을 만들
수 있다.
그러나 일반용지처럼 그 비가 다르면 닮은꼴이 아니므로 확대하거나 축소하면 한 쪽이 크게 되어 필요에 따라서는
그 부분을 잘라내야 하므로 종이가 낭비된다.
따라서 직사각형을 반으로 접어도 모양이 변하지 않게 하면 확대하거나 축소할 때 종이의 낭비를 막을 수 있다.
복사용지에서 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 항상 1.414이다.
이 수는 √2에 매우 가까운 수이다.
종이의 가로 대 세로의 비가 √2가 되면 반으로 접어도 그 모양이 변하지 않아 확대와 축소를 통해 서로 다른 규격의
종이로 변환을 자유롭게 한다.
따라서 √2라는 수는 규격이 서로 달라 잘못 잘라져 나가는 종이의 낭비가 없도록 하는 아주 환경적인 수다.
닮은꼴을 유지하는 2의 제곱근
한 직사각형의 긴 변을 반으로 접어도 원래의 직사각형과 모양이 같다고 하자.
편의상 이 직사각형의 한 변의 길이를 1이라 하고 다른 한 변의 길이를 x라 하자(여기서 1<x<2).
그러면 긴 변을 반으로 접은 직사각형의 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는 1:x/2이다.
원래의 직사각형과 같은 모양이라는 뜻은 닮은꼴로 두 비가 서로 같다는 것이다. 따라서
1:x/2 = x:1
이 성립한다.
등호를 중심으로 안쪽 항과 바깥쪽 항의 곱은 같으므로 x2=2을 만족한다.
따라서 x=√2가 된다.
즉 직사각형의 긴 부분을 반으로 접어도 원래의 직사각형과 모양과 똑같으려면 직사각형의 두 변의 길이의 비가
√2가 되어야 한다는 뜻이다.
한편 어떠한 일반용지도 두 번 반복해서 접으면 가로와 세로의 크기가 모두 반으로 되어 두 번 접힌 용지는 항상
원래 용지와 닮은꼴이다.
그러나 가로와 세로의 비가 √2가 아니면 한 번 접힌 경우는 원래의 용지와 다르다.
복사용지의 제작
우리가 가장 자주 사용하는 복사용지는 A4이다.
실측을 통해 알아본 것처럼 이 A4 용지의 규격은 210mm×297mm이다. 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비는
297/210 ≈ 1.414286
로 √2와 거의 같다.
즉 A4 용지는 반으로 접으면 원래의 모양과 같게 나오도록 제작된 것이다.
종이는 공장에서 전지라고 부르는 큰 규격의 종이를 절반으로 자르고, 이를 또 다시 절반으로 자르는 과정을 반복
하여 만들어진다.
전지를 반으로 자른 것이 반절지, 가로 세로로 각각 이등분하여 나온 종이를 4절지라 하며, 4절지를 반으로 자른 것을
8절지, 8절지를 반으로 자른 것을 16절지라 한다. 즉, n절지는 전지를 똑같은 크기로 n등분한 종이다.
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만일 종이의 크기가 320mm×200mm이면 긴 변의 길이 대 짧은 변의 길이의 비가 1.6이나, 이등분하면 200mm×160mm이
되어 그 비가 1.25가 된다.
종이를 정사각형으로 하면 그 비는 1이나, 그것을 이등분하면 2가 된다.
이렇듯 반으로 접을 때마다 종이의 모양이 달라지면 종이를 실생활에서 사용하게 될 때 일부를 잘라내게 되어 아까운
종이를 낭비할 수 있어 비경제적이게 된다.
독일공업규격위원회(Deutsche Industrie Normen)에서는 큰 종이를 잘라 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를
최소로 줄일 수 있도록 인쇄, 컴퓨터, 편지, 책 등에 이용되는 종이의 형태와 크기를 선택했다.
적절한 규격을 선택했을 때, 예를 들어 컴퓨터 용지의 절반을 편지지로 하고 편지지의 절반을 메모지로 메모지의
절반을 또 다른 용도로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이다.
앞서 설명했듯이 종이를 절반씩 나누어 가는 과정에서 그 모양이 변하지 않게 하려면 종이의 가로대 세로의 비는
√2가 되어야 한다.
B 용지는 A 용지보다 1.5배 넓다
전지인 A0 용지의 두 변의 길이는 각각 1189mm와 841mm로 그 비는 약 1.4138이며 넓이는 1189×841=999949mm2 으로
약 1m2이다.
즉, A0 용지는 넓이가 1m2이고 가로 대 세로의 비가 √2가 되도록 만든 종이이다.
이 종이를 절반으로 자른 종이를 A1, 다시 A1을 절반으로 자른 종이를 A2라 한다.
같은 방법으로 A3, A4, A5를 만든다.
즉, A4는 A0를 네 번 반복하여 절반으로 자른 종이로 A0 용지를 16(=24)등분한 16절지이다.
A 용지를 다음 그림 과 같이 모두 포개놓으면 그 닮은 모양을 알 수 있다.
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A0는 그 넓이가 1m2이고 가로 대 세로의 비가 √2가 되도록 만든 종이인 반면, B0는 가로 대 세로의 비는 똑같이 √2
이나 넓이는 1.5m2이 되도록 규격을 만든 것이다.
그래서 B0의 크기는 1456mm×1030mm이다.
이 역시 절반으로 나누는 과정에서 B1, B2, B3, B4, B5가 만들어진다.
다음 표는 ISO 종이 규격이며 동시에 KS 규격이다.
ISO 종이 규격은 유럽지역에서 가장 공통적으로 쓰이고 있는 표준 규격이며 미국은 A4 대신에 주로 레터(letter)지를
사용하며 레터지의 규격은 216×279mm(8.5'×11')이다.
물론 레터지는 반으로 접으면 같은 모양이 나오지 않는다.
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(이규봉)