지난번 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 등 꼭 5가지 밖에 없다는 것을 알아 보았다. 그런데 이들은 서로서로 끝없이 순환하는 성질이 있다. <표>와 같이 화살표를 따라가면서 각 정다면체 안에 다른 정다면체를 넣어보자.
먼저 정십이면체의 면의 개수와 정육면체는 모서리의 개수가 서로 같으므로 정십이면체의 각 면 위에 선을 하나씩 그려 그 선이 모서리가 되도록 하면 정육면체를 만들 수 있다(그림 1). 마찬가지로 정육면체의 각 면에 대각선을 하나씩 그어 그 선이 모서리가 되도록 하면 정사면체가 된다(그림 2). 정사면체의 모서리의 개수와 정팔면체의 꼭지점의 개수가 6개로 같으므로 정사면체의 각 모서리의 중점을 잡아 그 점이 꼭지점이 되도록 연결시키면 정팔면체가 생긴다(그림 3). 또 정팔면체의 각 모서리를 황금분할(약 1:1.6)하여 이웃한 이들 세 점을 지나는 평면으로 계속해서 잘라내면 정이십면체가 만들어진다(그림 4). 정팔면체의 모서리 개수가 12개로 정이십면체의 꼭지점 개수와 같기 때문이다. 정이십면체의 각 면의 한가운데 점(각 삼각형의 무게중심)을 찍고 각 꼭지점에 모인 5개의 면에 찍힌 점들을 이으면 정오각형이 되므로 정십이면체를 만들 수 있다.
결국 정십이면체에서 시작하여 다시 정십이면체까지 차례로 만들어 갈 수 있다. 이렇게 정다면체는 모양은 다르지만 서로서로를 품어주는 따뜻한 입체도형인 셈이다.
또 정육면체의 각 면의 무게중심을 잡아 이웃한 중심끼리 연결하면 정팔면체가 만들어지는데, 이는 정팔면체의 꼭지점의 개수와 정육면체의 면의 개수가 6개로 서로 같기 때문에 가능하다. 거꾸로 정팔면체로 정육면체를 만들 수 있음은 물론이다. 이렇게 할 수 있는 정다면체의 짝을 <표>를 보고 생각해보자.