[퍼온글]파이의 역사

[성은]

[대수학] ㅠ(파이)의 역사 - 제 1편

번호:22301

글쓴이: 쀍

조회:46

날짜:2003/08/03 14:59

..	ㅠ는 우리에게 너무나 친숙한 널리 사용되는 수이다. 그러나 친숙하면서도 ㅠ에 관해서 잘 알고 있지는 못한 듯하다 한번은 '학생들이 ㅠ에 관해 얼마나 알고 있나' 궁금해서 학생들에게 ㅠ에 관해 알고 있는 것을 무엇이든지 말해보라고 질문해 본 적이 있다. 대부분이 3.14라고 하거나 약 3.14라고 했고, 원의 둘레의 길이나 넓이를 구하는 공식 l=2ㅠr , S=ㅠr^2 에 나온다고 말했고, 그 중 몇몇은 각의 크기를 라디안(radian)단위로 나타낼 때 쓰인다고 했다. 단지 한 두명만이 원주율이라고 했으나 원주율이 무슨 뜻이냐는 물음에는 그냥 초등학교 때 '원주율은 3.14'라고 배우다가 중학교 때부터는 그것을 ㅠ라고 썼다고 답할 뿐이었다. 그러면 이제부터 과연 ㅠ는 어떻게 정의되었으며, ㅠ의 근사값은 어떻게 구하였는지 살펴보기로 하자. ㅠ는 원의 둘레(圓周, 원주)의 지름에 대한 비율(率, 율)인 원주율(圓周率)이다. 모든 원은 닮은 도형이므로, 원의 둘레의 길이는 그 지름에 비례한다. 그 비례상수, 즉 원주를 지름으로 나눈 값을 원주율이라고 한다. 원주/지름 = 원주율(ㅠ) 지름이 d인 원 O의 둘레의 길이를 l, 지름이 d'인 원 O'의 둘레의 길이를 l'라고 할 때 원주/지름 = l/d = l'/d' 인 것이다. 고대에는 이 원주율의 값을 대체로 3이라고 생각하고 있었다. 구약성경의 열왕기상 제 7장 23절과 역대하 제 4장 2절을 보면 '그 직경(지름)이 십 규빗이요. 그 모양이 둥글고... 주위(원주)는 삼십 규빗 줄을 두를 만하며' 라는 구절이 있는데, 이것은 지름이 10인 원의 둘레가 지름의 3배인 30이라는 것으로서 원주율을 3으로 사용하고 있었다는 것을 알 수 있다. 또한 탈무드에도 '원둘레가 손너비 셋이면, 지름은 손너비 하나' 라고 쓰여있는 데서 원주율의 고대의 추정치는 3이었음을 확인할 수 있다. 그러던 중 원주율의 근사값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구한 사람이 있었는데, 그가 바로 기원전 3세기의 아르키메데스(Archimedes, 287~212 B.C.)이다. 원주율을 구하기 위해서는 원의 둘레의 길이를 정확히 구하기만 하면 되는데, 문제는 원은 곡선으로 정확한 길이 측정이 어렵다는 것이다. 이에 아르키메데스는 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하여 원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하였다. 내접하는 정다각형의 둘레의 길이 < 원의 둘레의 길이(원주) < 외접하는 정다각형의 둘레의 길이 그는 먼저 원에 내접하는 정 6각형과 외접하는 정 6각형을 그렸고, 이 그림에서부터 변의 개수를 두 배씩 늘려서 원에 내접, 외접하는 정 12각형, 정 24각형, 정 48각형을 그리고 마침내 정 96각형을 그려서 그 둘레의 길이를 계산하기에 이른다. 원의 둘레의 길이가 내접하는 정 96각형의 둘레의 길이보다는 크고 외접하는 정 96각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실로부터 3 + 10/71 < 원주율 < 3 + 1/7 ∴ 3.140845... < 원주율 < 3.142857... 을 얻어냈다. 이것은 원주율을 3.14, 즉 소수점 아래 둘째 자리까지 정확히 구해낸 것이고, 원둘레는 원의 지름의 약 3.14배라는 것이다. 고대의 계산술을 가지고 이렇게까지 정확하게 계산한 것은 실로 대단한 것이다. 그러나 소수점 아래 둘째 자리까지 맞추었다고 하는 것보다도 더 주목해야 할 사실은 '다각형법' 이라고 불리우는 아르키메데스의 이 방법을 사용하면 (계산이 복잡하기는 하지만 이론상으로는) 얼마든지 원하는 만큼 정확하게 원주율의 값을 계산해 낼 수 있다는 것이다. 즉, 정다각형의 변의 개수를 2배씩 계속 늘려갈 수록 점점 더 정확한 원주율의 값을 구할 수 있다.. 실제로 16세기 독일의 수학자 루돌프(Ludolph van Ceulen, 1540~1610)는 원둘레를 계속 2등분하여 결국 원에 내접, 외접하는 정 2^62각형(정2^62각형 = 정 4611686018427387904 각형) 으로부터 원주율을 원주율 = 3.14159265358979323846264338327950288 과 같이 소수점 아래 35자리까지 계산하였다. 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하여 원주율을 이만큼 실제로 계산하는 것은 정말로 대단한 것이다. 루돌프는 원주율을 소수점 아래 35자리까지 계산하는데 그의 일생을 바쳤고, 죽을 때에도 자신이 계산한 원주율의 값을 묘비에 새겨 달라고 유언을 하였다고 한다. 그러나 아무리 소수점 아래를 계속 구해 나가도 완전히 정확한 원주율의 값은 구할 수 없다. 왜냐하면, 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이기 때문이다. 이처럼 순환하지도 않고 소수점 아래 끊임없이 계속되는 수, 그러면서도 일정한 수 3.141592653589793238... 을 ㅠ로 나타내기 시작한 것은 18세기 위대한 수학자 오일러 (Euler, 1707~1783)에 의해서이다. 오일러는 '둘레' 를 뜻하는 그리스어의 첫 자를 따서 원주율을 ㅠ로 나타내었는데, 이 표기가 점점 보편화되어 지금도 사용되고 있다. 원주율 ㅠ = 3.14159265358979323846264338327950288 ...		Netscape 7.0 이상을 사용하십시오. "); } else { document.writeln(" "); } --> 아바타정보|같은옷구입 상품권 선물하기

꼬리말쓰기

	pi=0314	심심하시다면 "주율 π의 불가사의, 호리바 요시카즈, 한명수, 전파과학사, 1993"을 잠시 찾아보셔도 도움이 될듯... 전파과학사의 책이 대채로 얇지만(?) 읽어볼만합니다. 참고로 수학관련 서적은 모두 파란색 라벨(?)이 붙어있습니다. blue backs...	[2003/08/03]
	너의 커피향기가..	재밋다.	[2003/08/03]
	☆【MaTh i...	이거 퍼가구 싶은데.. 그래두 데나여??	[16:55]
	쀍	퍼가십시오 ㅋ	[17:52]

[대수학] ㅠ(파이)의 역사 - 제 2편

번호:22309

글쓴이: 쀍

조회:22

날짜:2003/08/04 16:44

..	기원전 3세기의 아르키메데스(Archimedes, 287~212 B.C.)의 '다각형법'을 이용하면 이론적으로는 원주율을 소수점 아래로 계속 구해 나갈 수 있었으나, 실제로는 계산상의 어려움이 있다. 그 예로 16세기 독일의 루돌프(Ludolph van Ceulen, 1540~1610)가 평생동안 계산하여 원주율을 소수점 아래 35자리까지 구한 것처럼 다각형법으로는 원주율 ㅠ의 값을 소수점 아래 40자리 정도까지 계산하는 것이 고작이었다. 그런데 17세기에 들어와 뉴튼(Newton, 1642~1727)과 라이프니쯔(Leibniz, 1646~1716)에 의하여 시작된 미적분학과 더불어 원주율 ㅠ를 무한급수로 나타내는 식이 차례차례 발견되었는데, 이러한 무한급수 식을 이용하면 다각형법을 이용하는 것보다 더 쉽게 ㅠ의 근사값을 계산할 수 있었다. 무한급수를 이용하여 ㅠ값을 처음 계산한 사람이 바로 그레고리(Gregory, 1638~1675)였다. 그는 ㅠ/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + .... 이라는 무한급수를 발견하였는데, 이 식은 또한 ㅠ/8 = 1/1*3 + 1/5*7 + 1/9*11 + ... 로도 고쳐 쓸 수 있다. 그레고리는 위의 식을 이용하여 ㅠ의 근사값을 계산하였다. 그런데 무한급수로 나타낸 이러한 식을 사용하여 ㅠ값을 계산할 때에는 무한급수가 가능한 한 빨리 일정한 값으로 수렴하는 것이 바람직하다. 그러나 안타깝게도 최초로 발견된 이 무한급수는 수렴하는 속도가 느린 편이라서 원주율 ㅠ의 값을 계산하기에 그디지 적절하지는 못하였다. 그러나 샤프(Sharp, 1651~1742)는 이 식을 조금 변형한 식을 사용하여 1699년에 ㅠ의 값을 소수점 아래 72자리까지 정확하게 구하였다. 이와 같이 원주율 ㅠ를 계산하기 위해 무한급수를 이용하는 새로운 방법이 발견되었는데, 이 때 무한급수는 (1) 가능한 한 빨리 수렴해야 하고 (2) 계산이 쉬워야 한다 는 두 가지 조건을 갖추는 것이 바람직하다. 따라서 이제 원주율 ㅠ의 값을 계산하려는 경쟁은 위의 두 가지 조건을 만족하는 무한급수를 찾는 경쟁으로 바뀌어 갔다. 한편, 오일러(Euler, 1707~1783)는 앞의 두 조건을 만족하는 무한급수로서, ㅠ/4 = 1/2 - 1/3(1/2)^3 + 1/5(1/2)^5 - 1/7(1/2)^7 + ... 　　　+ 1/3 - 1/3(1/3)^3 + 1/5(1/3)^5 - 1/7(1/3)^7 + ... 을 발견하였다. 이러한 그레고리와 오일러의 발견을 시작으로 원주율을 계산하기에 좋은 무한급수가 차례차례 발견되었다. 마췬(Machin, 1685~1751)은 그레고리의 무한급수를 변형하여 다음과 같은 무한급수를 얻었다. ㅠ/4 = 4 { 1/5 - 1/3(1/5)^3 + 1/3(1/5)^5 - 1/7(1/5)^7 + ... } 　　　- { 1/239 - 1/3(1/239)^3 + 1/5(1/239)^5 - 1/7(1/239)^7 + ... } 이 무한급수는 오일러가 발견한 무한급수보다 훨씬 빨리 수렴하므로 원주율을 계산하기에 상당히 편리하다. 마췬은 이 급수를 이용하여 ㅠ의 값을 소수점 아래 100자리까지 구하였다. 이처럼 무한급수를 이용하여 원주율을 계산하는 경쟁이 계속되었는데, 그 가운데 중요한 성과들만을 간추려 보면 다음과 같다. 라자포드 : 1841년 소수점 아래 152자리까지 다　　제 : 1844년 소수점 아래 200자리까지 크라우젠 : 1847년 소수점 아래 248자리까지 라자포드 : 1853년 소수점 아래 440자리까지 리 히 터 : 1855년 소수점 아래 500자리까지 샹 크 스 : 1873년 소수점 아래 707자리까지 위의 자료에서 보듯이 샹크스(Shanks, 1812~1882)는 평생 걸려서 1873년에 소수점 아래 707자리까지 계산하기는 하였으나, 1945년 영국의 아턴왕립해군대학(Arton Sea Millitery University in Kingdom)의 훼럭이라는 사람이 샹크스의 계산을 다시 해 본 결과 소수점 아래 528자리에서 착오가 있다는 사실이 발견되었다. 결국 원주율 ㅠ의 값을 계산하는 데 있어서, 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하는 '다각형법'으로 계산하는 것은 이론상으로는 무한히 할 수 있지만 현실적으로는 루돌프가 평생동안 계산하여 소수점 아래 35자리까지 구한 것에서 알 수 있듯이 소수점 아래 40자리 정도까지 구하는 것이 고작이다. 또한 ㅠ값을 구하기 위해 '무한급수'를 이용하는 방법도 발견되었다. 이는 다각형법보다는 계산이 편리해진 것이지만 이것도 인간이 손으로 계산하기에는 샹크스의 예에서 알 수 있듯이 소수점 아래 500자리를 조금 넘는 정도까지 구해내는 것이 한계이다. 그런데 여기에 컴퓨터가 발명되어 복잡한 계산도 빨리 할 수 있게 되었다. 실제로 최초의 디지털 컴퓨터가 등장한 1949년에는 ㅠ의 값은 소수점 아래 800자리까지 계산되었고, 1961년에는 소수점 아래 10만 자리까지, 1974년에는 CDC 600이라는 컴퓨터로 소수점 아래 100만 자리까지 ㅠ의 값을 계산하였다. 1984년 동경 대학 팀은 슈퍼 컴퓨터로 ㅠ의 값을 소수점 아래 1600만 자리까지 구하였는데, 이는 몇 천 페이지 짜리 책을 메꿀 수 있는 분량이며, 컴퓨터로 약 24시간이 걸린 것으로 알려져 있다. 이러한 ㅠ의 계산은 아르키메데스 이래로 인류의 꿈이었는데, 컴퓨터의 등장으로 현재 ㅠ의 값은 소수점 아래 천문학적인 숫자 자리까지 계산되어 있다. 지금도 그 누군가가 컴퓨터로 이와 같은 작업을 계속하고 있을지도 모르며, 앞으로도 소수점 아래로 계속 구해질 것이다. 그러나 아무리 이렇게 소수점 아래로 계속 구해 나간다 하더라도 근사값일 뿐 완전히 정확한 원주율 ㅠ의 값은 구할 수 없다. 왜냐하면 ㅠ는 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이기 때문이다. 한편, 실제로 원주율 ㅠ의 값은 정밀공업에서도 3.1416이면 충분하고, 일상생활에서는 3.14정도로 충분하다. 그럼에도 불구하고 ㅠ의 근사값을 소수점 아래로 조금이라도 정확하게 구하려는 숱한 노력들을 볼 때 인간의 지적 호기심과 탐구하는 노력은 참으로 끝이 없다.		Netscape 7.0 이상을 사용하십시오. "); } else { document.writeln(" "); } --> 아바타정보|같은옷구입 상품권 선물하기

꼬리말쓰기

	☆【MaTh i...	이거 퍼가구 싶은데여... 그래두 데나여??	[16:55]
	밝히리	참고자료. 위의 무한급수는 arctan(x) = x - (1/3) x^3 + (1/5) x^5 - (1/7) x^7 + ... 를 이용합니다.(-1 < x <= 1 일때 수렴, x의 단위는 라디안) tan(pi/4) = 1 을 이용해서 pi/4 = arctan(1) 이 그레고리(Gregory)의 급수이고, 오일러(Euler)의 급수는 pi/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3) 입니다.	[16:58]
	밝히리	pi/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) 가 마췬(Machin)의 급수이죠. 대학교 과정에서 무한급수를 배운 사람에게는 위에서 말한 복잡한 수식보다는 이렇게 말하는 것이 이해가 빠를 듯 합니다. 이렇게 arctan(x)를 이용한 pi를 구하는 공식은 이것 말고도 몇가지 더 있습니다.	[17:05]
	&#49165;	네 퍼가세요 ㅋㅋ	[17:45]
	&#49165;	아 네^^ 저도 처음에 님 방식으로 올리는 것을 해 보려고 했지만^^;; 어쨋든 충고 감사합니다 ㅋㅋ	[17:50]

[성은]

윗 글은 수학문제푸는동네의 쀍 님께서 올리신 글입니다.

[『개념』]

우와...신갸다~@_@

[F킬러]

먹는 파이의 역사가 아니었네.^^; 재미있었습니다. 지금은 더 많은 발전(?) 이 있는 파이... 지금은 소수점 이하 몇억대로 가죠.

[개념]

그리고 30규빗줄을 두를만하다라고 했으니까 3이라 사용했다고 가정하시는건 무리가있습니다.

[개념]

이런 무책임한 저술 행각은 심히 불쾌함-_-ㅋㅋㅋ