카오스 이론(Chaos Theory, 混沌理論, 혼돈이론)

[노승렬]

카오스 이론(Chaos Theory, 混沌理論, 혼돈이론)

카오스는 외관상 무작위하게 보이지만 그것을 지배하는 동역학법칙이 존재하며 주어진 초기 값에 의해 미래의

상태가 결정되는 결정론적 본성을 갖고 있다.
카오스는 비선형 현상을 대변하는 중요한 예 중의 하나이다. 19세기말 푸앵카레는 비선형 현상에 대한 질적인

분석의 중요성을 통찰하여 최근 연구에서도 유용하게 사용되는 도구들을 고안했고, 여러 가지 수학적 정리를

증명하고 많은 추론들을 제시했다. 1964년 로렌츠는 온도·기압·풍향 등을 변수로 하는 대기의 운동에 대한

비선형 방정식을 연구하여 방정식의 해로써 카오스운동이 가능함을 발견했다.
20세기 들어서 전자계산기의 발명으로 매우 복잡한 수치계산이 가능하게 되어, 과학 전반에 걸친 연구방법에 있어 일대 변혁을 일으켰다.

카오스 이론(Tom Klimmeck/Shutterstock)

카오스는 주사위를 계속 던졌을 때 얻는 숫자들의 나열과 같은 무작위성(randomness)과는 구별된다.

카오스는 외관상 무작위하게 보이지만 그것의 동역학을 지배하는 법칙이 존재하고, 따라서 주어진 어떤 초기 상태에 대해서 미래의 상태가 그 법칙에 의해 항상 유일하게 결정되는 결정론적인 본성을 갖고 있기 때문이다.

물리학의 목적은 자연현상을 지배하는, 되도록 적은 수의 기본법칙들을 발견하는 것이다.

이 법칙들을 이용하여 계의 초기 상태를 알면 그것의 미래상태에 대해 예측할 수 있다. 기본법칙들은 흔히 수학적

방정식으로 표현되는데, 이때 예측이란 그 방정식의 해를 구하는 것을 의미한다. 19세기까지 물리학자들은

방정식을 풀기 위해 주로 해석적인 방법에 의존했다. 그러나 비선형 항이 포함된 비선형방정식은 해석적 방법으로 다루기가 어렵고 해를 얻기 위한 일반적인 방법이 없으므로 주로 선형방정식이 연구대상이 되었다.

고려되는 시간과 공간의 범위가 작을 때 그 현상은 선형방정식으로 잘 근사될 수 있으므로 선형 근사와 이의 해석적 분석은 많은 자연현상을 이해하는 데 실질적으로 매우 성공적이었다. 하지만 오랜 시간이 경과한 후의 동역학이나 가까이 있을 때보다 멀리 있을 때의 상호작용이 더 중요한 자연현상들은 얼마든지 많으며 방정식의 비선형 항을

무시하면 이러한 비선형 현상들은 설명될 수 없다.

카오스는 비선형 현상의 독특한 예의 하나이다.

예를 들어 진자의 단조화운동을 보면, 진자의 운동은 비선형 방정식으로 기술되지만 운동의 진폭이 충분히 작은

경우 선형방정식으로 근사할 수 있다(단조화운동). 또한 운동에 대한 마찰이 있을 경우 주기적으로 추에 힘을

가함으로써 진자가 가해진 힘의 주기를 갖는 규칙적인 단조화운동을 계속하게 할 수 있다. 이 선형방정식은 비교적 쉽게 분석될 수 있어서 주기 등의 운동에 대한 정보를 해석적으로 표현할 수 있다

선형현상은 운동의 규칙성, 강한 예측가능성 및 구조적 안정성 등으로 특징지을 수 있는데 진자의 예에서는 진동의 진폭이나 주기적인 힘의 세기를 약간 변화시켜도 충분한 시간이 경과하면 운동이 원래의 진동으로 되돌아옴을 의미한다. 하지만 변화의 폭이 충분히 크면 이와 같은 규칙적 진동은 더이상 지속되지 않는다. 즉 충분히 큰 힘을 가하게 되면 진자는 선형 근사가 허용되는 범위 이상의 변위를 하게 되고 오랜 시간이 경과해도 어떤 주기적 규칙성도

보이지 않는 매우 불규칙적인 운동을 하는 것이 가능하게 된다. 이것이 바로 카오스운동이다.

선형계에서는 카오스운동이 일어나지 않는다. 이러한 운동은 주사위를 던졌을 때 나타나는 숫자들의 무작위성과는 구별된다. 주사위를 여러 번 던져서 얻은 자료들은 그것이 아무리 많더라도 다음번에 나타날 숫자에 대해 아무런

정보도 주지 않으며 숫자들이 항상 각각 1/6의 확률로 나타날 수 있다는 것 외에는 더이상의 예측이 불가능하다.

진자의 경우에는 비선형이더라도 그것의 운동을 기술하는 간단한 형태의 방정식이 존재한다. 따라서 어떤 시각에

그것의 운동이 정확하게 주어진다면 방정식의 해를 통해 미래운동에 대한 정확한 예측을 할 수 있다.

종합하면 진자의 카오스운동은 서로 상충하는 듯한 2가지의 성질, 즉 결정론적인 본성과 불규칙성을 동시에 갖는다. 카오스운동의 불규칙성은 실질적인 의미에서의 운동의 비예측성을 암시한다.

카오스운동을 보이는 매우 간단한 수학적 방정식이 있다. 가장 간단하기 때문에 많이 연구되어져왔고 또한 카오스의 예로서 자주 이용되는 병참본뜨기(logistic map)가 그것이다. 병참본뜨기는 2차본뜨기(quadratic map)라고도 불리며 다음과 같이 일반적 형태의 2차함수로 표시되는 본뜨기이다.

x1=f(x)=Ax(1－x)

이와 같은 본뜨기는 어떤 숫자(대개 0에서 1 사이)가 주어질 때 일련의 숫자들로 이루어진 궤도를 발생시킨다.

즉 어떤 초기값 x0가 주어지면 이를 본뜨기의 오른편에 대입해서 x1(x1=Ax0[1－x0])를 얻고 이를 다시 본뜨기에 대입시켜서 x2(x2=Ax1[1－x1])을 얻는다. 이를 반복하면 무한히 긴 숫자들의 궤도를 얻을 수 있다. 이와 같은

궤도는 x0와 A값이 주어지면 유일하게 결정된다. 예를 들어 A=2일 때 x0=0.7로 주어지면 본뜨기를 반복함으로써 x1=0.42, x2=0.4872…… 등과 같이 일련의 x값을 얻을 수 있다. 즉 이들 x값의 궤도를 I라 하면

I={0.7, 0.42, 0.4872, ……}

이 된다.

이 궤도는 시간이 무한히 길어질 때, 즉 본뜨기가 계속해서 무한히 반복될 때 유일한 고정값 x〓0.5로 수렴함을

관찰할 수 있다. 이와 같은 점, 또는 일반적으로 점들의 집합을 끌개(attractor)라고 한다. 초기값 x0가 0과 1 사이에서 어떤 값을 취하더라도 모든 궤도가 동일한 끌개로 수렴하게 되는 것을 간단히 확인할 수 있다. 즉 초기값이

약간 다르면 각각의 궤도는 초기에는 다른 궤도처럼 운동하지만 시간이 지속될수록 거의 같은 운동을 보이게 된다. A의 값이 약간 변하더라도 0과 1 사이의 모든 초기값에 대해 궤도들은 마찬가지로 유일한 끌개로 수렴된다.

다만 끌개의 위치가 x=0.5가 아닌 그 근처로 약간 이동하게 된다. 즉 계는 초기 얼마 동안 궤도의 운동을 무시하면 x0와 A값의 약간의 변화에 대해 운동의 규칙성이 크게 변하지 않는 선형계 동역학의 일반적 특성을 보여준다.

A값이 점차 증가해도 궤도의 운동은 큰 변화가 없고 그 위치가 점차 이동하기는 하지만 항상 어떤 고정값을 갖는

유일한 끌개가 존재하여 0과 1 사이의 초기값을 갖는 모든 궤도는 그 끌개로 수렴하는 운동을 한다.

그러나 A값이 얼마 이상 커지게 되면 궤도는 질적으로 상당히 다른 운동을 보이게 된다. 가령 A=3.2로 주고

본뜨기를 반복시키면 충분한 시간경과 후 모든 궤도들은 마찬가지로 어떤 고정된 끌개로 수렴한다. 그러나 이 경우 A=2인 경우와는 달리 한 값이 아닌 2개의 값들, 즉 x=0.7995와 x=0.5130 사이를 계속 진동하는 운동을 한다.

즉 이 경우 끌개는 두 점으로 구성되어 있으며 궤도는 끌개 위에서 주기 2인 진동을 한다. 이때 끌개의 주기를 2라고 한다. 주기 1인 끌개와 마찬가지로 주기 2의 끌개도 A값이 조금 변할 때 질적인 변화를 겪지 않고 다만 그 위치만

약간 변하게 된다.

A값이 충분히 커지면 궤도는 주기 4인 끌개로 수렴하게 된다. 주기 2인 끌개가 존재하는 A의 구간은 주기 1인

끌개의 것보다 짧으며, 어떤 주기의 끌개가 존재하는 A의 구간에 있는 모든 궤도는 충분한 시간경과 후 그 끌개

위에서 운동하게 된다. 이와 같이 어떤 운동이 정상적으로 변하는 것, 즉 위의 예에서 끌개의 주기가 바뀌는 것을

분기(bifurcation)라고 하고 분기가 일어나는 A값을 분기점이라고 한다. 또한 끌개의 주기가 1에서 2로,

또 2에서 4로 배가되는 분기를 주기배가분기(period-doubling bifurcation)라고 한다.

병참본뜨기의 예에서 주기배가분기는 무한히 계속하여 일어나며 종국에는 궤도 진동의 주기가 무한히 길어져서

궤도가 결코 그 자신의 운동을 반복하지 않는 불규칙한 운동, 즉 카오스운동을 보이게 된다. 분기가 일어나는

A의 값들은 점점 밀착되어서 A=3.5699……인 유한값에 수렴하게 되는데, 이를 무한 주기배가분기의 축적점(accumulation point)이라고 한다. 축적점은 병참본뜨기의 궤도가 규칙운동에서 카오스운동으로의 전이가

일어나는 전이점(transition point)이 된다.

병참본뜨기가 카오스궤도를 가질 때는 위에서 예로 든 진자를 세게 흔들었을 경우에 진자가 불규칙한 운동을

할 때와 마찬가지로 운동의 실질적 의미에서의 예측성이 제한된다.

A값이 축적점보다 작은 경우 모든 궤도는 충분한 시간이 경과하면 끌개 위에서의 운동이 된다. 따라서 초기값에

약간의 오차가 있더라도 궤도의 운동은 끌개와 같으리라는 것을 예측할 수 있으며, 이러한 예측은 시간이

경과할수록 더욱 정확해진다. 이는 진자의 진폭이 작은 선형진동의 경우 진동의 진폭이나 힘의 세기를 약간

변화시켜도 충분한 시간경과 후 진동이 원래의 것으로 회복되는 상황과 유사한 것이다.

A값이 축적점의 값보다 커서 카오스운동이 존재하는 경우나 카오스운동을 하는 진자의 경우는 이와 매우

대조적이다. 이때 초기값이 약간 다른 궤도들은 시간이 경과할수록 매우 다른 양식의 궤도가 된다. 물론 초기값이

가까울수록 더욱 오랜 시간 동안 비슷한 거동을 보이지만 충분한 시간이 경과하면 서로 전혀 다른 카오스운동을

하게 된다. 이와 같은 인접궤도의 발산은 카오스운동의 중요한 특징 중의 하나로, 이는 카오스상태에 있는 계의

미래운동에 대한 예측한계와 밀접한 관계가 있다.

다시 병참본뜨기의 예를 들어 A=3.7로 주고 x0=0.9와 x0=0.900001인 초기오차가 100만분의 1인 2개의 인접한 궤도들을 비교해보자. 이들은 초기 30여 회 본뜨기를 반복하는 동안 1％ 정도의 오차 내에서 진화하기 때문에 거의 같은 궤도처럼 보인다. 하지만 그 오차가 35회째에는 거의 25％, 37회째에는 50％를 넘어서게 되어 곧 전혀

관계없이 진화하는 궤도들이 된다는 것을 알 수 있다. 그 숫자들을 자세히 관찰해보면 실제로는 초기단계부터

오차가 점차 증가해감을 알 수 있는데, 그 양상을 보면 대략 어떤 횟수에서의 오차는 그 전 횟수에서의 오차에

어떤 상수를 곱한 것과 같은 지수함수적 증가를 보인다.

이 예는 초기값의 오차가 100만분의 1이더라도 만약 우리가 1％의 오차 내에서 계의 상태를 예측하려 한다면

그 예측은 30여 회 정도로 제한되고 그 이후의 예측은 실질적으로 불가능하다는 것을 보여준다. 물론 이러한

예측한계의 정도는 계의 종류와 초기오차의 크기에 따라 달라진다. 하지만 아무리 정밀한 측정에서도 오차는

피할 수 없기 때문에 이것은 계가 카오스운동을 하는 경우 오차의 지수함수적 증가에 따른 예측한계의 급격한

감소는 본질적으로 불가피함을 의미한다.

다른 예를 들면 1964년 E. N. 로렌츠는 온도·기압·풍향 등을 변수로 하는 대기의 운동에 대한 매우 간단한 모형인 비선형 방정식을 연구했는데 방정식의 해로써 카오스운동이 가능함을 발견했다. 대기의 운동이 이러한

카오스상태에 있다면 그 정도에 따라 며칠 후의 기상에 대한 예측은 제한을 받게 되며 정확하게 할수록 그 예측의

신뢰성은 감소하게 될 것이다.

카오스운동에 관한 연구의 또 하나의 성과는 카오스운동의 보편성을 밝히는 데 있다.

병참본뜨기는 주기배가분기에 의해 카오스로의 전이가 일어나는 매우 간단한 수학적인 계의 예이다. 놀라운 것은

이와 같이 계속적인 주기배가분기를 통한 카오스로의 전이현상이 병참본뜨기에만 국한된 현상이 아니라 행성의

운동, 해류와 대기의 운동, 유체의 복잡한 흐름, 심장의 박동, 인구증감 등 생태계의 모형, 비선형 전기회로의 신호, 레이저의 안정성, 화학반응 중 화합물의 농도, 주기적 외력에 의한 그네 또는 쇠막대의 진동 등 동역학적 원인이

전혀 다른 많은 계들에서 공통적으로 나타난다는 것이다.

더군다나 1978년 M. J. 파이겐바움은 카오스로의 전이점에서 열역학의 상전이에서와 유사한 임계현상이 있으며, 임계현상을 양적으로 특성화하는 보편적인 상수값들이 존재함을 보였다. 즉 주기배가분기를 통한 카오스로의

전이는 질적일 뿐만 아니라 양적으로도 보편적인 현상이라는 것이다.

주기배가분기 경로를 통한 카오스로의 전이 외에도 2가지의 경로가 잘 알려져 있다.

어떤 계의 운동이 갖고 있는 자유도는 흔히 계의 운동과 관련된 기본진동수의 개수를 나타낸다. 따라서 내재하는

진동수가 많을수록 계의 운동은 자유도가 큰 복잡한 운동이 될 가능성이 높다. 유체의 운동이 매우 복잡한 경우

난류에 관한 연구에서는 오랫동안 난류는 무한대의 자유도를 갖는 운동이며, 그러한 상태는

호프분기(Hopf bifurcation)라 부르는 기본진동수가 하나씩 추가되는 분기가 무한히 계속됨으로써 발생한다고

믿어왔다.

하지만 이러한 운동은 진동수가 아무리 많다 해도 규칙적 운동이며, 따라서 이 이론은 난류 및 난류의 초기상태에

보이는 혼돈운동을 설명할 수 없다. 1971년 D. 뤼에이와 F. 타겐스는 3개의 진동수를 갖는 운동은 전형적으로

불안정하며 카오스운동을 할 수 있다는 내용의 수학적 정리를 증명했다. 이것은 진동수의 개수가 점점 증가하여

종국에는 복잡한 운동, 카오스운동이 일어나는 것이 아니라 진동수가 2개인 운동에서 곧장 카오스로의 전이가

가능하다는 것을 의미한다.

이때 두 진동수의 비는 유리수가 아니어서 계의 운동이 카오스로 전이하기 전에 준주기적 운동을 하기 때문에

이러한 경로를 준주기 경로라고 부른다. 다른 하나는 간헐 경로로, 이는 카오스로의 전이가 일어나기 전에 규칙적

운동이 간헐적으로 카오스운동에 의해 간섭받는 현상을 보이는 전이 경로이다. 간헐 경로는 1979년 Y. 포모와

P. 만빌에 의해 처음으로 제안되었다. 주기배가분기 경로와 마찬가지로 나머지 경로들도 전이점에서 임계현상을

보이며, 이들은 이론적으로 해명되었을 뿐만 아니라 실험적으로도 여러 가지 계들을 통해 입증되었다.

카오스는 비선형 현상을 대변하는 중요한 예 중의 하나로 인식되고 있다.

비선형 현상에 대한 연구는 19세기말 H. 푸앵카레에 의해서 괄목할 만한 진전을 이루었다. 그는 특히 비선형 현상에 대한 질적인 분석의 중요성을 일찍이 통찰하여 절단면 방법 등 최근 연구에서도 유용하게 사용되는 도구들을

고안했고, 또한 여러 가지 수학적 정리를 증명하고 많은 추론들을 제시했다. 그의 연구는 당시 수학에도 중대한

영향을 주어서 현대수학의 여러 가지 분야의 형성과 활성화에도 크게 기여했다.

20세기 들어서 전자계산기의 발명으로 매우 복잡한 수치계산이 가능하게 되어, 과학 전반에 걸친 연구방법에 있어 일대 변혁을 일으키게 했다. 앞에서 언급했듯이 로렌츠가 대기의 운동에서 카오스운동이 가능함을 보인 것도

전자계산기를 이용한 수치계산적 방법에 의한 것이었다.

그의 연구결과는 비선형 현상에 대한 관심을 고조시켰을 뿐만 아니라 전자계산기를 이용한 컴퓨터 모의실험 방법을 비선형 현상을 연구하는 데 유용하고도 중요한 방법으로 인식하게 했다. 카오스 및 비선형 현상에 대한 연구는 최근 정교한 실험에 의한 관측, 전자계산기를 이용한 방대한 자료처리와 고속전산, 수학적 이론 등을 도구로 하여 과학

전분야에서 매우 활발히 진행되고 있다. 하지만 다양한 비선형 현상들을 일관되게 설명할 수 있는 체계가 아직

정립되지 않았다는 데서 이 분야의 연구는 여전히 태동단계에 있다고 할 수 있으며, 현대과학으로서의 발전을

위해서 범과학적인 관심과 협조가 요구되는 분야이다.

옮겨온 글 편집