PBR 이란 무엇인가 1. 인간과 빛, 2. 조도와 휘도, 3. 빛의 감쇠, 4. 광원의 밝기

[운동본부 중앙회]

PBR 이란 무엇인가?

물리기반렌더링(Physically Based Rendering, 이하 PBR) 또는 물리 기반 셰이딩(Physically Based Shading)은 표면의 재질에 따른 빛의 반사가 물리적으로 어떻게 이루어지는지를 시뮬레이션해서 그래픽을 표현하는 기법이다.

1. 인간과 빛

Physically Based Rendering( PBR ) 이라는 것은 "물리에 기반한 렌더링"이라는 의미입니다. 엄밀하게 이야기해서 현세대의 그래픽 하드웨어와 이론으로는 완벽하게 물리적으로 정확한 렌더링을 하는 것은 불가능합니다. 이진 정보를 통해 자연현상을 완벽하게 표현한다는 것은 거의 불가능에 가깝습니다. 단지 기존보다는 "더욱" 물리적으로 정확하다는 의미라고 생각하시면 됩니다.

[1] 과 [2] 에 의하면 물리적으로 정확한 렌더링 모델이라는 것은 다음과 같은 요소들에 의해서 결정됩니다:

• 전역 조명( Global Illumination ) : 이미지 기반 라이팅( Image Based Lighting, IBL ).
• 에너지 보존 법칙( Energy Conservation ).
• 반사도( Reflectivity ) : 디퓨즈 및 스펙큘러( Diffuse & Specular ).
• 미세면( Microsurface ) : 러프니스( Roughness ).
• 프레넬 법칙( Fresnel's Law ).
• 금속성( Metalicity ).
  

아마 아티스트들은 위에서 언급한 요소들을 보는 순간 멘붕에 빠지게 될 것입니다.

사실 그래픽스에 익숙하지 않은 프로그래머들도 처음에는 이해하기 힘들겁니다. 사실 PBR 에 대해서 설명하려면  책 한권은 필요합니다. 그렇지만 이 문서의 목적은 아티스트에게 PBR 을 이해하기 위한 기본적인 정보들을 전달하는데 있기 때문에 너무 깊게 파고 들지는 않을 계획입니다. 그럼에도 불구하고 분량이 매우 많기 때문에 시리즈를 구성하기로 했습니다.

앞에서 언급한 요소들에 대해서 설명하기 이전에 알아야할 정보들에 대해서 설명한 다음에, 본격적으로 PBR 에대해서 다룰 계획입니다.

빛이란 무엇인가

우리는 일상생활에서 빛이라는 개념을 자연스럽게 받아들이고 있습니다. 하지만 막상 "빛이란

무엇인가요?" 라는 질문을 하게 된다면 명확하게 대답할 수 있는 사람은 드물 것입니다. 하물며

아인슈타인만 해도 다음과 같이 말했다고 하죠[3].

"나의 여생동안 빛이 무엇인지 되집어 보며 살 것이다 "- 1917 년경

"지난 50 여년 동안 곱씹어 고민해 왔음에도 빛이란 무엇인가에 대한 답에 더 가까이 다가서지 못했다. 물론 장난꾸러기같은 사람들은 답을 안다고 생각하겠지만 그들은 자신을 속이고 있는 것이다"   - 1951 년

아인슈타인이 양자론과 관련한 연구성과를 인정하고 싶지 않아서 한 말일 것이라 생각하기는 하지만 어쨌든 빛이란 무엇인가에 대한 질문에 대답하는 것이 쉽지 않은 것만은 사실입니다. 여기에서 빛의 입자성과 파동성에 대해서 이야기하기에는 너무 주제가 무거워지기 때문에 단순하게 파동성과 관련한 부분에 대해서만 언급하도록 하겠습니다.

빛이라는 것은 기본적으로 전자기파( Electromagnetic wave )라고 할 수 있습니다. 전자기파라는 것은 전자기적 과정에 의해 발생하는 에너지입니다. 그냥 파동의 형태로 발산되는 에너지라고 이해하시면 됩니다. 빛이라는 것은, 수소원자같이 개별적으로 셈을 할 수 있는 입자가 아니라, 파장이 다른 여러 가지 전자기파로 구성되어 있습니다[4].

접기

Tip. 파장에 대해서 잘 모르시는 분을 위한 보충 설명[5]

우리는 웨이브( wave )라는 단어에 익숙합니다. 이것은 "파동"이라는 뜻을 가지고 있습니다. 기본적으로 일정한 규칙을 가지고 진동하는 형태를 표현하는 것입니다. 파동이 전파될 때 매질 자체가 수평적으로 이동하는 것은 아니고 단지 상하로 흔들리기만 합니다.

이 파동은 다음과 같이 표현됩니다.

마루 : 가장 높은 곳.

골 : 가장 낮은 곳.

파장( Wavelength ) : 마루끼리 혹은 골끼리의 간격.

진폭( Altitude ) : 진동의 중심에서 마루 혹은 골까지의 거리( 크기 ).

주기( Period ) : 매질의 한 점이 한 번 진동하는 데 걸리는 시간으로 마루에서 마루까지, 또는 골에서 골까지 가는데 걸리는 시간.

진동수( Frequency ) : 1초 동안 진동한 횟수.

참고로 파동에는 횡파와 종파가 있기는 합니다. 하지만 여러분의 머리를 너무 복잡하게 만들지 않기 위해서 여기에서는 그냥 횡파만을 이야기하고 있습니다.

접기

그림1. 전자기파의 스펙트럼[4].

좁은 의미로 봤을 때, 빛은 그림1 의 가시 영역을 의미합니다. 넓은 의미로 봤을 때, 빛은 그림1 의

전체 영역을 의미합니다.

우리가 볼 수 없는 많은 부분이 존재하고, 다들

적외선( IR, Infrared Rays )이나

자외선( UV, Ultra Violet )같은 이름에는 익숙할 것입니다. 시리즈의 다음 글에 언급하겠지만, 이러한 관점의 차이가 광도측정( Photometry )과 방사측정( Radiometry )의 차이를 만듭니다.

빛이라는 것은 위에서도 말했듯이 파장이 다른 여러 개의 전자기파로 구성되어 있기 때문에 프리즘 같은 것을 써서 각각의 파장을 분리해낼 수도 있습니다. 시리즈의 뒷편에서 언급하겠지만 이는 파장에 따라서 굴절률이 달라지는 것을 이용한 것이죠. 무지개도 이런 원리로 생성됩니다.

그림2. 빛이 프리즘을 통과하면서 파장에 따라서 분리되는 현상을 보여줍니다[4].

눈치가 빠른 분들이라면 그림2 에서 각 색깔별로 파장의 길이가 다르다는 것을 눈치채실 수 있을 겁니다. 빨간색의 파장의 길이가 가장 길고, 보라색의 파장의 길이가 가장 짧습니다. 일단 여기에서는 빛이라는 것이 하나의 색상을 가지는 것이 아니라 여러 전자기파의 조합이라는 것만 이해하시면 됩니다.

그런데 인간은 어떻게 이러한 빛을 인지할 수 있는 것일까요?

우리는 빛을 어떻게 인지할까

그림3. 인간의 눈 구조. 출처: Encyclopedia Britannica, 1994.

인간의 눈에 있는 망막( Retina )을 확대해 보면 원추세포( cone cell : blue cone, red cone, green cone )와 간상세포( rod )라는 것이 있습니다.

원추세포는 색상을 감지하고, 간상세포는 명암을 감지 합니다. 원추세포는 그것을 구성하고 있는 감광세포의 종류에 따라 받아들일 수 있는 색상이 정해져 있죠.

그림3 을 보시면 세 종류의 원추세포가 존재하며, 그것의 색상이 RGB 라는 것을 알 수 있습니다. 이를 빛의 3원색이라 하고 실제로 텍스쳐( texture )를 만들 때도 RGB 를 사용하게 됩니다. RGB 채널을 사용하는 것은 어느날 갑자기 그렇게 하기로 결정된 것이 아닙니다. 인간의 눈과 관련이 있는 것입니다.

간상세포는 약 9000 만개이고 원추세포는 약 600 만개인데, 간상세포는 약한 빛에도 반응하고 원추세포는 일정 세기의 빛에 반응합니다[7]. 결과적으로 인간의 눈은 색상대비보다 명도대비에 더욱 민감하다고 할 수 있습니다.

대부분의 포유류들은 인간보다 적은 개수의 감광색소를 가지고 있다고 합니다. 반면에 새들의 경우에는 감광색소를 더 가지고 있어서 자외선까지 볼 수 있다고 합니다. 앞에서 언급한 가시광선이라는 것은 인간의 관점에서의 가시광선이라는 것이죠. 그러므로 새들은 인간보다 좀 더 다채로운 세상을 볼 수 있고 벌레를 쉽게 발견할 수 있다고 합니다.

그림4. 인간과 새가 인지할 수 있는 파장 비교[6].

좀 더 직관적으로 이해할 수 있도록 예를 들면 인간과 새가 보는 차이는 다음과 같습니다.

그림5. 인간과 새가 보는 색상의 차이[6].

그림5 에서 알 수 있듯이 인간의 눈에는 비슷해 보이는 색상이 새의 눈에는 확연하게 차이가 날 수 있습니다. 노란색 꽃에 노란 벌레가 앉아 있을 때. 인간은 둘을 구별하지 못하지만, 새의 입장에서는 그 차이가 명확하게 보일 수도 있는 것이죠.

인간의 눈에 있는 원추세포가 가장 민감하게 반응하는 구간이 녹색과 인접해 있어 인간은 녹색빛을 가장 멀리서도 인지한다고 합니다. 그리고 원추세포에 이상이 생기면 색맹이 된다고 합니다[7].

정리

빛은 다양한 파장을 가진 전자기파의 집합이며, 인간의 그중 가시영역의 파장을 가진 전자기파( 가시광선 )들만 인지할 수 있습니다. 그런데 인간의 눈은 RGB 의 조합으로 색상을 인지하게 되며, 이것은 우리가 빛의 3 원색을 사용하게 되는 근간이 되었습니다.

참고자료

[1] Physically based rendering

[2] Basic Theory Of Physically-Based Rendering

[3] 빛이란 무엇인가?

[4] Light,

[5] 파동의 표시

[6] Color Vision in Birds

[7] 원추세포

출처 ; https://lifeisforu.tistory.com/366?category=567143

2. 조도와 휘도

개요

[ PBR 이란 무엇인가 ] 에 대한 두 번째 주제인 [ 조도와 휘도 ] 에 대해서 설명합니다. 그래픽스에 관심을 가지고 계신 분들은 "radiance", "irradiance", "luminance", "illuminance" 라는 용어들에 대해 한 번쯤은 들어 보셨을 겁니다.  그런데 어떤 문서에서는 비슷한 현상을 설명하면서 radiance 라 하고 어떤 문서에서는 luminance 라고 합니다. 이 두 개의 차이를 인지하지 못하는 분들은 혼란에 빠지게되죠. 사전을 찾아 보면 다음과 같이 나옵니다.

• Radiance : 복사 휘도.
• Irradiance : 복사 조도.
• Luminance : 휘도
• Illuminance : 조도.

이것만 보고 의미의 차이를 이해할 수 있는 분은 많지 않을거라 생각합니다. 이 문서에서는 이러한 용어들의 차이에 대해서 명확하게 정리해 보고자 합니다.

방사측정( Radiometry ) 과 광도측정( Photometry )

우리는 빛이 다양한 파장의 전자기파로 구성된다는 것을 알게되었습니다. 그런데 에너지가 입자나 파동의 형태로 전달되거나 방출되는 것을 방사선( radiation )이라고 합니다[1]. 즉 가시광선을 포함한 전체 파장 영역의 전자기파들로 구성된 빛을 방사선이라 부를 수 있는 것입니다.

넓은 의미에서( 전체영역 ) 빛을 다루기 위해서 에너지를 측정하는 것을 방사측정( radiometry )이라 합니다. 그리고 좁은 의미에서( 가시영역 ) 빛을 다루기 위해서 에너지를 측정하는 것을 광도측정( photometry )이라고합니다.

Visible-Radiometry 같은 용어가 아니라 Photometry 라는 용어를 사용한 것은 아마도 카메라를 통해 사진이 찍히는 과정이 인간의 눈을 통해 들어 온 빛을 인지하는 과정과 유사하기 때문이지 않을까 생각합니다.

어쨌든 방사측정에서는 제곱미터당 일률( watt per squre meter )의 단위로 에너지를 측정하고, 광도측정에서는  제곱미터당 루멘( lumens per squre meter, lux ) 단위로 에너지를 측정합니다. 쉽게 이해하자면 전자는 파워( power )를 의미하고 후자는 밝기( brightness )를 의미한다고 생각하시면 됩니다.

좀 지루하죠? 어쨌든 radiance, irradiance 는 방사측정에서 사용하는 용어이고,

luminance, illuminance 는 광도측정에서 사용하는 용어입니다. 단지 어떤 영역의 파장들을 다루고 있느냐, 에너지를 어떤 관점에서 바라보느냐 의 차이가 있을 뿐이죠. 그러므로 일반적으로 그래픽스에서는 radiance 를 luminance 로 irradiance 를 illuminance 로 대체해서 이해하셔도 무방합니다. 

그래픽스에서는 빛을 photometry 의 관점에서 다루고 있기 때문에 큰 차이는 없습니다

( 어차피 보이지도 않는 에너지에 대해 고민해 봐야 무슨 소용이 있겠습니까... ).

조도와 휘도

조도의 "조( 照 )"는 "비출 조" 입니다. 그리고 휘도의 "휘( 輝 )"는 "빛날 휘"입니다.

조는 능동적인 표현이고, 휘는 수동적인 표현입니다. 

빛을 생각할 때 광원에서 빛이 나오는 것을 "비춘다"라고 표현하고, 

어딘가 부딪혀서 눈에 들어 오는 것을 "빛난다" 라고 표현하는 것입니다.

이것을 관점을 좀 다르게 해서 생각해 보면, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

물 표면에 들어온 빛의 양 X 를 조도( illuminance )라 하고

눈으로 들어 온 빛의 양 Y 를 휘도( luminance )라고 합니다.

여기에서 일루미넌스와 루미넌스가 헷갈릴 수 있습니다.

원래 Illuminate 라는 단어는 "비추다" 라는 뜻입니다. 그래서 어떤 면적에 빛을 비춘 양을

illuminance 라고 부르는 것입니다. 비슷한 느낌의 예를 들자면 GI( Global Illumination ) 가

있습니다. 이것을 우리말로 번역하면 "전역 조명" 정도로 정의할 수 있겠죠.

그런데 조도와 휘도를 구분하는 이유는 무엇일까요?

표면( surface )에 도달한 빛이 모두 관찰자의 눈으로 들어 오는 것은 아닙니다.

어떤 매질( 재질 )의 표면에 입사한( incident ) 빛은 흡수( absorbed )되거나 투과( tramsmitted )거나 반사( reflected )됩니다. 방출( emitted )되는 빛도 있지만 여기에서는 다루지 않겠습니다. 우리는 어떤 물체에서 반사 된 빛만을 인지할 수 있는 것입니다.

그래서 조도와 휘도를 구분하는 것입니다.

출처 : Waves

참고자료

[1] Radiation

[2] Radiometry

[3] Photometry

출처: https://lifeisforu.tistory.com/367?category=567143 [그냥 그런 블로그]

3. 빛의 감쇠

개요

2. 조도와 휘도에서 

방사측정( Radiometry )과 광도측정( Photometry )의 차이에 대해 언급했습니다.

방사측정은 빛의 모든 파장 영역의 에너지( power )를 측정하는 것이고, 광도측정은 빛의 가시 파장 영역이 밝기( brightness )를 측정하는 것입니다.

그런데 모든 물리단위들은 기준이라는 것이 있어야 합니다. 우리가 물리기반( Physically-based )를 이야기하고 있으니, 당연히 물리적으로 납득할 수 있는 기준과 단위들이 필요하겠죠.

UE4 엔진의 경우에는 포인트/스포트 라이트의 세기를 설정하는 기준 단위가 루멘( lumen )이라고 이야기하고 있습니다[1]. 세기( intensity )를 밝기( brightness )라고 표현하기도 합니다.

그림1. UE4 에서의 빛의 세기를 설정하는 속성. 루멘단위.

요새 다른 PBR 엔진들도 루멘을 사용하는 추세이죠. 이렇게 된 이유는 광원의 세기를 아티스트의 기분에 따라 설정하지 말고 어떤 기준을 잡고 설정하라는 의미일 것입니다. 그래서 아티스트들이 루멘이 무엇인지 이해할 필요가 있습니다. 루멘이 무엇인지 이해하는 것은 빛에 대해서 더 깊게 이해할 수 있는 기반을 제공할 것입니다.

이 문서에서는 어떤 조명( 광원 )의

광속( luminous flux ), 

광도( luminance intensity ),

조도( illuminance ),

휘도( luminance )가 어떤 의미인지 이해하기 위한 선행학습 과정에 대해 다룰 것입니다.

여기에서부터는 약간의 기하와 산수가 나오기 때문에 조금 짜증나실 수는 있습니다. 하지만 여러분은 이 개념들에 대해서 무작정 외우려고 하실 필요는 없습니다, 어떤 원리인지를 이해하고 단위만 잘 기억하시면 됩니다.

그렇게 어려운 내용은 아니니 차분히 읽어 보시면 이해하실 수 있을 거라 생각합니다.

빛은 왜 감쇠할까요?

일반적으로 우리는 빛이 감쇠( attenuation )한다고 알고 있습니다. 강한 빛도 멀리 갈 수록 약해집니다. 여기에서 주의하실 점은 감쇄( reduction )가 아니라 감쇠( attenuation )라는 것입니다. 감쇠는 힘이나 세력이 약해짐을 의미하고, 감쇄는 힘이나 세력이 약해져서 최종적으로는 없어짐을 의미합니다. 지금은 왜 뜬금없이 차이를 이야기할까 싶으시겠지만 뒤에 좀더 설명을 할 것입니다.

빛이라는 것은 전자기파들의 조합이기는 하지만( 파동성 ), 어떤 경우에는 입자들처럼 보일 때가 있습니다( 입자성 ). 입자처럼 보일 때의 빛을 광자( photon, 포톤 )라고 합니다. 그냥 그러려니 하시면 됩니다. 여기에서 더 들어 가면 저도 잘 모르는 양자론에 대해 주절거려야 하기 때문에 더 나아가지는 않겠습니다. 대신에 빛이라는 것을 대충 이런 식으로 이해하시면 됩니다( 정확하지는 않지만 그러려니 하십시오 ).

그림2. 광자의 느낌? 여러개의 전자기파의 묶음을 입자의 관점에서 볼 때 광자라 부릅니다.

어쨌든 광자의 개념에서 빛이 발산하는 모습을 생각해 봅시다.

진공상태라고 가정하면 다른 입자( 먼지, 대기중의 분자들 )들에 의한 산란( 투과, 흡수, 반사 )이 발생하지 않습니다. 그러므로 눈에 들어 오기 전까지는 영원히 직진하겠죠.

그림3. 진공상태에서의 광자의 이동.

눈치가 빠르신 분들은 이 시점에서 한 가지 의문을 가지게 될 겁니다; "그럼 왜 거리가 멀어지면 빛이 감쇠하나요?".  우리는 태양광에 대해서는 평행하게 빛이 도달한다고 생각합니다.

그림4. 태양에서 오는 빛은 평행하다고 가정합니다.

이것이 사실일까요? 그렇지 않습니다. 태양과의 거리는 엄청나게 멀기 때문에 지구에서 사는 사람의 입장에서는 상대적으로 빛이 평행하게 오는 것처럼 느껴질 뿐입니다( 그림5 참조 ). 단지 그래픽스 영역에서는 그 차이가 무시할 수 있을 정도로 의미가 없을 뿐이죠.

그림5. 같은 크기를 가진 물체가 광원에서 멀어졌을 때의 들어 오는 빛들의 각도차이의 변화.

자, 그럼 여러분은 이제 포인트/스포트 라이트와 태양광과의 차이를 아실 수 있습니다. 그냥 거리의 차이입니다. 빛을 받는 오브젝트들의 거리가 너무 가깝기 때문에 각도의 차이가 커집니다. 태양광의 경우에는 엄청나게 많은 광자를 내 뿜고 있으며 태양과 지구와의 거리가 너무 멀기 때문에 거의 평행하게 광자들이 도달합니다.

그래서 우리는 태양광에 대해서 따로 감쇠 거리를 설정하지 않는 것입니다. 하지만 포인트/스포트 라이트들은 내뿜는 광자의 개수가 상대적으로 적으며 가까운 오브젝트가 가까운 거리에서 빛을 받기 때문에 감쇠 거리라는 것이 중요해 진 것입니다.

그런데 이 각도가 감쇠라는 것과는 무슨 상관일까요?

세상이 2차원의 평면이고 광원이 점광원이라고 가정합시다. 이 광원은 16 개의 광자를 내뿜을 수 있는 능력을 가졌는데, 광자의 속도가 초당 1 m 라고 가정합시다( 그냥 가정입니다. 광자의 속도는 빛의 속도입니다 ). 1 초 단위로 깜박인다고 가정해 봅시다. 그러면 모든 방향으로 빛을 내 뿜겠죠? 2초 뒤에 광자의 위치는 어떻게 될까요?

시간의 추이에 따라 어떻게 변하는지 그림6 에서 설명하고 있습니다.

그림6. 시간의 변화에 따른 광자의 위치. 2초후에 보면 처음 발사한 광자들은 2 m 를 이동했고,

두번째로 발사한 광자들은  1m 를 이동했습니다.

여러분은 그림6 을 보고 어떤 생각을 하셨나요?

광원으로부터의 거리가 멀어질 수록, 광자끼리의 거리도 멀어집니다. 결국 같은 각도 내에 존재하는 광자의 개수는 동일하지만, 그것이 커버해야 하는 면적이 넓어졌습니다. 이것을 3D 관점에서 보면 그림7 과 같은 느낌이 됩니다.

그림7. 3D 에서 빛의 감쇠. 출처 : [2].

r 의 거리에서 한칸에 해당하는 면적에 광자가 3( = 3/1 ) 개가 있었다면, 2r 의 거리에서는 에서는 한칸에 평균적으로 3/4 의 광자가 존재합니다. 물론 광자의 위치에 따라 3 개나 2 개가 있을 수 있겠죠.

그림7 에서는 2 개가 있는 것으로 나왔군요.  3r 의 거리에서는 한칸에 평균적으로 1/3( = 3/9 )의 광자가 존합니다. 그림7 에서는 1 개로 나왔구요. 그물을 잡아 당겨서 늘리면 구멍이 커지는 느낌으로 생각하시면 됩니다.

이렇게 면적당 광자의 개수관계를 생각하면, 거리에 따라 빛의 밝기가 감쇠하는 것과 관련한 공식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 일단 여기에서는 광자 1 개당 세기를 1 이라고 가정했습니다.

수학을 좀( ? ) 배우신 아티스트들은 이 공식을 보면서 의문을 가지게 될 것입니다; "언제 빛의 세기가 0 이 되나요?".

Distance 가 무한대가 되더라도 0 에 수렴할 뿐 0 이 되지는 않습니다. 즉 거리가 멀어질 수록 세기가 기하급수적으로 낮아지기는 하지만 아예 영향력이 없는 것은 아니라는 것이죠. 그러므로 대부분의 엔진들의 광원에는 UE4 에서와 같은 "Attenuation Radius( 감쇠 반경 )" 라는 속성이 있습니다

[1]. 광원의 영향력을 모든 오브젝트에 반영한다는 것은 현실적으로 힘들기 때문입니다( 라이팅 계산이 무겁기 때문에 현재 하드웨어에서는 힘듭니다 ). 게다가 인간의 눈은 성능이 별로( ? ) 안 좋기 때문에 0 에 가까운 밝기를 인지하지 못합니다. 계산해 봐야 크게 의미가 없는 것입니다. 그래서 아티스트가 보기에 이 정도까지만 라이팅을 처리해도 괜찮겠다 싶은 거리를 지정하게 하는 것입니다.

쓸데없이 거리를 길게 잡게 된다면, 눈에는 거의 안 보이는데 처리를 해야 해서 계산비용이 늘어나겠죠.

예전에는 감쇠를 위해서 "Light Radius" 혹은 "Source Radius" 라는 용어를 사용했지만, area light 라는 개념이 나오면서 "source radius" 는 광원 자체의 반지름을 의미하는 것으로 바뀌었습니다. 그러므로 "Attenuation Radius" 와 "Source Radius" 를 혼동하지 마시기 바랍니다.

감쇠는 어떻게 계산된 것인가요?

앞에서 감쇠된 빛의 세기는 거리의 제곱에 반비례한다는 결론을 냈습니다. 물론 그림7 에서 볼 수 있듯이 거리가 1r 일 때 1칸, 2r 일때 4 칸, 3r 일때 9 칸, 이런 식으로 하면 거리의 제곱에 반비례한다는 사실이 유추되기는 합니다. 하지만 그림7 은 단순화해서 표현한 것일 뿐입니다.

이것이 어떻게 유도되었는지를 명확하게 이해해야 앞으로 나올 개념들을 이해하는데 도움이 됩니다. 이를 위해서는 입체각( solid angle )이라는 개념에 대해 먼저 알아야 합니다.

호도법

입체각에 대해 알려면 호도법에 대해 먼저 이해하는 것이 편합니다. 입체각이라는 것은 3차원에서의 각을 표현하는 것이기 때문에 2차원에서의 각인 호도법을 살펴 봄으로써 좀 더 쉽게 이해할 수 있기 때문입니다.

사람들은 평면에서 각을 표현할 때 도( degree )라는 단위를 선호합니다. 그래서 아티스트가 접하게 되는 대부분의 단위는 도 단위로 표현이 됩니다. 하지만 수학적인 영역으로 들어 가면 도 단위보다는 호도( radian ) 단위를 선호합니다. 매우 직관적이고 편하기 때문입니다.

여러분은 학교에서 반지름( radius )이 1 인 원의 둘레는 2π( pi, 파이 ) 라고 배우셨을 겁니다. π 는 순환하지 않는 무한소수로 원주율이라고 불립니다. 그 값인 3.1415926... 을 열심히 외우셨을테구요.  이때 질문이 들어갑니다. 각도가 a° 일 때 만들어지는 부채꼴의 호의 길이( arc length )는 얼마일까요?

그림8. 반지름 1인 원에서 각도가 a 도일 때의 부채꼴의 호의 길이는?

360 도일 때 원의 둘레가 2π 였기 때문에 비례식을 쓰면 a 도일때의 부채꼴의 호의 길이를 알 수있죠

.

좀 더 응용해 봅시다. 반지름이 r 일 때는 원의 둘레가 2πr 입니다. a 도일때의 부채꼴의 호의 길이는 무엇일까요? 식2 에서처럼 비례식을 사용해 값을 구할 수 있습니다.

반대로 해 봅시다. 반지름 r 인 원에서 부채꼴의 호의 길이가 x 일 때 부채꼴의 각은 몇 도인가요?  식2, 3 에서 처럼 비례식을 써서 구할 수 있습니다.

뭔가 숫자를 외워야 하고 나눗셈이 들어갑니다. 이건 매우 귀찮은 작업이며 실수의 여지가 있습니다  그래서 수학자들은 이를 쉽게 할 수 있는 방법을 찾게 되었고, 호도법이라는 것이 나오게 되었습니다  ( 1714 년에 Roger Cotes

그림9. 반지름이 r 인 부채꼴의 호의 길이가 r 일 경우 각도를 1 라디안이라 합니다.

여기가 바로 질문이 나올 타이밍입니다; "대체 뭐가 편한데요?".

우리는 반지름이 r 인 원의 둘레가 2πr 이라는 것을 알고 있습니다. 반지름이 r 인 부채꼴( 반원 )의 호의 길이는 πr 이죠. 이 때의 각은 π 입니다( 그림10 참조 ).

그림10. 반지름 r 인 ( 그리고 각이 π 인 ) 반원의 호의 길이는 πr 입니다.

관계가 명확하게 보이시나요? 만약 반지름이 r 인 부채꼴의 각도가 a 라디안이라고 하면, 그것의 호의 길이는 ar 인 것입니다( 그림11 참조 ).

그림11. 반지름이 r 이고 부채꼴의 각이 a 라디안이면, 호의 길이는 ar 입니다.

뭔가 복잡하게 변환할 필요가 없습니다. 각과 반지름 알면 호의 길이를 알 수 있고, 각과 호의 길이를 알면 반지름을 구할 수 있고, 반지름과 호의 길이를 알면 각을 구할 수 있습니다. 매우 직관적이고 계산이 단순해집니다.

3차원에서의 각

평면에서의 각은 라디안이라는 단위를 사용해서 쉽게 표현할 수 있다는 것을 알게 되었습니다. 하지만 3 차원에서의 각도는 어떻게 표현해야 할까요?

애초에 우리는 각이라는 것을 평면에서만 사용해 왔습니다. 삼차원에서 10 도라는 개념이 상상이 되시나요?

그림12. 3차원에서 10도를 상상해 봅시다.

3D 에 익숙하신 분들이라면 이를 경도와 위도처럼 나누어서 생각하실 수 있을겁니다. 그림13 처럼 중심이 되는 방향( 벡터 )를 기준으로 수평으로 몇도 수직으로 몇도 이렇게 나눌 수 있겠죠( 물론 다른 표현들도 존재합니다만, 머리만 복잡해지므로 여기에서 굳이 다루지는 않겠습니다 ).

그림13. 3차원에서의 각을 수직각과 수평각으로 나누어서 생각할 수 있습니다.

하지만 수학자들은 호도법을 발명했듯이 입체각( solid angle )이라는 것을 발명하게 되었습니다[4].

반지름이 r 인 구에서, 면적이 r² 인 면적을 포함하는 원뿔형의 각을 1 스테라디안( steradian, sr )이라고 부르고, 이러한 각도를 입체각이라 정의한 것입니다( 그림14 참조 ).

그림14. 반지름이 r 인 구에서 r² 인 면적을 포함하는 원뿔형의 입체각을 1 스테라디안이라 부릅니다. 출처 : [4]. 

그럼 여기에서 또 뭔가 룰이 보이시나요? 호도법이 호의 길이를 각으로 치환했듯이, 입체각은 겉넓이( 면적 )를 각으로 치환한 것입니다. 호도법에서는 1차원적인 곱인 "호의길이 X 반지름" 으로 표현 되듯이, 입체각은 2차원적인 곱인 "겉면적 X 반지름의 제곱" 으로 표현되고 있습니다.

우리는 구의 겉면적을 4πr² 로 알고 있습니다. r² 이 1 스테라디안을 의미하므로 구 전체의 입체각은 4π 인 것입니다.

만약 반지름이 r 인 구에서 입체각이 a sr( 스테라디안 )인 원뿔형의 겉면적을 구해야 한다면 다음과 같은 관계로 표현될 수 있습니다.

호도법처럼 매우 단순하게 표현되는 것을 알 수 있습니다.

빛이 거리의 제곱에 반비례해 감쇠하는 이유

반지름이 r 인 구에서 입체각 a 인 원뿔형의 겉면적이 ar² 이라는 사실을 알게 되었습니다. 만약 r 값이 늘어난다고 해도 a 는 각이기 때문에 변하지 않습니다. 어떤 광원이  a 라는 입체각 내에 광자를 1 개를 내 보낸다고 가정해 봅시다. 그리고 그것의 밝기를 1 이라고 하죠. 1초가 지났을 때의 반지름은 1 이고 r 초가 지났을 때 반지름은 r 이겠죠. 그렇다면 각각의 겉면적은 a ( = a X 1² ) 과 ar² 입니다. 겉면적의 비율은 1 : r²  이 됩니다.

면적이 r² 만큼 늘었으니, 광자가 커버해야 하는 영역은 더 넓어지며, 밝기는 반대로 1 / r² 에 비례하는 것입니다.

정리

빛이 감쇠하는 것은 엄밀히 말해 거리가 멀기 때문이 아닙니다. 거리가 멀어질 수록 면적에 비해 광자의 개수가 줄어들기 때문이죠. 거리에 따라 면적이 얼마나 커지느냐는 입체각의 정의를 통해 알 수 있습니다.

참고자료

[1] 라이팅 기초

[2] Light Attenuation

[3] Radian

[4] Solid Angle

4. 광원의 밝기( 광속 )

개요

[ 3. 빛의 감쇠

거리, 호도( radian, 단위 : rad ), 입체각( solid angle, steradian, 단위 : sr ) 등에 대해서 이야기한 것은 바로 오늘의 주제인 빛의 측정단위에 대해서 이야기하기 위함이었습니다.

노파심에 다시 이야기하지만 우리는 방사측정( radiometry )가 아니라 광도측정( photometry )의 관점에서 빛을 측정하는 단위에 대해서 이야기할 것입니다. 광도측정은 빛을 구성하는 다양한 파장중에서 가시 파장에 대해서 다루는 측정방법입니다.

지금부터는 약간의 수식이 나올 수 있습니다. 하지만 원리를 이해한다면 크게 어렵지 않을 것이라 생각합니다. 이해가 안 가면 질문을 주세요. 모르는 것이 부끄러운게 아닙니다. 알려고 하지 않는 것이 부끄러운거죠. 지금은 어렵게 느껴지지만 가면 갈수록 익숙해질 것이고, 지금 고민하고 공부한 것들이 나중에는 큰 차이를 만들어낼 것입니다.

광선속( 광속, Luminous Flux, Luminous Power )

광선속( 光線束 ) 혹은 광속( 光束 )이라는 것은 속도를 의미하는 것이 아닙니다. 빛 광( 光 )과 묶을 속( 束 )입니다. 말 그대로 빛다발이죠. 빛의 속도를 의미하는 광속( 光速 )이 아닙니다. 요새는 사람들이 한자를 잘 모르니 영어로 표현하면, luminous 는 "빛나는" 이란 뜻이고 flux 는 "흐름" 이라는 뜻입니다.

일단 단어의 구성은 그렇구요, 광속이란 단위시간에 광원에서 나오는 빛( 가시광선 )의 총량입니다. Radiometry 관점에서 보면 Radiant Flux( 방사속 ) 라는 용어가 이에 대응됩니다.

그림1. 광속은 광원에서 나오는 빛의 총량입니다. 출처 : Watts, Lumens, Candles and Lux

여러분이 어떤 조명을 보고 "저 조명의 밝기는 XX 입니다" 라고 말할 때 사용하는 것이 바로 광속입니다. 단위는 루멘( lumen )이죠. 루멘은 라틴어로 빛이라는 뜻이며, 기호로는 lm 을 사용합니다.

요즘 조명기구 회사에서는 밝기를 표기할 때 루멘( lm )으로 표기합니다. 기존에는 와트( 일률, W ) 단위를 많이 표기했는데, 와트는 에너지를 얼마나 소비하느냐를 의미하는 것이지 얼마나 밝냐를 의미하는 것이 아니기 때문입니다.

조명 회사의 LED 제품 소개의 예. 출처 : CREE

그렇다면 루멘은 어떻게 결정되는 것일까요? ( 이것과 관련한 글이 없어서 저의 추측으로 소설을 써봤습니다. )

우리는 아주 옛날부터 초( candle )라는 것을 사용해서 빛을 비춰왔습니다. 그래서 과학자들은 촛불을 기준으로 해서 빛의 밝기를 측정하려고 한 것 같습니다. 이러한 관점에서 보면 촛불이 방출하는 전체 빛의 양을 1 루멘이라고 하는 것이 편리하겠죠.

하지만 LED 처럼 빛이 방출되지 않는 영역이 존재하는 경우도 있습니다. 게다가 일반적으로 측정기를 광원을 완벽하게 둘러싼 형태로 만들어내기가 어렵습니다. 보통 한 방향에서 일정 영역만큼을 측정한 값을 가지고 전체 결과를 추정하는 경우가 많죠. 그렇기 때문에 촛불의 빛의 양을 1 루멘이라고 하면, 다른 광원들의 빛의 양을 측정하기가 조금 곤란할 것입니다.

뭔가 기준이 되는 단위가 필요했을 것이고, 1 sr( 스테라디안을 ) 기준으로 삼았을 것입니다.

그림2. 1 스테라디안.

접기

전에 배웠던 내용을 복습해 봅시다. 1 sr 은 반지름이 r 인 구에서 어떤 원뿔형을 만들었을 때 그 겉면적이 r² 이 되는 입체각을 의미합니다( 그림2 ).

그림2. 1 스테라디안.

접기

만약 1 sr 만큼의 입체각으로 방출되는 빛의 양을 알게 된다면, 빛을 비추지 않는 영역은 배제하고 빛을 비추는 영역만을 모아서 빛의 양을 수집하는 것이 쉽겠죠.

[2]에서는 광도( luminous intensity )를 다음과 같이 정의하고 있죠.

"광도는 점 광원에서 특정 방향으로 단위 입체각( solid angle, 1 스테라디안 )당 방출되는

광속( luminous power )입니다. 광도의 단위는 칸델라( candela, cd )입니다.

그림3. 광도( luminous 칸델라. 출처 : Watts, Lumens, Candles and Lux

이를 수식으로 표현하면 식1 과 같습니다. 여기에서 광도를 X, 광속을 Y, 빛을 방출하는 전체 입체각을 Z 라 하겠습니다 :

점광원 같은 경우에는 전방향으로 빛을 방출하기 때문에 단위 입체각은 1/4pi 가 됩니다

( 단위구의 최대입체각이 4pi 입니다 ). 그러므로 점광원에서 광도( 칸델라 )를 구하는 식은

 식2 와 같습니다.

광속( 루멘 )은 다음과 같이 정의됩니다.

만약 점광원이라면 그것의 광속은 다음과 같이 계산되는 거죠.

뭔가 순환논리같다는 생각이 듭니다. 여기에서 엄청나게 헷갈리는거죠. 광속은 칸델라를 사용해서 정의되는데, 칸델라는 광속을 사용해 정의됩니다.

이에 대한 자료는 지금까지 찾지 못했는데요... 그래서 그냥 소설을 써 보겠습니다( 제 친구 햄짱과 같이 쓴 소설입니다 ).

과학자들은 처음에 촛불을 1 루멘이라고 불렀다가, 위에서 언급했던 것처럼 전방향으로 빛을 방출하지 않는 광원이 나오면서, 전방향에서 방출한 빛의 양을 기준으로 삼는 것은 어렵다고 생각했을 것입니다. 그래서 특정방향으로 일정 범위( 단위 입체각 ) 안에서 방출되는 빛의 양을 기준으로 삼아야겠다는 생각을 했을 것입니다. 그리고 그것을 빛의 양을 측정하는 기본 단위인 광도( luminous intensity )라 정의했을 것입니다.

그런데 촛불의 광속이 1 루멘이라고 하면, 그것의 광도는 1 보다는 작은 소수점 아래 단위의 값이 될 것입니다( 구의 전방향을 커버하는 면적보다는 1 스테라디안이 커버하는 면적이 훨씬 적겠죠 ) . 이를 피하기 위해서 최소단위인 광도를 1 칸델라로 맞췄을 것이라고 생각합니다. 

머리가 아파 보이지만 1 칸델라는 국제 표준으로 정의된 빛의 양입니다.

1 리터( l )라든가 1 그램( g )이라든가 하는 정해져 있는 양입니다. 이제 칸텔라가 뭔지 알게 되었으니 초의 광속( 루멘 )을 계산해 보죠.

초가 전방향으로 빛을 방출한다고 하면, 그것의 입체각은 4π 스테라디안입니다( 반지름이 r 인 구의 겉면적이 4πr² 이고 1 스테라디안은 r² 만큼의 겉면적을 커버하는 입체각이므로 구의 전체 입체각이 4π 스테라디안이 되는 것입니다 ).

그러면 이제 촛불의 밝기( 광속 )를 계산해 볼까요?

실제로 촛불 하나의 광속은 12.57 루멘입니다.

정리

특정 방향으로 1 스테라디안 영역에서 방출된 촛불의 빛의 양을 광도( luminous intensity )라 하면 단위는 칸델라( candela, cd )입니다.  1 스테라디안( steradian, sr ) 범위에서 방출된 칸델라를 루멘( lumen, lm )이라 합니다. 루멘을 사용해 광원의 전체 빛의 양을 측정한 것을 광속( luminous flux, luminous power )이라 합니다.

참고자료

[1] Lumious flux

[2] Candela

출처: https://lifeisforu.tistory.com/369?category=567143