이야기로 풀어내는 수학수업(2011년 봄, 국어교육)

이야기가 있는 수학, 삶이 있는 수학     ‘수학 시간은 이야기 시간이다.’ 이 얼마나 설레는 말인가! 아이들 입에서 자연스레 이런 말이 나온다면 선생님도 아이들도 수학공부가 행복할 것이다. 이야기만이 아니라 수학 시간이 ‘놀이 시간’이고 ‘활동 시간’이면 더할 나위 없이 좋겠다. 수학을 한낱 도구로, 계산의 기능으로, 성적의 평가척도로 여기는 교육현실에서 아이들이 신나고 행복한 수학 수업! 꼭 해보고 싶은 수업이다. 국어교과 모임에서 던진 ‘수업은 이야기다’는 화두가 수학에서는 어떻게 실천할 수 있을지 생각하며 글의 내용을 몇 단계로 구분해서 정리해보려고 한다. 1) 이야기 수학의 필요성 2) 셈에서 꼭 나누어야 할 수학이야기 3) 도형에서 꼭 나누어야 할 수학 이야기 4) 수학 용어와 기호에서 나누어야 할 수학이야기 5) 초등수학에서 꼭 나누어야 할 수학 이야기이다. 글을 연재하다가 내용이 조금은 바뀔 수 있을지도 모르겠다. 이야기 수업의 구성방식이나 수업설계는 이 글을 읽는 선생님들이 훨씬 더 잘 할 수 있을 것이기에 구체 수업진행 방식보다는 펼쳐야할 이야기의 내용에 집중해서 쓰려고 한다. 수학을 어떻게 바라보고 어떤 내용으로 이야기를 할 것인가가 가장 큰 줄기라고 여기기 때문이다. 그 출발로 ‘이야기 수학 필요성’에 대해 생각해 본다.   1. 이야기 수학을 왜 하지? 이야기가 갖는 힘이 얼마나 센지, 얼마나 다양하며, 얼마나 섬세한지 누구나 안다. 재미도 있고, 감동도 있고, 지혜도 있고, 삶이 다 있다. 그러므로 수학에 이야기가 붙고 이야기에 수학이 붙는다면 그 힘이 어떨지는 쉽게 짐작할 수 있다. 이야기 수학의 좋은 점은 어떤 것들이 있는지 살펴보자. 첫째, 수학의 개념들을 잡아준다. 말과 글은 개념을 빚고, 추상을 담는 그릇이므로 수학에 쓰이는 개념과 용어들에 대한 이야기가 풍부할수록 그 개념을 제대로 잡아줄 수 있다. 용어나 개념을 풍부하게 이해하지 못한다면 수학의 상상력이 아주 좁아져 결국 공식과 용어의 암기로 그치고 만다. 예를 들어 괄호가 포함된 수식의 계산에서 ‘소괄호 ( ), 중괄호 { }, 대괄호 [ ] 순으로 계산한다’로 설명하고 그친다면 괄호의 뜻은 전혀 이해할 수 없다. 괄호는 분류하고 범주를 나누는 방식이라는 점을 여러 소재로 이야기 나누어야 한다. 사람관계를 분류할 때 소괄호는 우리식구, 중괄호는 한국인, 대괄호는 지구인으로 분류하며 쓴다고 이야기하면 훨씬 개념이 분명해진다. 또 계산은 관계 맺기이므로 계산을 할 때 가까운 관계부터 먼저 하는 것이 삶의 모습이므로 소괄호 중괄호 대괄호 순으로 한다는 이야기를 나누면 아이들 스스로 괄호를 여러 이야기로 확장하여 해석하거나 사용할 수 있다. 둘째, 수학이 삶이라는 사실을 보여준다. 수학은 수와 기호로 추상화한 표현인 까닭에 삶과 동떨어져 보이기 쉽다. 수와 기호로 표현된 것들에 이야기를 붙이거나 이야기로 해석하면 수학은 삶이 되는 것이다. 수학에 녹아있는 삶을 배우는 것이다. 예를 들면 ‘%는 백 개를 기준으로 몇 개가 있는지를 나타내는 백분율의 기호’로만 이해한다면 %의 기호를 해석하는 것이 아니라 외우는 것이다. 100을 기준으로 하기 때문에 이것을 기호로 어떻게 표현할까 고민하다가 100에 있는 1을 00의 가운데로 넣어서 (100 => 0l0 =>%) 만든 것으로 이야기해준다면 % 기호는 훨씬 살아 숨 쉰다. 그래서 1000을 기준으로 하는 천분율(permill)의 기호를 만들 때 1000에 있는 1을 000사이에 넣어서(1000 =>0l00=>‰) 표현할 수 있다는 사실까지 확장해서 이야기 나눌 수 있다. 이런 이야기는 수학에 쓰이는 기호에 대한 재해석뿐 아니라 기호가 어떻게 만들어졌는지, 어떤 기준으로 무엇을 표현하는지를 새겨보며 수학이 삶의 표현임을 알게 한다. 셋째, 집중력이 높다. 아이들은 이야기에 쉽게 빠져든다. 몰입해서 들은 이야기는 쉽게 잊어버리지 않는다. 옛 이야기 형식이든 창작동화식 이야기든, 일상생활 이야기든 이야기를 재미나게 나누면 그 줄거리를 모두 기억한다. 수학 공부를 하고 하루 이틀만 지나면 까맣게 잊어버리는 아이들도 이야기 줄거리는 정말 잘 기억한다. 집중해서 듣고 이야기의 맥락을 잘 파악하며 그 내용을 기억하는 것. 이것이 하나 둘 쌓이면 성취감도 높아지고 수학에 자신감을 갖는다. 넷째, 전체 상황을 잘 파악하게 한다. 문장제 문제를 어려워하는 학생들이 많이 있는데 이야기를 많이 듣고, 많이 읽으면 문제 파악 능력이 아주 높아져서 문장제 문제를 한결 쉬워한다. 퀴즈, 퍼즐식 이야기는 수학문제와 바로 연결되어 있다. 문장제 수학 문제들을 짧은 이야기로 조금 바꾸어서 들려준다든지, 수수께끼로 하면 아이들의 상황파악 능력은 몰라보게 좋아진다. 집중력과 상황파악 능력은 문제 해결 능력을 기르는 바탕인데 이야기 수학이 이 힘을 기르는 아주 좋은 방법이다.   2. 어떤 이야기를 해야 할까? 아이들과 어떤 수학 이야기를 나누어야 할까? 교과서에 있는 내용을 이야기로 풀어내는 것도 한 방법이겠고, 여러 수학 이야기 책을 참고하여 도움을 받는 것도 좋겠다. 그러나 방법론을 생각하기에 앞서 수학을 왜 배우는지, 무엇을 가르칠 것인지에 대한 생각이 정립되어 있어야 꾸준히 할 수 있으며 다양한 방법을 선택할 수 있다. 수학을 기능으로 여기지 않고 삶의 철학으로, 인류의 문화로 소개하는 것이 무엇보다 중요하다. 선생님들 스스로 수학공부를 왜하는지 질문하고, 그 답을 가지고 있어야 한다. 그래야 이야기가 풀린다. 수학을 과학의 도구로 여긴다면 수학 이야기는 과학 이야기를 하기 위한 하나의 방편에 지나지 않는다. 계산의 기능으로 여긴다면 계산이 들어가는 상황에서만 이야기가 나온다. 수학이 삶과 어떻게 연결되어 있는지를 눈치 챈다면 모든 삶의 이야기가 수업의 소재가 된다. 결국 어떤 관점으로 수학을 바라보느냐에 달렸다.   1) 기준에 관한이야기 수학공부는 한 마디로 기준을 세우는 것이다. 기준을 세우는 것은 자기 삶의 줏대를 만드는 일이다. 아이들의 생활과 경험을 토대로 기준을 세워나가는 것이 수학공부의 시작이자 끝이다. 수학시간은 기준을 탐구하는 시간이다. 선생님이 작은 이야기를 들려주더라도 기준을 세우는데 도움이 되는 이야기면 된다. 아이들끼리도 생각하는 기준이 다 다를 수 있으니 서로가 인정하는 기준을 세우는데 수많은 이야기가 오고간다. 토론하면서 서로가 가진 기준을 이해하고, 공통의 기준을 찾으며 발전하는 모습이야말로 이야기 수업의 핵심이다. 기준을 세우는 과정에서 상대방에 대한 배려, 자기 생각을 객관화하는 논리, 차이를 인정하는 문화, 협력 들을 배우며 성장한다. 이런 수업이 우리가 꿈꾸는 이야기수업이자 통합수업이다. 기준에 관한 이야기 거리는 우리 주위에 너무나 많이 널려있고, 수학의 각 단원마다 이끌어 낼 수 있다. 다른 과목의 수업시간에도 얼마든지 적용할 수 있으며, 현실 생활을 바탕에 두어 삶을 가꿀 수 있다. 생활에서 기준과 수학에서 기준을 좀 더 살펴보자. 생활에서 기준은 모두 다 같을 수는 없다. 저마다 관찰 경험 감성이 다르니 기준도 다르다. 생활 주체가 다르면 기준이 달라지기 때문이다. 사람마다 공동체(집단)마다 민족마다 내용과 빛깔이 다르다. 그래서 문화가 다르다. 생활에서 기준을 모두 같게 만들려는 것은 독재다. 수학에서 기준은 생활에서 쓰는 기준을 바탕으로 규칙을 찾고 자연과 세상에 적용할 수 있는 객관성을 갖는 데 있다. 기준을 세우되 보편성을 갖는 것이다. 수학의 모든 내용과 범위에서 첫 출발을 ‘정의’로 시작하는 까닭도 보편성을 갖추기 위해서다. 객관성을 바탕으로 하되 다루려는 내용과 범위에 따라 수학 기준을 달리 할 수 있다. 셈과 도형은 전혀 다른 범위에서 다른 기준으로 이루어져 있다. 수학에서 쓰는 기준과 생활에서 쓰는 기준이 차이가 있을 수 있지만 기준을 세우는 과정이나 정신은 똑 같다. 기준의 주체, 내용, 범위에 따라 달라질 뿐이다. 그래서 수학의 기준세우기 공부가 삶을 가꾸는 공부가 된다. 자신의 기준으로, 자신의 경험 관찰 개성으로 세상과 자연을 보며 그 기준이 객관성을 갖도록 깨우쳐가는 것이 수학이다.   2) 전체를 보는 눈 기르기 기준을 세우기 위해서는 ‘전체를 보는 눈’이 있어야 한다. 전체를 보는 눈이 없다면 삶을 가꿀 수 없다. 눈앞의 작은 이익 때문에 큰 원칙이 흔들려 뒤죽박죽인 일이 얼마나 많은 세상인가. 전체를 보며 원칙을 세우고 한 걸음씩 내딛을 때 자기 줏대에 따라 성장한다. 이야기 수학 수업을 할 때 이런 내용이 들어가면 좋겠다. 옛이야기 가운데 ‘슬기로운 이야기’들이 이런 종류의 이야기가 많다. 슬기롭고 논리가 있는 이야기들을 많이 들려준다면 수학의 감각도 높아질 것이다. 전체를 보는 힘을 기르는 수학공부는 어떤 것인가? 첫째, 규칙 찾기이다. 규칙을 찾고 배우는 것은 전체를 이해하고 탐구하는 일이다. 기준을 정하고 규칙을 찾는 일이 수학공부의 전부라고 해도 틀리지 않다. 둘째, 대칭을 아는 것이다. 대칭은 전체를 보는 눈을 기르는 밑바탕 가운데 하나다. 대칭에 깊은 수학 정신이 있다. 초등학교 2학년만 되면 뒤집기와 돌리기로 대칭을 배운다. 세상의 동식물과 사람이 만들어 낸 물건은 거의가 좌우 대칭이다. 인간의 몸도, 새와 벌레들도, 나뭇가지들도 중력에 적응하며 진화한 결과로 좌우대칭을 얻었다. 균형과 조화가 대칭으로 나타난 것이다. 대칭으로 균형을 이뤘다는 것을 알면 전체를 보는 눈이 길러진다. 시작이 있으면 끝이 있고 원인이 있으면 결과가 있다는 것도 대칭을 통해 짐작할 수 있다. 수학에서 배우는 도형의 대칭을 넘어서 좀 더 넓혀보면 문자의 대칭이나 숫자의 대칭들이 있다. 문자의 대칭은 회문(回文)이 있다. 회문은 처음부터 읽거나 거꾸로 읽어도 뜻이 통하는 말이다. 예를 들자면 ‘일요일’ ‘기러기’ ‘다들잠들다’ ‘자꾸꿈꾸자’ ‘다이심전심이다’ ‘여보게저기저게보여’ 같은 것이다. 또 숫자의 대칭을 살펴보면 1991, 2002, 2112…2992, 3003… 들이다. (이 숫자들은 11이나 110씩 차가 생긴다. 그러므로 이 수들은 11의 배수이다. 좀 더 넓히면 11의 배수 판별법도 찾을 수 있을 것이다.) 대칭 찾기를 모든 생활에서 이야기로, 놀이로 조금만 하고나면 아이들은 대칭을 아주 쉽게 곳곳에서 찾아낸다. 이런 이야기를 수학시간에 풀어낸다면 살아 있는 이야기 수학 시간이 된다. 셋째, 기준단위의 정의를 배우고 익히는 것으로 전체를 볼 수 있다. 어떤 영역의 가장 바탕이 되는 것이 기준단위이다. 생활에서 흔히 사용하는 무게, 부피, 들이, 길이 단위만 살펴봐도 이는 쉽게 알 수 있다. 이 단위들을 통해 알고자 하는 대상의 크기와 관계를 가늠한다. 또, 수에서는 소수(素數)를 기본단위로 생각할 수 있는데, 소수는 더 이상 쪼개지지 않는 씨수(북한용어)이다. 이 씨앗수로 수의 조합과 변형이 가능하다. 소인수분해(인수분해)는 자연과 세상을 더 이상 쪼개 질 수 없는 단위로 바꾸어 어떤 변형이 이루어졌는지를 알게 한다. 이것이 수학공부의 내용이며 정신이다. 그 밖에도 수학은 현실 생활에서 발견된 기준과 규칙을 추상화하여 전체를 보게 한다. 전체를 보는 힘을 기르는 것은 수학의 모든 영역에 존재한다. 자신의 줏대와 잣대를 세우고, 전체를 보는 눈을 넓고 깊게 가져간다면 문제해결 능력이 높아진다. 수학을 문제해결능력 기르기라고 말하기도 하는데, 수학 공부의 결과로 자연스레 몸에 붙는 것이 문제해결능력이다. 줏대와 잣대를 세우고, 세상과 자연이 나타내는 원인과 결과를 알아가고, 그 구조를 통해 규칙을 발견한다면 문제해결능력은 높아질 수밖에 없다. 수학공부를 이렇게 생각한다면 수학은 폭넓고 재미있는 일이다. 공식을 외우고, 이를 적용한 문제풀이로 성적을 매기는 일은 수학공부의 진실한 내용과는 아무 상관이 없다. 오히려 수학교육을 왜곡하며 상상력을 잡아먹는다.   3. 수학 이야기 어떻게 할까? 이야기 수학하면 아이들에게 이야기를 ‘들려주는’ 것으로 생각하기 쉽다. 그러나 이야기 수학의 본질은 이야기를 ‘나누는’ 것이다. 이야기를 들려주는 것이 나쁜 것이 아니라 함께 나누는 것보다는 못하다는 것이다. 나누는 것을 먼저하고, 그 다음에 들려주는 이야기를 하는 게 좋겠다. 이야기를 나누는 것이라면 방법은 정말 여러 가지다. 다른 과목에서, 말과 글 수업에서 하는 여러 이야기 방식을 수학에도 그대로 적용하면 된다. 나누는 내용이 수학이면 된다. 주제는 선생님들이 정하더라도 그 주제에 관련된 이야기는 아이들이 스스로 하거나 함께해야한다. 가장 먼저 생각할 수 있는 방법은 토론이다. 내용에 따라 작은 모둠으로 나누어도 좋고, 전체가 함께해도 좋다. 수학 주제를 놓고 아이들이 충분히 토론하는 게 이야기 수학이다. 주제가 간단하고, 단순해서 싱겁게 끝나도 좋다. 어떤 주제든지 토론으로 정리해내는 것이 살아있는 공부다. 그 토론으로 우리들의 기준을 만들며 보편성을 획득했는지 따져보는 것이다. 모둠으로 나누었을 때는 반드시 모둠별로 발표하게하고, 발표한 내용을 다시 토론하고 정리하는 과정이 이야기 수학 수업이다. 새로운 내용, 새로운 단원에서는 반드시 이런 토론 수업을 하는 게 좋다. 토론 주제는 ‘곱셈은 뭘까?’ ‘직선은 뭐지?’ 같은 핵심 내용을 잡는다. 두 번째로는 수학 이야기를 들려주는 것이다. 일주일에 한 번씩 정해놓고 해주면 아이들도 기다리고 선생님도 책임성 있게 준비하기 때문에 좋다. 좋은 책을 골라서 읽어주는 것도 한 방법이다. 선생님이 해주는 이야기는 되도록 교과서에서 배우고 있는 내용의 기준과 원리에 관한 이야기거나 수학사 같은 주제가 좋다. 마음먹고 들려주는 이야기라면 좀 더 수학 내용이 많이 들어가도 좋다. 옛이야기 방식이든, 창작동화식이든 관계없다. 아이들이 재미나게 들을 수 있다면 좋다. 세 번째 방식은 수학 문제들을 이야기로 풀어내는 것이다. 짧은 이야기든, 긴 이야기든 상관없다. 주로 자연과 생활에 관련된 이야기로 만들어 들려준다. 예를 들어 “1+2 =?”을 낼 때 “내 왼쪽 손에 도토리가 한 알 있고 오른쪽 손에 두 알이 있다면 도토리는 모두 몇 알일까?”와 같이 이야기로 바꾸어준다. 너무 단순해서 뻔하다 싶더라도 이런 이야기를 자꾸 만들고 나누어야 내용이 좋아진다. 쉬운 것을 소홀히 하면 더 나아지지 않는다. 아이들이 스스로 만들어서 발표하게 해도 좋다. 문제를 이야기로 만들어서 하다보면 자연스럽게 수학 내용도 확장된다. ‘5-2=3’을 ‘내게 5개의 구슬이 있는데 2개를 동생에게 주었더니 3개가 남았어.’ 같은 이야기로 만들 수 있다면 ‘2-5=-3’을 ‘내게 2개의 구슬이 있는데 동생에게 5개를 주려고하니 3개가 모자라. 그 모자라는 것을 ‘-’로 표현했어.’하고 음수의 범위까지 셈을 확장시킬 수 있는 것이다. 가능한 많은 문제를 이와 같은 방법으로 바꾸어주어야 한다. 교사는 수다쟁이가 되어야 한다. 문제를 이야기로 바꾸는 과정에서 수학의 내용, 원리, 기준을 눈치 채며 탐구할 수 있다. 상상력과 창의력이 커진다.   지금의 시대는 ‘집단 지성의 시대’라고 한다. 뛰어난 한 사람이 ‘나를 따르라’ 식으로 지도하던 시대가 지나갔다. 교육도 마찬가지다. 아이들에게 일방으로 지도하고 암기하고 문제를 푸는 방법으로는 좋은 교육을 할 수 없다. 더구나 사교육 천국에서 선행학습하고 여러 유형의 문제풀이에 익숙할 대로 익숙한 아이들은 아무런 감흥을 느끼지 못한다. 문제풀이라는 무미건조한 공부에 감흥까지 없다면 무슨 힘으로 수학을 할 수 있겠는가. 아이들이 주인공이 돼서 배워야 할 내용을 집단으로 토론하고 나누고 배우고 정리하며 깨달아가는 것이 지금 시대에 맞다. 그곳에 이야기 수업이 있다.   **덧붙히는 말 : 이 글을 읽고 ‘이야기 수학 수업’을 하실 분들이나, 그동안 ‘이야기 수학 수업’을 하고 계신 분들의 수업사례가 있다면 제게도 나누어주시면 참 고맙겠습니다. 제 메일 <A href="mailto:wks1966@hanmail.net">wks1966@hanmail.net</A>로 보내주시면 됩니다. 수업사례를 보면서 서로 도울 점이나 나눌 점을 찾는다면 큰 힘이 되겠지요.