복소수의 개념 /https://blog.naver.com/claykim999/223466527774 그림 굿

[장끼]

안녕하세요 현준쌤 수학입니다.

오늘의 포스팅은 고등수학(상) 2단원인

방정식과 부등식에서 배우는 복소수의 개념과

실생활 활용에 대해 알려드리겠습니다!

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먼저 복소수의 역사와 개념에대해 알아보겠습니다!

(x^2 = -1)과 같은 방정식은

실수 범위 내에서는 해를 가질 수 없죠?

이러한 문제를 해결하기 위해

음수의 제곱근을 구하는 과정에서

새로운 수 체계의 필요성이 제기되었고,

다양한 수학자들 사이에서 활발히 논의되는 중

16세기 이탈리아의 수학자 카르다노는

〈위대한 술법〉에서 음수의 제곱근을

‘가공의 양(+)’으로 기록함하였습니다.

그리고 허수의 존재를 입증한

최초의 인물로 알려지게 되었죠.

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이후 허수 개념을 바탕으로

'복소수' 체계가 형성되었습니다.

자 이제 복소수의 실생활활용을 알아볼까요?

복소수는 전기공학에서 매우 중요한 역할을 합니다.

전기공학에서는 i가 전류를 나타내기 때문에

수학에서 사용하는 허수 단위 i 대신 j 를 사용하는데요

복소수는 전기 회로의 분석, 신호 처리, 그리고 전력 시스템의 설계 등

여러 분야에서 활용되고 있습니다.

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전기공학에 활용된 복소수의 사례 중

특히 양자역학에서의 파동 함수와 관련된

복소수의 사용을 빼놓을 수 없습니다.

예를 들어, 슈뢰딩거 방정식의 해로

나타나는 파동 함수는 복소수 형태로 표현되는데요.

슈뢰딩거 방정식을 설명하기에 앞서,

먼저 에르빈 슈뢰딩거 간단하게 알아보자면!

밀폐된 상자 속에 독극물과 함께 있는

고양이의 생존 여부를 이용하여

양자역학의 원리를 설명한

‘슈뢰딩거의 고양이’로 유명한

오스트리아의 물리학자이자 수학자인

에르빈 슈뢰딩거는 드브로이 제안한 물질의 파동성을 통해

파동성이 물질의 본질적 속성이고,

입자성은 부수적 현상에 불과하다고 주장했습니다.

따라서 슈뢰딩거는 물리학은 파동 현상을 기술하고,

그것을 지배하는 법칙을 발견하는 데

치중해야 한다고 보았는데요.

1935년, 원자에 있는 입자가 어떠한 특정 위치에 있을

확률을 계산하기 위해 고안된 슈뢰딩거 방정식의 해는

복소수 형태의 파동함수로, 양자역학적 계의 상태에 대한

중요한 정보를 담고 있는 복소수 함수입니다.

아래 방정식에서 허수 i를 찾아볼 수 있죠?

파동 함수 에 대한 슈뢰딩거 방정식

참고로 실제 파동함수는

복소수 형태의 함수이기에 우리가 사용하는

실수 영역과는 다른 성격의 함수로 파동함수의

제곱의 절댓값을 전자가 존재하는 확률을 나타내는

확률밀도 함수를 사용합니다.

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복소수의 허수부분은 신호의 진폭과

위상을 동시에 표현할 수 있어,

신호의 특성을 효과적으로 파악하는 데

매우 유용한 도구로 사용되고 있습니다.

이 때문에 신호 처리 분야에서도

복소수가 다양하게 활용되고 있는데요

그 중 대표적인 예가 신호의 주파수 성분을 분석하기 위한

푸리에 변환에 사용되는 복소수입니다.

푸리에 변환 공식, 적분내에 위치한 x(t)함수 가 복소수 범위에서 정의되어 있습니다.

푸리에 변환은 시간이나 공간에 대한 함수를

시간 또는 공간 주파수 성분으로 분해하는 변환을 의미합니다.

푸리에 변환을 사용하면 신호를 구성하는 주파수를 파악할 수 있기 때문에,

음악 파일에서 저주파와 고주파를

분리하여 리버브, 에코 등의

효과를 적용하고 믹싱 및 마스터링

과정에서 음향의 주파수를

개별적으로 조정하여 보정하거나

노이즈를 제거할 수도 있습니다.

이와 같이 복소수가 사용된 푸리에 변환은

신호 처리에서 중요한 역할을 하며,

다양한 음향 효과를 생성하고

신호 품질을 향상하는 데 중요한 기여를 하고 있습니다.

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​이번 포스팅을 통해 복소수와

복소수의 실생활 활용에 대한

여러분의 이해가 한층 더 깊어졌기를 바라며

이번 글은 여기서 마치도록 하겠습니다.

[출처] 수학의 실생활 활용 알아보기 ! >> 복소수|작성자 현준쌤 수학

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