Geometry 7/1 1회차-평면 기하학의 탐구 문제들 1장 1절 활동 보고

[20107 노도현]

1회차
2020.7.1 수요일-스타벅스 학여울역점
학습주제-평면 기하학의 탐구 문제들
참석자-노도현(조장), 이승호, 임예빈, 나규민
작성자-20107 노도현

이 글을 시작하기 전에 나는 여러분들이 우리 동아리는 절대로 고등 선행학습을 필요로 하는 동아리가 아니며, 중학교 수학만 할 수 있어도 함께할 수 있는 동아리라는 것을 알아주었으면 좋겠다. 이 동아리에 있는 친구들이 가지고 있는 것은 뛰어난 고등 수학의 선행 능력이 아니다. 단지 남다른 수학에 관한 열정이라고 보아야 할 것이다.
수학에 있어서만큼은, 지금 여러분들보다 잘하는 아이들을 단기간 안에 능가할 수 있는 방법이 있다. 바로 수학에 대한 여러분들의 열정이다. 그리고 그것이 있다면, 여러분은 지금 그 자체만으로도 뒤어난 수학자이다.

1. 포괄적 활동내역
평면 기하학에서 가장 기본이 되는 스킬인 닮음에 대해 익히고 그에 관련된 5가지 도입 문제들, 13가지 심화 문제들을 3시간동안 탐구해보는 시간을 가짐. 전체적인 책의 전체적 난이도에 대한 고찰을 통해 앞으로 어떤 단원을 풀 것인지, 그리고 어떤 주제를 바탕으로 심화학습을 할 것인지 정함. 종합적으로 우리가 다음 주에 낼 수 있는 결과물을 예측해보고 앞으로 하게 될 동아리 활동에 대한 계획을 세움.
2. 활동 내용
a. 앞으로의 계획을 세움
매주 수요일날 만나는 것을 기준으로, 문제를 푸는 주에는 금요일날 개인노트정리를 하고, 일요일 9시에 카페보고를 번갈아가며 올리기로 함. 심화탐구를 하는 주에는 일요일날 심화탐구보고서를 작성하는 것괴 같은 날 9시에 카페보고를 하는 것을 원칙으로 함. 매주 수요일날 3시간 동안 활동을 하기로 했으며, 그 시각은 사정에 따라 변동이 있을 수 있음. (아래 그림 1 참고)
또 많은 문제들을 다 같이 풀면 효율이 떨어지므로 두명 두명씩 조를 나누어 홀수 번호와 짝수 번호 문제들을 나누어 풀기로 함.
b. 평면 기하학의 탐구 문제들-도입 문제들을 풀고 생각을 나눔
도입 문제들은 닮음에 관련된 기초를 닦을 수 있도록 설계됨. (아래 그림 2 참고)
1번 문제의 경우 예각삼각형에서 수선을 그었을 때 나타나는 닮음을 찾아 문제를 해결함. 직각삼각형이 나올 때 닮음을 생각해야 한다는 교훈을 주는 문제임.
2번 문제의 경우 직각삼각형에서의 사영정리를 입증하라는 문제로, 닮음에 있어서 근본을 다지는 문제임.
3번 문제의 경우 삼각형에서 세 중선은 한 점에서 교차함을 입증하라는 문제임. 매우 중요한 문제로, 중점연결정리의 사용을 통한 무게중심의 위치 결정이 예술임.
4번 문제의 경우 삼각형에서의 닮음비를 잘 이용하면 쉬운 문제임.
5번 문제의 경우 정사각형이 삼각형에 내접한다는 조건을 인지하고 삼각형의 넓이는 부분의 합을 이용함. 승호가 이를 닮음비를 이용한 더 참신한 풀이를 생각함.
(그림 3 참고) 이에 대한 해답이 없어 도현이(나)가 해설을 만듬. 이 정리노트를 제 1절 문제들의 풀이, 그리고 '평행한 직선에 의한 분할'이라는 주제에 대한 심화탐구와 함께 묶어 7월 19일 1차 공개할 예정임. 닮음비를 통한 풀이에서 돋보이는 창의성을 통해 학생들이 수학에 대한 아름다움과 흥미를 느낄 수 있기를 기대함.
c. 제 1절 '평행한 직선에 의한 분할' 1.16까지의 문제풀이
닮음을 이용해 풀 수 있는 고난도 문제들임. 중학생들이 닮음 단원에서 경험할 수 있는 최고수준의 문제들과 고등적 기하 성질들이 도입됨.
수학을 잘하는 친구들과 함께 문제 하나하나를 깊게 사유하는 시간을 가짐. 아래 사례들은 가장 인상깊었던 문제들임.
1.2의 경우 승호와 규민이가 함께 생각하는 과정을 통해 임의의 사각형에서 각 변의 중점을 이은 사각형이 평행사변형임을 쉽게 입증하고, 그 평행사변형이 직사각형, 마름모, 직사각형이 되는 경우까지 탐구를 통해 알아낼 수 있었음. 그리고 해결되지 않았던 1.3은 도현이(나)가 생각하던 중 도입문제 4와의 연관성을 발견하고 도입문제 4를 일반화시킴으로서 해결할 수 있었음. 1.6의 경우 예빈이가 닮음을 통해 일반삼각형에서의 평행사변형꼴 변환을 간단하게 비를 통해 알아냄. 1.9는 승호가 수식을 이용하지 않고 원에서의 선분 사영이라는 개념을 통해 아름다운 해결방법을 생각함. 1.13의 경우 도현이(나)가 삼각형의 닮음과 1.1에서 증명했던 보조정리를 사용, 각의 이등분선 위에 있는 점들은 그 대변에 그은 거리가 같아야 한다는 성질을 이용하여 해결함.
문제들이 많이 어려웠지만 문제들을 푸는 과정에서 자꾸만 떠오르는 수학적 발상들은 우리들의 뇌를 자극시키기에 충분했던 듯함.
이에 대한 깔금하고 우리들의 생각이 들어간 풀이는 7월 19일 지금까지의 성과를 1차공개하면서 올리기로 함.
d. 총정리
7월 1일 수요일 우리는 3시간 동안 모여 앞으로 4주동안 우리가 할 일들을 구체적으로 설계하고, 이 책에 있는 도입문제들을 함께 풀며 닮음을 익혔음. 그 뒤 함께 토론하는 과정을 통해 어려운 닮음 문제들을 해결하며 수학적 사고력을 기를 수 있었음.
3. 활동 소감
노도현-기하 문제들을 풀 때 우리는 어떤 방법을 택했을 때 어떤 길로 들어서게 될지 알 수 없다. 단지 어떤 보조선을 그을 때는 그 길을 택했을 때 무언가 좋은 일이 일어날 것 같다는 감으로 길을 선택하는 것일 뿐이다. 그리고 그런 점에서 기하학은 참으로 흥미로운 듯하다. 앞으로 기하 문제를 풀 때 우리가 어떤 길을 택할지 모르는 여행자가 되는 것은 어떨까?
뿐만 아니라 수학을 잘하는 똑똑한 아이들과 함께 문제들에 대한 사고를 하고 어려운 문제를 해결해 나가는 과정 속에서 얻을 수 있는 쾌감은 말로 표현할 수 없을 정도다.
이승호-동아리원들과 머리를 맞대 기하 탐구문제를 연구하는 과정에서 학문적 관점의 다양성을 느낄 수 있어 흥미로운 경험이었다.
4. 다음 주 활동
다음 주는 스터디카페에서 할 예정임. 스타벅스에서 공개된 분위기로 토론활동을 하는 것은 다른 분들에게도 방해될 수 있으며, 우리들의 집중력에도 부적절하다는 생각을 함.
그리고 다음 주에는 우리가 이번 주에 풀었던 문제들을 바탕으로 심화탐구를 하여 우리들만의 정리를 만들어보는 시간을 가지고, 창의적인 미래융합인재로서의 수학적 역량을 기를 수 있는 의미 있는 시간을 가지려 계획중. 7월 8일 수요일, 3:30부터 3시간동안 활동이 예정되어 있음.

[김미경]

계획을 참 잘 세웠구나! 도형의 성질을 증명하는 데는 삼각형의 합동 조건이 기본이 되고 자주 사용되는 데 잘 기억하고 도형의 성질을 잘 이용하면 좋겠다. 마음에 맞는 친구들끼리 모여서 머리를 맞대고 연구하는 모습이 참 기특하다. 처음 마음 잘 간직하고 멈추지 말고 정한 목표대로 끝까지 갔으면 좋겠다.