형태주의: 기능적 동질성과 구조적인 내적 관련성 (수학교육론)

[질문] 수학교육학적인 관점으로 질문을 드려봐도 될까 모르겠어요 ㅜㅠ 기능적 동질성과 구조적인 내적 관련성에 대한것인데요. 저는 두 성질이 다른것이라고 생각하거든요? 제 생각은 형태주의의 포인트가 부분과 전체와의 관계를 바라보는것인데 여기서 기능적 동질성은 부분들 사이에서 그들끼리 비슷한 역할을 하는게 무엇인지를 파악하는것이라고 본다면 이를 통해서 결국 전체에 대해 각 요소들이 어떻게 관련을 지어서 전체를 구성하는지를 말하는게 구조적인 내적 관련성인거 같아요. 다시 말하면 부분을 어떻게 관련짓느냐에 따라 전체에 대한 구조가 바뀌는게 구조적인 내적 관련성이라면 기능적 동질성이라는 것은 전체를 이루는 요소들 사이에서 그들끼리 비슷한 성질(?)이나 역할을 하는 것을 파악하는게 기능적 동질성인거 같아요ㅎ 그래서 베르타이머의 생산적 사고가 기능적 동질성을 고려하여 전체와 부분과의 구조적인 내적 관련성을 파악하는 통찰이라고 하는거 같거든요 . 제 생각이 맞..나요? 😅 긴글 읽어주셔서 감사합니다^^ [답변] 1. 기능적 동질성과 구조적인 내적 관련성이 다른 것?  다르다기보다는 서로 밀접하게 관련되어 있죠. 구조적인 내적 관련성은 잘 이해하고 있으나 기능적 동질성은 다소 혼란을 갖고 있는 듯합니다.  그림을 그릴 수가 없어 말로 그림을 대신합니다.  베르트하이머가 실험한 게 학생들에게 전형적인 평행사변형을 제시하고 그 도형의 넓이를 구해보라는 것이었죠. 평행사변형을 수직선에 따라 나누고 그 나누어진 조각을 이리저리 맞추어 직사각형으로 변형시키면 밑변 곱하기 높이 공식이 나온다는 것을 가르쳤고, 같은 유형의 평행사변형에 대해 넓이 구하는 연습을 시켰죠. 그런데 다음 날 좀 어려운 다른 형태의 평행사변형(위의 꼭짓점에서 수직으로 그어 내리면 밑변과 만나지 않는 도형)을 제시하고 넓이를 구해보라고 했더니 구조적 원리(왜 넓이를 구할 때 수직선을 긋는지)를 이해하지 못한 학생들은 당황스러워하며 넓이를 구하지 못했습니다. 수선을 엉뚱하게 그어서 밑변과 만나지 않았기 때문이죠. 이건 구조적 원리를 이해(생산적 사고)하지 못했기 때문입니다.  그렇다면 수선을 어떻게 그어야 할까요? 그 도형의 “밑변”과 수직이 되게 선을 그어야 합니다. 무조건 아래쪽과 수직이 되게 긋는 게 아니죠. 그 날 제시한 형태의 평행사변형은 위에서 아래쪽으로 수선을 그으면 무조건 밑변과 만나지 않고 빈 공간에 선이 그어지는 도형을 제시한 것이죠. 그래서 밑변과 만나지 않는 빈 공간에 수선을 긋게 된 것이죠. 이렇게 되면 절대로 평행사변형을 직사각형으로 만들 수가 없습니다. 직사각형은 밑변에 수직인 선이 세로이죠. 세로(수선)는 밑변에 수직입니다. 따라서 평행사변형도 “밑변”과 수직인 선을 그어야 하고 그럴 때에만 직사각형으로 변형할 수 있다는 것입니다. 학생들이 이걸(“밑변과 수직이 되게 선을 긋는다”) 이해했다면, 그 학생은 평행사변형과 직사각형 사이의 “기능적 동질성”을 이해한 것입니다. 이게 생산적 사고의 출발입니다. 기능적 동질성이란 평행사변형과 직사각형은 기능에서 동질적이라는 것입니다. 즉 밑변에 수직인 선을 그으면 직각이 나온다는 것입니다. 쉽게 생각해서 실로 4개의 꼭짓점을 갖는 평행사변형을 만들고 그걸 이리저리 변형해 보면 직사각형이 나오는 것, 또는 직사각형은 이리저리 자유롭게 변형해보면 평행사변형이 나온다는 것, 둘 다 기능적 동질성을 갖는 것입니다.  2.평행사변형은 직사각형과 기능적 동질성을 갖는다는 걸 알았으면(평행사변형=직사각형) 이걸 고려해서 평행사변형을 직사각형이 되도록 부분 부분 선을 그어 쪼개고(단, 기능적 동질성을 고려해서 선을 그음. 즉, 밑변에 수직인 선분 긋기) 이리저리 붙여 직사각형을 만듭니다. “쪼개진 부분들”과 “전체 구조”(직사각형 구조)와의 관련성을 파악하면서 “직사각형”을 만들게 됩니다. 직사각형 완성!! 즉 평행사변형은 자기가 생각했던, 기능상 동질적이라는 생각했던 것이 그대로 실현되어 직사각형이 만들어진 것이고, 그 넓이는 “가로 곱하기 세로”, 즉 “‘밑변’ 곱하기 높이”가 됩니다.   정리하면, 이와 같이 생산적 사고는 기능적 동질성을 고려하여 전체구조와 부분들의 내적 관련성(구조적 내적 관련성)을 파악하려는 통찰적 사고라고 볼 수 있습니다.  열공~!!!