아르키메데스가 원주율을 구하기 위해 사용한 방법

[하늘바다]

아르키메데스가 원주율을 구하기 위해 사용한 방법

반지름이 1인 원의  원주의 길이는

임의의 내접 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고, 임의의 외접 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다.

예를 들어 내접 정육각형과 외접 정육각형의 둘레의 길이를 계산하는 것은 간단한 문제이므로 우리는 쉽게
파이(pi) 에 대한 상·하 한계를 얻을 수 있다.

한편 주어진 내·외접 정다각형의 둘레의 길이로부터 변의 개수가 두 배인 내·외접 정다각형의 둘레의 길이를 구할 수 있는 공식이 있다.

이 과정을 계속적으로 반복하면 처음 내·외접 정육각형으로부터 출발하여 내·외접 정12각형, 정24각형, 정48각형, 정96각형, …등의 둘레의 길이를 계산해 낼 수 있고 이런 식으로 pi값에 좀 더 가까운 상·하 한계를 얻을 수 있다.

이러한 방법으로 아르키메데스는 pi가 223over71 (3.1408…)과 22over7 (3.1428…)사이에 있다는 사실을 얻었다. 이 결과를 소수 둘째 자리까지 써보면3.14가 된다. 이와 같이 정다각형을 이용하여 pi를 계산하는 방법을 pi를 계산하는 고전적 방법이라고 부른다

고대 이집트 인들과 바빌로니아 인들은 원주율을 3으로 보았다. 하지만 꼼꼼하게 따지는 것을 좋아하는 그리스 수학자들은 이에 만족하지 않고 원의 정확한 넓이를 구하기 위해 여러 모로 애를 썼다. 원을 8개로 나눈 뒤 직사각형에 가까운 모양으로 짜맞춘다.
직사각형에 더욱 가깝도록 원을 16개로 나눈다. 이런 식으로 계속하면 거의 직사각형이 나오는데 직사각형의 넓이가 가로×세로이므로 원의 넓이는 반지름×(원주/2)가 된다.

아르키메데스는 원에 내접하는 정96각형과 외접하는 정96각형을 그려그 넓이를 계산했다. 그는 이로써 원의 넓이가 원에 내접하는 정96각형보다는 크고 외접하는 정96각형보다는 작다는 결론을 얻었다. 즉 그는 원주율의 크기가 3.140보다는 크고 3.142보다는 작은 수라는 것을 발견했다. 그 후 세계의 수학자들 사이에는 원주율을 가능한 한 정확히 계산해 내려는 경쟁이 벌어졌다

왜 원주율을 "파이"로 나타내는가?

"파이"라는 기호는 1748년에 오일러가 사용하면서부터 널리 쓰이게 되었다. 라틴 어로 둘레를 페리페리(Periphery)라고 하는데 여기서의 P를 그리스 어로 하면 "파이"가 된다.