빌 추측 (Beal's Conjecture)에 대해

[손님]

미국의 아마추어 수학자 앤드루 빌(Andrew Beal)이 내놓은 정수론 문제. A, B, C, x, y, z가 자연수이고 x, y, z > 2일 때, A^x + B^y = C^z를 만족한다면 세 자연수 A, B, C는 공약수를 가져야 한다는 것이다.

이는 정수 부정방정식인 디오판투스 방정식(diophantine equation) 문제에 속하는 것으로서, 유명한 페르마의 마지막 정리를 일반화한 것에 해당한다. 단 페르마의 마지막 정리는 세 항의 거듭제곱이 모두 같은 자연수였던 데 반해 빌 추측에서는 3 이상인 서로 다른 자연수가 나오는 경우도 논한다.

빌 추측을 내놓은 앤드루 빌은 미국 텍사스 주 댈러스 시의 은행가(댈러스 시에서 가장 큰 지역 은행인 빌 은행(Beal Bank)의 설립자이자 현 은행장)로, 디오판투스 방정식 문제를 비롯한 정수론 문제에 많은 관심을 가지고 있는 수학 애호가이다. 그는 1995년 앤드루 와일즈가 내놓은 대수기하학을 이용한 증명보다 더 단순하면서 기하학을 이용하지 않은 방식으로 페르마 자신이 페르마의 마지막 정리를 증명했을 거라고 믿고서, 알려지지 않은 페르마의 연구 결과를 발굴해 내는 데도 많은 관심을 갖고 있다.
(주 1: 전문 수학자들은 대부분 페르마가 일반적인 증명을 알았을 거라는 데 동의하지 않는다. "놀라운 증명을 발견했으나 여백이 모자라서 쓸 수 없다."는 메모의 진상에 대해서는, n = 4인 특수한 경우의 증명을 구상했는데 이를 쉽게 일반화될 수 있다고 오인했을 거라는 설이 가장 유력하다.)

빌 추측과 관련해서는 몇 가지 결과가 알려져 있다. 그 중 하나는 디오판투스 부등식(diophantine inequality: 정수 부정부등식. 디오판투스 방정식과 비슷하나 등호 대신 부등호가 들어간다)과 관련하여 중요한 abc 추측(abc conjecture)과의 연관성으로, abc 추측이 참이면 충분히 큰 x, y, z에 대해 A^x + B^y = C^z의 해가 존재하지 않는다는 것이 증명되어 있다.

abc 추측은, a, b, c가 자연수이고 N(a, b, c)가 a, b, c의 소인수들을 1번씩만 곱한 것일 때(예를 들어 N(3, 6, 28) = 2 * 3 * 7 = 42, N(3, 5, 15) = 3 * 5 = 15이다) 임의의 ε > 0에 대하여 a, b가 서로 소이고 c = a + b일 때
max(|a|, |b|, |c|) ≤ μN(a, b, c)^1+ε가 성립하는 상수 μ > 1가 존재한다는 것이다.

또 1995년 다몬(H. Darmon)과 그랜빌(A. Granville)은 ≪런던수학회공보≫(Bulletin of London Mathematical Society) 27권 pp. 513-543에 수록된 논문에서 자연수 x, y, z가 1/x + 1/y + 1/z < 1일 때 A^x + B^y = C^z를 만족하는 자연수 해 A, B, C는 유한 개만 존재한다는 것을 증명한 것이 있다.

x, y, z > 2인 자연수는 x = y = z = 3이 아니면 1/x + 1/y + 1/z < 1을 만족하나, 페르마의 마지막 정리에 따라 x = y = z = 3일 때는 해가 존재치 않는다. 따라서 x, y, z > 2일 때 A^x + B^y = C^z을 만족하는 A, B, C는 유한 개만 존재한다. 그러나 정확히 몇 개가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았기에, 컴퓨터로 해를 구한 다음 그것만 확인하는 방식으로는 아직 접근할 수 없다.

한편 미국 항공우주국 에임즈 연구센터(NASA Ames Research Center) 전산과학부장 피터 노빅(Peter Norvig)이 이끄는 연구단은 수퍼컴퓨터로 빌 추측의 반례를 찾는 연구를 진행하고 있다. 현재 기수 A, B, C가 100 이하이고 거듭제곱 x, y, z가 1000 이하인 경우, 기수가 100000 이하이고 거듭제곱이 10 이하인 경우, 기수가 250000 이하이고 거듭제곱이 7 이하인 경우 등에 대해서는 반례가 존재치 않는다는 것이 확인되어 있다.
(주 2: 참고 자료 2번을 보면 노빅이 작성한 프로그램, 앞으로의 연구 계획도 볼 수 있다. 프로그래밍에 지식이 있는 사람에게는 유용할 것.)

페르마의 마지막 정리에 독일인 파울 볼프스켈(Paul Wolfskehl)이 현상금을 걸었던 것과 비슷하게, 빌은 빌 추측 해결을 장려하고자 ≪미국수학회보≫(Notices of the American Mathematical Society) 1997년 12월호에서 빌 상(The Beal Prize)을 제정하여 빌 추측을 증명하거나 반증(반례를 찾는 것)하는 사람에게 상금을 수여하겠다고 발표했다.

상금은 최초에는 빌이 5000달러를 기탁해서 50000달러가 될 때까지 매년 5000달러씩을 늘린다는 계획이었으나 현재는 100000달러로 책정되어 있다. 상금 관리와 수상자 심사는 미국수학회(American Mathematical Society: AMS)에서 담당한다.