1. 순환군 사이의 준동형사상을 결정하는 방법...

일반적으로, f : G -> G' 이 준동형사상일 때... ① G 가 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G| 의 약수가 됩니다. ② G' 이 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G'| 의 약수가 됩니다. ③ G 가 순환군이고, G = <g> 이면 f(G) 도 순환군이고 f(G) = <f(g)> 입니다. ====================================================================================== Q1) 두 순환군 G = <a>, H = 의 위수가 각각 9,6 일 때 G에서 H로의 준동형사상과 H에서 G로의 준동형사상을 결정하여라. ====================================================================================== G = <a> 의 위수가 9 이므로 G ~ Z_9 , H = 의 위수가 6 이므로 H ~ Z_6 이 됩니다. [Case1] f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상을 모두 구하는 방법. f(Z_6) = <f(1)> 이고, |f(Z_6)| 은 |Z_6| 과 |Z_9| 의 공약수가 됩니다. 그러면 |f(Z_6)| = 1, 3 입니다. ① |f(Z_6)| = 1 일 경우... Z_9 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다. 그러므로 f(Z_6) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다. ② |f(Z_6)| = 3 일 경우... Z_9 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,3,6} 뿐입니다. 그러므로 f(Z_6) = {0,3,6} 입니다. 그러면 f(1) = 3 또는 f(1) = 6 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다. 그러므로 f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다. -------------------------------------------------------------------------------------- [Case2] f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상을 모두 구하는 방법. f(Z_9) = <f(1)> 이고, |f(Z_9)| 는 |Z_9| 와 |Z_6| 의 공약수가 됩니다. 그러면 |f(Z_9)| = 1, 3 입니다. ① |f(Z_9)| = 1 일 경우... Z_6 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다. 그러므로 f(Z_9) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다. ② |f(Z_9)| = 3 일 경우... Z_6 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,2,4} 뿐입니다. 그러므로 f(Z_9) = {0,2,4} 입니다. 그러면 f(1) = 2 또는 f(1) = 4 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다. 그러므로 f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다.