<p>얼마전 우연히 물리 관련 영상을 시청하다가 벡터와 스칼라를 설명하는 영상을 보게 되었습니다.</p><p><br></p><p>물리 관점에서 벡터와 스칼라를 구별하는 방법을 얘기하더군요. 벡터는 크기와 방향이 있고 스칼라는 크기만 있다.</p><p><br></p><p>벡터는 회전 변환에 대해 변하는 반면 스칼라는 변하지 않는다. </p><p><br></p><p>하지만 여기서 말한 벡터의 성질은 rank 1짜리 텐서의 성질일 뿐입니다. 그리고 회전 변환을 얘기하려면 norm 혹은 최소한 metric이 정의되어 있어야 하는데 모든 벡터공간에 metric이 정의될 필요는 없습니다. 그래서 위와 같이 벡터와 스칼라를 비교한 것은 물리를 입문하는 사람에게 쉽게 설명하기 위한 대안에 불과합니다.</p><p><br></p><p>예를들어 보도록 하겠습니다. n차원 실수 유클리드 공간 상의 연산자는 특정 기저에 대해 행렬 (rank 2짜리 텐서)로 표현할 수 있는데 이들의 집합은 <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=dpi{100}&space;{color{Teal}&space;mathbb{R}^{n&space;times&space;n}&space;}" target="_blank" style="font-size: 9pt;"><img src="https://img1.daumcdn.net/relay/cafe/original/?fname=https%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fpng.latex%3F%5Cdpi%7B100%7D%26space%3B%7B%5Ccolor%7BTeal%7D%26space%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%26space%3B%5Ctimes%26space%3Bn%7D%26space%3B%7D" title="{\color{Teal} \mathbb{R}^{n \times n} }"></a>로 표현할 수 있습니다. 스칼라를 실수라고 할 때 <a href="https://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=dpi{100}&space;{color{Teal}&space;V=&space;left&space;(&space;mathbb{R}^{n&space;times&space;n},&space;+,cdot_{mathbb{R}}&space;right&space;)&space;}" target="_blank" style="font-size: 9pt;"><img src="https://img1.daumcdn.net/relay/cafe/original/?fname=https%3A%2F%2Flatex.codecogs.com%2Fpng.latex%3F%5Cdpi%7B100%7D%26space%3B%7B%5Ccolor%7BTeal%7D%26space%3BV%3D%26space%3B%5Cleft%26space%3B%28%26space%3B%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bn%26space%3B%5Ctimes%26space%3Bn%7D%2C%26space%3B%2B%2C%5Ccdot_%7B%5Cmathbb%7BR%7D%7D%26space%3B%5Cright%26space%3B%29%26space%3B%7D" title="{\color{Teal} V= \left ( \mathbb{R}^{n \times n}, +,\cdot_{\mathbb{R}} \right ) }"></a> 역시 벡터 공간임은 정의로 부터 쉽게 확인할 수 있습니다. 이 공간의 원소인 벡터는 방향을 얘기 할 수 없으며 rank1 짜리 텐서도 아닙니다. 그리고 회전 변환을 얘기하려면 norm 정의 되어 있어야 하는데 위와 같이 만든 벡터공간 V는 norm이 정의되어 있지 않습니다. 따라서 회전 변환을 정의할 수 없습니다.</p><p><br></p><p>개념을 쉽게 설명하는 것은 중요하지만 어떤 제한 조건 하에서 둘을 비교하면 .. 식으로 제한 조건을 명확히 하는 것 역시 중요한 일임을 영상 만드시는 분들이 아셨으면 좋겠다는 생각이 들어 생각나는 대로 끄적여 봅니다.</p>
<!-- -->
첫댓글물리학에서 벡터는 사실상 수학적으로 텐서를 의미합니다. Tensoriality 가 "물리에서 말하는 벡터" 의 본질입니다. (그래서 Rank 1 텐서와 Rank 0 tensor를 구분하는것은 별로 의미가 없구요. 정말 말그대로 중고교 수준에서 기본적인 스칼라와 벡터의 차이를 구분시켜주기 위한 것 뿐. 물리학 전공자에 있어서는 별로 의미가 없는..) 다만 General Relativity 에서 얘기하는 General Covariance 가 물리학의 근본사상으로 생각하죠. (수학적으로는 Functoriality 를 의미.) 이유는 관찰자가 누구든 동일한 물리법칙을 세우는것이 가장중요하기때문.
맞아요. Covariance는 회전 변환에 대해 변하지 않는 물리량이 존재하면 항상 사용되니까 모든 물리이론에서 등장합니다. 물리에서 법칙이 존재하는 근본적인 이유는 변환에 대한 대칭성 인데 달리 얘기하면 변환에 대한 보존 되는 양이 있는 양이 있다는 것입니다. Contravariant 한 수로 부터 변환에 대칭인 수를 얻으려면 그 functional이 covariance한 수가 되는 것이 자연스럽습니다.
첫댓글 물리학에서 벡터는 사실상 수학적으로 텐서를 의미합니다. Tensoriality 가 "물리에서 말하는 벡터" 의 본질입니다. (그래서 Rank 1 텐서와 Rank 0 tensor를 구분하는것은 별로 의미가 없구요. 정말 말그대로 중고교 수준에서 기본적인 스칼라와 벡터의 차이를 구분시켜주기 위한 것 뿐. 물리학 전공자에 있어서는 별로 의미가 없는..) 다만 General Relativity 에서 얘기하는 General Covariance 가 물리학의 근본사상으로 생각하죠. (수학적으로는 Functoriality 를 의미.) 이유는 관찰자가 누구든 동일한 물리법칙을 세우는것이 가장중요하기때문.
흔히 착각을 많이 하는 것이 Covariance가 GR에서만 나온다고 알고있는데...그게 아니라 물리법칙을 다루는 모든 이론들이 Covariance를 전제하고 있다는 점....
맞아요. Covariance는 회전 변환에 대해 변하지 않는 물리량이 존재하면 항상 사용되니까 모든 물리이론에서 등장합니다. 물리에서 법칙이 존재하는 근본적인 이유는 변환에 대한 대칭성 인데 달리 얘기하면 변환에 대한 보존 되는 양이 있는 양이 있다는 것입니다. Contravariant 한 수로 부터 변환에 대칭인 수를 얻으려면 그 functional이 covariance한 수가 되는 것이 자연스럽습니다.