현도와 원방각의 비교

[유토피아]

다음은 현존하는 동양초고의 원방각수학인 주비산경을 참조로하여

현도라고 하는 것인데 주비산경의 해설하는 과정에서 이른바 피타고라스의 정이를 설명한 것이라고 합니다.

[참조] 周髀算經

昔者에 周公이 問於商高曰竊聞乎大夫善數也라 請問古者包犧立周天曆度하노라 夫天은 不可階而升이오 地는 不可得尺寸而度하니 請問數安從出고

商高曰數之法은 出於圓方이오 圓出於方하고 方出於矩하며 矩出於九九八十一이라 故로 折矩하여 以爲句廣三하고 股脩四하면 徑隅五이나이다 旣方之外에 半其一矩하고 環而共盤하여 得成三四五요 兩矩共長二十有五이니 是謂積矩라 故로 禹之所以治天下者 此數之所生也니이다

아무튼 오늘날에는 피타고라스의 황금비로 이용되고

어린학생들에게 주입식교육의 제1호가 되고 있습니다.

동양식 피타고라스의 정리

“주비산경”에서는 ‘구고현의 정리’라고 명시되어 있는데 ‘밑변이 3, 높이가 4인 직각 삼각형의 빗변의 길이는 5가 된다’라는 피타고라스 정리와 같은 개념입니다. 구고현정리는 여러 가지 피타고라스 수 가운데 ‘3:4:5’만을 가리켜 뜻한다고 합니다.

‘구고현’은 옛날에는 직각 삼각형에서 빗변이 아닌 두변 중 짧은 변을 ‘구’ 긴 변을 ‘고’ 빗변을 ‘현’ 이라고 불렀습니다.

구(3), 고(4), 현(5)으로 하여 ‘구고현의 정리’라는 피타고라스 정리와 같은 것이 있었다. (*구.고.현은 그림 참고) 구와 고를 직각으로 한 후 엉덩이 아랫부분에서 발뒤꿈치까지가 현입니다.

그림과 같이 넓적다리를 내려다보고 앉아 종아리를 직각으로 꺾은 뒤에 종아리 끝의 발뒤꿈치에서 넓적다리가 시작되는 사타구니까지의 사이를 선으로 이으면 직각 삼각형이 됩니다.

구고현의 정리는 옛날에 토지를 측량하거나 다리를 놓는 대공사 등의 건축물에 이용되었는데 특히 규모가 커서 직접 줄이나 자로 측정하지 못하는 거리를 구해야 할 경우 유용하게 쓰였다고 합니다.

구고현의 정리는 피타고라스 정리보다 500년 앞선 정리라는 사실을 알고난 후 서양의 수학보다 먼저 발달한 자부심을 느낄 수 있었고 비례를 통해 계획적으로 건축된 광화문의 기하학적 아름다움을 느낄 수 있었습니다.

우리는 현재 교과서에서 서양에서 도입된 수학을 학습하고 이해하고 있지만 우리나라의 수학사와 우리나라 수학에 대해 학습해보고 싶다는 생각이 들었습니다.

그런데 중국에서는  음양8괘의 즉 64괘의 신비함을 찾는 이론서로서의 애착을 갖게하였습니다.

즉 64괘의 고정불변함을 찾으려고 했으나 찾지못하고...

'한옥에서 쓰는 직각삼각형의 원리' 를 구고현법이라고 해요. 

직각삼각형의 두 변의 길이를 알면 나머지 한 변의 길이를 알 수 있지요. 이게 그 유명한 피타고라스 정리지요. 식으로 나타내면 a²+b²=c²입니다. 숫자를 대입해 보기로 해요. 높이가 3 밑변이 4인 직각삼각형의 빗변값을 알고 싶다면, 3² + 4² = 5²이다. 그러므로 빗변은 5가 되는 것이죠.

이번에는 정사각형의 반을 나눠보기로 해요. 한 변이 1인 정사각형을 나누니 한변이 1인 이등변 삼각형이 나어요. 이때 두 삼각형의 밑변은 √2가 되지요. 이 공식은 단순하지만 추녀나 선자연을 구할 때 꼭 알아야 하는 원리입니다.

"구를 3, 고를 4라고 할 때, 현은 5가 된다."

다음 ( 그림1 )과 비교하여 읽어보면 여러분이 알고 있는 어떤 내용과 같죠.

이 정리는 중국에서 약 3000년 전에 진자라는 사람에 의해 발견되었다는 '진자의 정리'랍니다. 다른 말로는 '구고현의 정리' 라고도 하죠.

이 내용이 실린 책에는 위의 (그림 2)도 같이 수록되어 있는데, 무슨 뜻인지 아시겠어요?  바로 구교현의 정리의 증명이랍니다. 수식을 하나도 쓰지 않고 그림 하나로 증명을 한 것이죠.

'피타고라스의 정리'

옛날부터 세계 어디에서나 직각삼각형을 그리는 방법은 잘 알려져 있었다. 땅의 넓이를 재는 데, 하늘의 별자리를 알아보는데, 그리고 무엇보다 건물을 세우는 기초를 닦는 데 직각이 필요했기 때문이다.

직각은 직각삼각형을 만들기만 하면 쉽게 얻을 수 있었으며, 직각삼각형을 만드는 것은 그리 어려운 일이 아니다. 실제로 사람들은 경험을 통해서 이것을 터득했다.

즉, 새끼줄의 길이를 3：4：5의 비가 되도록 매듭을 만들고 이 매듭이 있는 자리를 손이나 막대로 누르고 줄을 당기면 간단히 직각삼각형이 만들어진다는 것을 알게 되었다.

그러나 왜 이런 비를 사용하면 직각이 만들어지는지 알지 못하였다. 그러다가 피타고라스(Pythagoras; 572?∼492? B. C)에 의해 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는

( 밑변의 제곱 ) + ( 높이의 제곱 ) = (빗변의 제곱)

 의 관계가 있다는 것을 알게 되었다. 
 

이 사실을 처음 밝혀낸 사람이 피타고라스이다.

 
그가 이집트를 여행하다 어느 사원을 찾게 되었다. 이 웅장한 사원의 여기저기를 구경하다가 지친 그는 잠시 사원 마루에 앉아 쉬고 있었다.

그러다가 그 곳에 깔린 대리석에 새겨진 아름다운 도형의 무늬를 무심코 쳐다보게 되었고, 오른쪽의 그림과 같이 직각삼각형의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형들이 눈에 띄게 되었는데 그 중 작은 두 개의 넓이가 나머지 한 개의 넓이와 똑같았다. 이 사실은 어떤 직각삼감형을 어떻게 그려도 변함이 없었다.

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   황금비율은 서양의 대표적인 건축기준입니다.

   황금비율은 건축에만 쓰이는 것은 아니어서 일상 생활에 아주 많이 쓰입니다. 이는 단지 건축비율이 아니라 모든 분야의 아름다움을 대표하는 비율이기 때문입니다. 실제 우리가 인식하고 있지 않을 뿐이지, 우리 생활 속에서 만나는 책의 크기, 탁자의 크기 등 수많은 제품들이 이 황금비율을 따르고 있습니다. 이 황금비율을 설명하는 방법은 여러가지가 있습니다만, 가장 간명하게 설명하는 방법은 아래와 같습니다.

그림에서 직선 전체 크기를 A로 할 때 A와 B의 비율이 A'(B)와 B'의 비율과 같을 때 황금비율이라고 합니다. 이 비율은 1:1.618로 일정합니다. 피보나치라는 사람은 이를 응용하여 2:3비율로 시작하는 수열을 만들었습니다. 이를 피보나치수열이라고 합니다. 수열이 계속되면 황금비율이 나옵니다. 피보나치비율인 2:3비율은 황금비율보다 적용이 쉬워 많이 쓰입니다.

서양에 황금비율이 있다면, 동양에는 구고현법이 있습니다.

구고현법은 말이 좀 낯설어서 그렇지 사실은 직각삼각형의 원리를 말합니다. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변 중에서 짧은 변이 구(句), 긴 변이 고(股)이고, 나머지 가장 긴 변을 현(弦)이라 합니다. 직각삼각형의 두 변의 길이를 알면 나머지 한 변의 길이를 알 수 있습니다. 이것을 피타고라스 정리라고 하지요. 식으로 나타내면 a²+b²=c²입니다.

한옥에서는 구고현법이 응용되는 범위가 넓습니다.

기초를 놓을 때 모서리의 직각을 확인하기 위해서 큰 직각자를 만들어 씁니다. 각재의 한 변을 3자 다른 한 변을 4자로 만들어서 수직으로 세우고 부재의 양끝을 재서 5자가 되면 정확하게 직각삼각형이 됩니다. 직각삼각자는 모서리 주춧돌을 자리에 먹을 놓고, 수직을 확인할 때 씁니다.

추녀의 길이를 구하거나 선자연을 걸기 위해 길이를 계산할 때 역시 이 구고현법을 씁니다. 추녀나 서까래는 중도리와 주심도리 사이에 얹히는 데, 이때 중도리가 높기 때문에 추녀는 직각삼각형의 빗변이 됩니다. 즉 주심도리를 수평으로 연장하고 중도리를 수직으로 연장하면 그 연장선은 중도리 밑에서 만나게 됩니다. 때문에 주심도리에서 중도리까지의 수평거리가 직각삼각형의 한 변이 되고, 중도리에서 주심도리까지 수직거리가 다시 직각삼각형의 한 변이 됩니다. 추녀나 서까래는 이 삼각형의 빗변이 되는 것이지요.

또 팔각정이나 육각정을 만들 때도 보의 길이를 결정하고, 여기에 서까래를 올리려 할 때도 구고현법을 알아야 합니다. 우리가 보통 자 4치장여라고 하면, 이것은 양변이 45도인 직각이등변 삼각형의 빗변을 말합니다. 7치 장여라고 하면 이것은 각 변이 1:루트3:2인 직각삼각형의 빗변를 말합니다.

                                       4치장여                                                                                7치장여

이는 대문을 만들 때도 응용이 되어, 솟을대문을 만드는 경우 4치장여를 쓰는 경우가 있습니다.

기타 방의 크기를 정할 때도 구고현법을 적용해서 구하기도 한다고 하나, 오늘날 현장에서 그렇게 하는 경우는 별로 없습니다.

위의 삼각형의 직각삼각형을 피타고라스 정리에 따라서 숫자를 대입하면

양각이 모두 45도인 직각삼각형은 1²+1²=2

양각이 각각  30도, 60도인 직각삼각형은 1²+루트3²=4²

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그러나 원방각의 두가지입인데 위의 것은 작은 원방각입니다.

작은 원방각은 사물의 성질이나 특성를 나타내는 데 사용합니다.

그래서 이를  성수라고 합니다.

피라미드의 기하학이나 이를 가지고 필미드건축을 할 수가 없습니다.

 위 현도는  수량을 계산하는데 사용하는게 아닙니다.

이른바 성수라고 합니다.

그럼에도 불구하고 수량을 계산하려면 법수와 체수로 환산을 해야 합니다만...

다음아래의 원방각입니다.

다음은 부도역의 원방각이라고도 할 수가 있습니다.

자연사물의 크기를 계산하는 것이 실제 가능합니다.