Should the Teacher Teach "Half" or "One Divided by Two"?

[kellogg]

T: How many apples?

S1: One.(one whole apple)

S2: Two.(two apple-objects)

What stage are the children at? Are they at the same stage, or not? How can we find out?

Data 분석을 위하여 stage에 대한 이해를 명확히 하고자 한다.

Pointing- 신체(physical action)를 이용하여 가리키면서 세는 단계이다. 숫자란 물체의 구체적인 묶음을 말한다.

Naming- 신체가 아닌 말(word)로 세는 단계이다. 숫자란 물체의 구체적인 묶음을 말하나, 전 단계와 다른 점은 지명(nomination)에 의한다는 것이다.

Generalizing- 같은 숫자만큼을 가진 두 가지 물체를 비교하며 유사성(similarity), 즉 같은 숫자를 갖는다는 것을 학습하는 단계이다. 숫자란 양으로 부르는 물체 묶음의 특성을 말한다.

Abstracting- 전 단계와 다르게, 물체가 보이지 않아도 숫자만큼의 물체를 생각하는 단계이다. 즉 순수하게 추상적인 이해가 가능한 단계이다.

Conceptualizing: 물체 뿐 아니라 숫자 자체가 없이도 숫자를 생각하는 단계이다. 즉, 이는 하나의 체계적인 사고로서 정확하고 구체적인 양이 아닌 관계를 이해하는 단계이다.

Before we go on, let me point out three things about these “stages”.

1)    There isn’t any one place in the book where we can find the stages laid out like this. “Pointing” and “naming” seem to come from Chapter Three. “Generalizing” and “abstracting” seem to come from Chapter Five. Where do you think “conceptualizing” comes from?

2)    Piaget considers his “stages” to be rather like the stages of a house. They don’t really overlap or even touch, you have to go through the first stage before you can get to the second., and when you are on the second stage you don’t go back to the first stage. Vygotsky’s stages are much more like stages in building a community or a city or a country; the reminders of previous stages are always all around us. We know from Chapter Five that generalizing and abstracting DO overlap, we know that in learning science concepts we sometimes start with abstractions FIRST, and we know that children do not forget about pointing just because they learn conceptualizing.

3)    The stages are not really logically related to each other or structurally related to each other (that is, you cannot IN THEORY figure out how to go from pointing to using words just by reasoning, or how to abstract from generalizing just by thinking). But they are genetically related to each other (that is, you actually DO figure out how to use words by pointing, and how to abstract from generalizing IN PRACTICE).

S1과 S2의 단계를 살펴 보기 위하여, 우선 두 학생에게서 다른 답이 나온 이유를 두 가지 상황을 가정하며 분석해 보고자 한다.

첫 번째로 가정해 볼 수 있는 상황은, 지금 두 학생은 분수(fraction)라는 개념을 배운 적이 없는 1학년(또는 유치원생)을 대상으로 하는 수학수업시간이다.

Good. But remember that this is ENGLISH data and these are Korean kids (I think).

두 학생은 whole number(1, 2, 3, 4, 5...)만을 알 뿐, fraction에 대해서는 모른다.

Do you think preschool kids really don’t use “half”? Don’t children learn about half a pizza, half a chicken, half a glass of milk quite early—perhaps even BEFORE they learn about a whole pizza?

두 학생 모두 분수에 대한 개념이 전혀 형성되어 있지 않다는 것은 동일하나, 두 학생은 <사물(하나)>에 대해 다른 이해를 지니고 있다.

S1은 whole object만을 하나의 사물로 여기고 있다. 그러므로 이 아이에게는 한 개 반이 있어도 하나라고 답할 수 밖에 없다.

반면 S2는 구체적으로 눈에 보이는 사물의 개수에 집착한다. 그 크기나 양보다는 몇 개로 나누어져 있는가의 단위 개념으로 생각하고 있기 때문에 두 개라고 답하고 있다.

Doesn’t it seem MORE LIKELY that the concept is ready but the word is not? Now, if that’s the case, don’t we have to ask WHAT concept is ready.

If you think about it, you can probably see that there are really TWO concepts here, or rather two versions of the same concept:

“half”                               “one divided by two”

Remember that Vygotsky distinguishes between concepts that are the product of EVERYDAY experience and those that are the product of SCHOOL LEARNING. We’re not talking about the actual LANGUAGE here, we’re just talking about the CONCEPT. But because thinking and speech are linked in their development, we find that academic concepts are differently realized in speech:

EVERYDAY CONCEPT             ACADEMIC CONCEPT

Simple words (like pure Korean) Complex morphology (like Chinese words)

Linked to concrete objects           Linked to abstract systems

Must be learned one by one        Can be learned in one HUGE system

Of course, “half” and “one divided by two” are really, at bottom, the same concept—that is, their OBJECT is the same. But it seems likely that the two different realizations of this concept—the everyday realization and the academic one—form a gap, a kind of zone of potential development for the children—at least in English.

유사하지만 다른 상황을 하나 더 생각해 보자. 만약 교사가 2개의 사과를 가지고 와서 온전한 1개와 1/3씩 잘라 조각 2개를 놓고(1+2/3) 몇 개냐고 묻는다고 가정해 보자.

T: How many apples?

S1: (예상답변) One.

S2: (예상답변) Three.

Good!

또는 다른 과일(orange)을 가지고 와서 같은 상황(1+1/2)을 제시한다면 어떨까?

T: How many oranges?

S1: (예상답변) One.

S2: (예상답변) Two.

Notice that oranges are a LITTLE different—they don’t have to be cut! Does this make them MORE suitable or LESS suitable for teaching the concept? WHICH concept—the academic concept or the everyday one?

추가 데이터를 보고도 예상할 수 있듯이, 두 학생은 fraction의 개념이 형성되어 있지 않기 때문에 1/2로 나누든, 1/3로 나누든 답하는 방법에는 변함이 없다.

또한, S1은 <하나>의 사과라는 개념을 오렌지, 복숭아 다른 과일들과 같이 동그랗고 조각으로 나누어지지 않은 온전한 하나의 물체라고 이해하고 있다. 눈에 보이는 개수(2개 또는 3개)에 집착하지 않으며, 하나의 온전한 사과(whole apple)가 한 개(one) 있기 때문에 한 개라고 답하고 있는 것이다. 그러므로 S1은 Generalizing 단계에 있다고 할 수 있다.

다른 과일(오렌지, 복숭아)과 비교해 보아도 ‘하나’라는 것은 동그랗고 조각으로 나누어지지 않은 온전한 하나의 물체라고 생각하기 때문에 한 개 반을 보여주어도, 한 개와 삼분의 이를 보여 주어도 S1은 자신의 머릿 속에서 일반화시키고 있는 <하나, 한 개>의 공통적인 특성을 생각하며 여전히 한 개라고 답할 것이다. 남아있는 조각(1/2 또는 1/3)에 대해서는 whole number가 아니기 때문에 숫자로 여기지 않으므로 one whole apple에 대해서만 답하는 것이다.

I think that Ha-ha Smile has a very important point here—IF the child really is ONLY at the stage of naming—and IF the child ONLY has the concept of whole numbers and does not even have an everyday fraction (e.g. “half” or “piece” or “part”)—then the teacher’s main job is to generalize.

Ha-ha Smile also realizes that there are TWO different things to generalize: the idea of “part” or “piece” (e.g. “half”, “third”, “quarter”) and the idea of object (e.g. “apple”, “pear”, “peach”, “persimmon”, etc.)

She ALSO correctly envisages ways of generalizing. Notice that her methods are somewhat MATERIALS INTENSIVE. I think it’s a property of Piagetian style teaching that we have to prepare lots of stuff: apples, pears, peaches, persimmons, and so on. That is because the child is supposed to generalize from everyday experience, and so we find ourselves trying to reproduce everyday experience in the classroom.

Vygotsky actually disagrees. He points out that the development of the scientific concept is quite different. In generalization, we start from WORDS, and DEFINITIONS.

T: Look! Here’s an apple. Now, is this an apple or a half apple? And what about this? Is it bigger than a half or smaller than a half?

You can see that by using EXISTENCE questions (that is, “choice” questions, questions with a single degree of freedom) the teacher is introducing WORDS. These words then have to be DEFINED.

Here’s how Ha-ha defines words:

a) This(the half) is not the whole apple. 

 b)  This has the name by (sic) ‘a fraction’.

 c)  When we cut an apple into two, this(1/2) is one piece of two pieces. (Writing 1/2 on the board)  We can say this <a half> (sic).

There are some problems with this. Let me talk about the GRAMMAR problems first:

a)    T: This half is not a whole. This half apple is not a whole apple. A half of an apple is not a whole apple.

Notice we can say:

A half

A half apple

A half of an apple

But no matter what we say we GENERALIZE by using “a”. Why? Because “a” shows that we are giving an example of a much broader phenomenon.

b)    Remember:

Do you like dragons?

This is a dragon!

The dragon’s name is “K-Dragon”!

The piece’s name is “a fraction”.

The name of the piece is “a fraction”

We call it “a fraction”

It is called “a fraction”.

c)     When we cut an apple into two pieces, we call this a “half”.

Now, is “half” an everyday concept or an academic concept? Suppose want to teach an ACADEMIC concept?

반면, S2는 눈에 보이는 구체적인 사물의 개수에 집착하고 있으므로 Naming 단계라고 할 수 있다. 이는 겉으로 들리는 말로 세고 있지는 않으나, 마음 속으로 ‘하나, 둘...’ 하며 세고 있는 것과 같다. 이는 손가락으로 하나 하나 세어 보는 것보다는 발달된 단계이나, 두 물체를 비교하며 공통점을 찾아 수를 인식하는 단계에 갔다고 판단하기에는 상황에 대한 data가 많이 부족하다. 

Yes—there isn’t much context to go by. But I explained why I put the question that way in my response to Koala (see “Age? Class? Subject?”)

이 때, 교사가 나타낼 수 있는 반응과 올바른 개념 형성을 위해 유도해 나갈 방향에 대해 생각해 보자.

T: How many apples?

S1: One.

S2: Two.

T: Why do you think so?

    Tell me about the reason.

Notice:

a)    Tell me the reason.

b)    Tell me about the reason.

Are they the same? What is the difference?

Consider:

a)    Tell me your job.

b)    Tell me all about your job.

Which one is an “essence” question? Which is an “explanatory” question?

S1: There is one whole apple.

S2: There are two apples, a big apple and a small apple.

It’s a beautiful dream, Ha-ha Smile! But of course part of the reason why we are looking at this problem is that we know that the kids are having BIG problems with articles (“a” and “the”) and we know that these problems MAY be related to their problems with NUMBER.

T: Both of you are right, and wrong.

    S1, you are right. There is one whole apple.

    But what about this?(pointing the half)

Notice that the teacher EXPLICITLY says why the student is RIGHT but only IMPLICITLY says why the student is WRONG. (I must learn to do this!)

S1: ...

T: S2, you are right. There are two apples.

    But can we say they are the same apples? One and(plus) one?

    If so, how about this? (Put the half and the other half)

    Now, is this two or three?

S2: ...

T: This(the half) is not the whole apple. 

   This has the name by ‘a fraction’.

   When we cut an apple into two, this(1/2) is one piece of two pieces. (Writing 1/2 on the board)  We can say this <a half>.

Good. Remember how Vygotsky keeps drawing our attention to the idea that academic concepts begin with verbal definitions.

We know that children often OVERGENERALIZE particular verbs:

I’m Minsu.                                    Can you swim?

I’m a boy.                                     Can you help me?

I’m fine.                                        Can I have some water?

I’m play soccer. (sic)                   We can say (sic) this “a half”.

This overgeneralization may be learned from our curriculum (where “to be” is by far the most common verb, or it may be a reflection of the complexive “noun filled world” in which we teach the children). Or it may be learned from teachers, who tend to use the same verbs again and again. Or it may be a natural part of learning (or even all three at the same time).

It has, of course, many advantages—it allows the child to say a lot with a little. But there are also DISADVANTAGES One big disadvantage is the grammar mistakes we have marked (sic). Another is that generalization prevents children from learning the many different verbs we use to realize a particular communicative function.

Call me Minsu.  Do you know how to swim?

I’m growing up.  Would you mind helping me?

I feel fine.                        May I have some water?

For example, we teach the children to say “How much is it?” “It’s twenty dollars.” This means that the children do not learn words like “price” and “cost”.

Remember that Piaget draws attention to the child’s confusion between the NAME and the NOUN (e.g. the child thinks that the word “moon” is actually part of the moon and cannot be transferred to the sun). Foreign language learning is an important way that this confusion is cleared up in the child’s mind (because the child learns that the moon is the same but the name is different). 

 Cutting an apple into three, this(1/3) is one piece of three pieces. (Writing 1/3 on the board)  We can say this <one third>.  Now, tell me about how many apples.

Good. But remember, “say” is overgeneralized in our midterm data. The teacher uses “say” to mean “call”. I think it’s important to DIFFERENTIATE within communicative functions.

이와 같이, 교사는 학습을 통해 학생(S1, S2)의 발달을 도울 수 있다. 학습과 발달에 대해서는 세 가지의 관점이 존재한다.

첫 번째 관점은 매듭 끊기에 비유되며, 학습은 스스로에게 발달의 산물을 공급하며 생활에서 그 산물을 적용함으로써 사용한다고 보았다. 학습은 발달에 의존하며, 그 발달은 학습의 영향 하에 스스로를 변화시키지 않는다.

발달은 어떤 주기를 완성해야 하며, 정해진 단계에 도달해야 한다. 그래야 학습이 가능해진다. 즉, 새로운 학습은 반드시 어린이 발달의 어떤 주기를 완성하고 나서야 가능한 것이다.

위의 데이터에서 보듯, 아이들이 분수(fraction)의 개념을 이해할 수 있을 만큼 발달하기 전에 한 개 반의 사과를 놓고 몇 개냐고 묻는 학습은 무의미하다는 것이다.

두 번째 관점은 매듭 무시하기로 비유되며, 학습과 발달은 혼합되어 하나의 동일한 과정으로 취급된다는 관점이다. 어린이는 배우는 만큼만 발달하며, 발달은 학습이고 학습은 발달이라는 관점이다.

세 번째 관점은 매듭 더 조이기로 비유되며, 처음부터 발달은 이중적 성격을 갖고 있다는 관점이다. 성숙과 같은 발달과 학습과 같은 발달, 이 두 가지 발달을 말한다. 첫 번째와 두 번째 관점처럼 반대되는 관점의 재통합이 가능하기 위해서는 성숙과 발달 사이에 상호 의존성이 있다는 것을 인정해야 한다고 본다. 이 관점에서 교수-학습은 먼저 발달 법칙에 의존하지 않는 변화로 정의되고, 교수-학습 자체가 발달이기도 하다.

An EXCELLENT summary of Section Three of Chapter Six—and very relevant. Bravo, Ha-ha Smile!

비고츠키는 이 세 번째 관점을 토대로 성숙과 학습에서 약간의 구분을 확립하는 동시에 약간의 상호 의존을 확립한다. 발달은 학습과 구별된다. 발달적으로 어린이를 변화시키지 못하는 교수-학습이 있고, 한 걸음의 교수-학습이 백 걸음의 발달로 인도하는 교수-학습이 있다. 교수-학습을 백 걸음의 발달로 인도하는 것이 교사의 몫이다.

Good! Remember that NONE of the three perspectives is really Vygotsky’s perspective: the first is that of Piaget, the second that of Thorndike, and the third that of Koffka.

Vygotsky ENDS Chapter Six with the remark that the word is almost always ready when the concept is ready. But is the concept ready?

It’s not an easy question, because Vygotsky ALSO says that concepts start to develop LONG before they are really ready, and that teaching can help a lot. So…here Ha-ha realizes that the TEACHER has to act to make the concept ready. And here’s what she proposes.

T: Why do you think so? Tell me about the reason. ➜ 사고하도록 유도하는 질문   Tell me why! Tell me the reason!

S2: There are two apples, a big apple and a small apple.  Can REAL children use articles accurately like this?

T: Both of you are right, and wrong.

 S1, you are right. There is one whole apple.

 But what about this? (pointing the half)  ➜ 사고하도록 유도하는 질문

S1: ... one piece...?

T: Of how many? (Showing the other half) ➜ 사고하도록 유도하는 질문

S1: ... one piece...?

S1: Two.

T: S2, you are right. There are two apples.

 But can we say they are the same apples? One and(plus) one? ➜ 사고하도록 유도하는 질문

S2: ...Y...es...

T: If so, how about this? (Put the half and the other half) ➜ 사고를 돕는 새로운 상황 제시

 Now, is this(1+1/2+1/2) two or three?

S2: ...

T: This(the half) is not the whole apple. 

 This has the name by ‘a fraction’.

 When we cut an apple into two, this(1/2) is one piece of two pieces. (Writing 1/2 on the board)  We can say this <a half>. We can call this a “half”.

 Cutting an apple into three, this(1/3) is one piece of three pieces. (Writing 1/3 on the board)  We can say this <one third>. ➜ 새로운 개념 도입을 위한 설명

 Now, tell me about how many apples. ➜ 이해 확인을 위한 질문  Tell me how many apples there are. How many apples are there? Tell me!

Good. Now, suppose we want to teach the SCIENTIFIC concept, the ACADEMIC concept (that is, “one divided by two” or “one divided by three”. How would the teacher do it?

It might be argued that the children should learn the everyday concept FIRST (“half”). This would in fact be the Piagetian argument, and as we’ve seen, there’s a STRONG connection between Piaget and Krashen, or between Piaget and content based teaching (because BOTH of them see teaching as a gradual process of assimilation and accommodation rather than one of explicit, conscious, deliberate instruction and learning).

But Vygotsky rejects this argument. Vygotsky argues that learning does not have to wait for development, and in fact learning can LEAD development. Of course, it’s not true that the child can learn anything at any age. What the child can learn is determined, however, not by what the child does alone, but rather by what the child does in collaboration.

Believe it or not, that is EXACTLY what Ha-ha Smile is going to talk about next!

위의 데이터를 보면, 어린이들은 혼자서는 정확한 답을 찾을 수 없었지만 교사의 사고 유도 질문이나 사고를 돕는 새로운 상황 제시, 또는 설명(굵은 부분) 등으로 인해 문제 해결을 위한 한 단계 높은 사고를 하고 있다.

이와 같이 혼자서 해결할 수 있는 문제를 통해 결정되는 정신 연령 혹은 현재 발달 수준과 어린이가 혼자가 아닌 협력을 통해 얻는 발달 수준의 차이가 바로 근접발달영역을 결정한다. 어린이가 혼자서 할 줄 아는 것으로부터 협력을 통해 할 수 있는 것으로 이동할 수 있는 가능성이 큰가, 작은가 하는 것이 어린이의 발달과 성공의 역동성을 특징짓는 가장 섬세한 지표라고 하였다.

실제적인 발달수준보다 근접발달영역이 어린이들의 지적 발달의 역동성에 더욱 직접적인 의미를 가진다. 어린이는 자신의 지적 잠재력의 영역 내에 있는 것만을 모방할 수 있기 때문이다. 모방은 학습이 발달에 영향을 미치는 주요 형태이며, 이 근접발달영역을 통해 교수-학습이 발달을 위해 가지는 중요성을 발견할 수 있다. 또한, 학습의 가능성은 어린이의 근접발달영역에 따라 결정되므로 근접발달영역에 대한 이해는 중요하다.

Good! Now, here’s a problem.

One the one hand, Vygotsky really feels that in ELEMENTARY school, the “zone of proximal development” is the gap between the everyday concept on the one hand, and the more conscious, deliberate, analyzed academic concept on the other. That suggests that we should be teaching “one divided by two” and not “one half”.

On the other hand, Vygotsky ALSO feels that foreign language learning is a kind of academic concept learning. Even though foreign language concepts are everyday concepts for native speakers, they are NOT everyday concepts for our learners, because they learn them through verbal definitions and through systems of grammar and vocabulary and through conscious effort in controlled environments (i.e. classrooms).

What should the teacher do? Should the teacher teach “one divided by two” or “one half”? Why?

데이터에서 보면, S2보다 S1이 근접발달영역이 더 넓고 크다고 할 수 있다. 이는 즉 교사의 도움을 통해 S2보다 S1이 보다 쉽게 다음 단계로 발달할 가능성을 지녔다는 의미이다.

Ha-ha Smile goes for S2! Now, the problem is that there isn’t much data to support Ha-ha Smile. The data just looks like BOTH the children know whole numbers and NEITHER child knows mixed numbers or fractions.

So Ha-ha looks like she’s just playing favorites. Maybe S2 is cuter than S1!

I think there are TWO ways she can make her argument.

a)    She could argue that the child doesn’t really MEAN “Two”—instead the child is trying to say “more than one” or perhaps “one divided by two” or even “one twoth” (sic). There isn’t much in the data that suggests this.

b)    She could ADD to the data by showing how the teacher:

1.    Asks a LEADING question

2.    Begins the solution of the problem and lets the children finish

3.    Demonstrates the solution of one problem and asks the children to do another.

Under these circumstances, it MAY happen that S2 does better than S1 (after all we know that Ha-ha likes S2, and that S2 is very cute!). In that case we can say that Ha-ha Smile is absolutely right, and that these two children are NOT at the same level of development.

6-4-35] 어린이의 실제적 발달 수준을 판별하고자 할 때, 우리는 독립적 해결을 요하는 과제를 이용한다. 이런 과제들은 이미 형성되고 성숙된 기능들의 지표들로 활용된다. 그러나 우리는 새로운 방법을 탐색하고자 한다. 가정컨데, 우리가 두 어린이의 정신 연령을 측정하여 그 결과 이들이 모두 8세 수준이라는 결과를 얻었다고 하자. 우리가 여기서 멈추지 않고 이 어린이들이 혼자서 해결할 수 없는 다음 단계 수준의 과제를 제시하고 이들에게 시범을 보임으로써 도움을 제공하고, 올바른 해결의 길로 인도하는 질문을 제시하며, 해결책의 첫 부분을 알려주는 등등으로 이들이 문제를 어떻게 해결하는지 보려 할 때, 그 결과 이러한 도움과 협동, 지시를 통해 한 어린이는 12세 수준의 문제를 해결하지만 다른 어린이는 9세 수준의 문제만을 해결한다고 가정해 보자.

두 번째로 가정해 볼 수 있는 상황은 지금 이 수업은 분수를 막 배우기 시작하는 4학년을 대상으로 영어로 듣고 영어로 말하는 영어수업시간이다.

만약 이 두 아이가 영어 수업 중에 이런 질문을 받았다면? 이 두 어린이는 분수라는 개념을 알고 사과 1개 반을 분수로 표현하여 답해야 하는 것은 알지만 half 라는 표현을 배운 적이 없다. 그래서 S1, S2 모두 One and an half 라는 답변 대신 One 또는 Two 라는 답을 선택하였다. 어린이는 자신이 생각하고 있는 것을 외국어로 다 표현하지 못한다. 그 이유를 생각해 보자.

어린이는 모국어를 배우는 것과는 완전히 다른 방식으로 학교에서 외국어를 배운다. 모국어는 알파벳 공부, 읽기, 쓰기, 의식적이고 의도적인 구 형성, 단어 정의, 문법 학습 같은 것부터 학습을 시작하지 않는다. 하지만 외국어의 경우는 그런 것들부터 학습을 시작한다.

모국어는 아래로부터 위로, 외국어는 위로부터 아래로 발달한다고 한 것이 이러한 이유에서이다. 모국어는 문법적인 형태를 완벽하게 사용하고 있지만 의식적인 파악을 하고 있지는 않다. 하지만 외국어의 경우 처음부터 어형 변화나 문법 변형에 대해서도 의식적 파악을 하고 있다.

다시 말해, 모국어는 말의 자유롭고 자연발생적인 사용으로 시작되며 그 언어적 형태에 대한 의식적 파악과 숙달로 끝난다면 외국어는 언어에 대한 의식적 파악과 의지적 사용으로 시작하여 자유롭고 자연발생적인 언어로 그 발달을 완성하는 식으로 발달한다. 이 두 발달의 과정들은 반대의 방향으로 움직이는 것이다. 이는 과학적 개념과 자연발생적 개념의 발달에서 보이는 동향과 유사하다.

이러한 이유에서 어린이들이 모국어로 자유롭고 자연발생적으로 사고하는 것과 외국어로 발화하는 것은 같을 수가 없다. 외국어로 발화할 때는 의식적이고 의도적인 사용이 되기 때문이다.    

An excellent, perceptive (and even EXHAUSTIVE) summary, Ha-ha Smile! She lays out almost perfectly the important THEORETICAL distinctions between learning something in a native language and learning something in a foreign language.

It seems to be a curious fact, that when we teach concepts in a FOREIGN language they are almost automatically extended to the native language. Children seem to have no trouble re-expressing an idea from a foreign language to their own language.

But the opposite is NOT true. When we teach a concept in the native language, the child can find it VERY difficult to put it in the foreign language.

Now, there’s really only ONE thing left to do.

Come back to the DATA—specifically, do you think the teacher should begin with a DEFINITION or begin with an EXPERIENCE?

Should the teacher teach “half” or “one divided by two”?