[공업수학] 임의의 치환을 적당한 호환의 곱으로 나타내기

[질문 - "정재호" 님] 치환A를 호환의 곱으로 분해하면 A(1 2 3 4) (1 4)(1 3)(1 2) (1 3)(1 4)(3 4)(2 3)(1 3) 이렇게 되는 과정이 이해가 안됩니다...............답변 부탁드려요 ㅠㅠ [답글 - "Pioneer" 님] <님이하신질문> 치환A를 호환의 곱으로 분해하면 A(1 2 3 4) (1 4)(1 3)(1 2) (1 3)(1 4)(3 4)(2 3)(1 3) 이게 이해가 잘 안되요??? ----------------------------------------------------------------- 호환이란? ; 특별히 2항순환치환을 호환이라고 합니다. 나중에 현대대수를 배운다면 또 배우겠지만 선대에서 꼭 원리까지 중요한건 아닌데.. 암튼 (1 2 3 4)는 4항 순환치환이라고 합니다. r항순환치환이면 r-1개의 호환의 곱으로 나타낼 수 있죠. ===================================(정리임-증명생략) 아무튼 이런 건 원을 하나 그리고 1,2,3,4를 써 보세요.(물론 시계방향으로 쓰세요.) 그러면 1이나오면 2로가고 2가나오면 3으로 가고 3이나오면 4로가죠. 4가나오면 1이된다고 생각하세요. 그러한 성질을 가지고 있거든요.-그래야 순환이 되죠. (1 2)를 봅시다. 1,2이외의 수는 치환이 안일어난다는 뜻입니다. 즉 3은 3으로 4는 4가 된다. 그냥 치환없다는 소리이죠. (1 4)(1 3)(1 2)을 봅시다. 2항순환치환이 3개입니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 계산됩니다. (1 2)부분을 보면 1은 2로 치환 2는 1로 치환하라는 2항순환치환이죠. 즉, 1이나오면 2가 되고 2가 나오면 1이 되고.. 이것이 (1 2 3 4)와 같습니다. 뭔소리냐고요? (1 2 3 4)를 계산하면 다음 처럼 치환되죠? 1==>2 2==>3 3==>4 4==>1 (1 4)(1 3)(1 2)은 어떻게 될까요? 1==>2 그러면 (1 4)(1 3)에 의해서 2를 보내야 하는데 보낼 수가 없죠. 이럴 경우는 치환이 안 일어난다는 소리입니다. 따라서 2==>2로 갑니다. 즉, (1 4)(1 3)(1 2)에서 1==>2로 나와야 된다는 결론 2를 보내볼까요?(즉,2의 치환값을 알아본다는 소리임) 2==>1 이제 나머지 (1 4)(1 3)에 의해서 1==>3 어! 나머지 (1 4)인데 3이 없네. 음! 3은 이제 치환이 그만 일어나는군 따라서 2==>3으로 가고 끝(즉, 2==>3으로 치환됨) 마찬가지로 4는 1로 가죠. 결론적으로 1==>2 2==>1==>3(즉, 2는 3으로 최종도달함 다시말해서 2는 3으로 치환됨) 3==>3==>1==>4(즉, 3은 4에 최종도달 다시말해서 3은 4로 취환됨) 4==>4==>4==>1(즉. 4는 1에 최종도달 다시말해서 4는 1로 취환됨) 따라서 (1 2 3 4)=(1 4)(1 3)(1 2) 아~~~넘 길어진다. (1 2 3 4)=(1 3)(1 4)(3 4)(2 3)(1 3)도 같은 방법으로 보여질 수 있죠.(해보진 않았지만) 참고로 좀 더 설명하자면 10항순환치환을 2항*3항*6항 이렇게 순환치환의 곱으로 묶었다면 이것을 표준분해한다고 합니다. 님이 물어본게 4항순환치환을 2항순환치환(호환)으로 표준분해한 것입니다. 참고로 2항순환치환을 특별히 호환이라고 말합니다. 이러한 표준분해하는 방법은 여러가지가 있지만 기본적인 공식으로는 (1 2 3 4 ... n)=(1 n)(1 n-1)(1 n-2)...(1 3)(1 2) 입니다. 그럼 공부열심히 하시고 넘 길게 썼다고 읽다가 포기하면 어떻하남???? 나도 나름대로 노력했는데~~~~여까지 안 읽었으면 말고~~아햏햏~~