종이컵의 모양이 원뿔대인 이유!..가 뭔지 모르겠네요.

[Frene_M]

종이컵이 원뿔대인 이유

먼저 원뿔대란? 원뿔을 밑면에 평행인 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중 원뿔의 꼭지점을 포함하지 않는 쪽의 것과

잘린 면으로 이루어지는 도형을 말합니다.

그림으로는 아래와 같습니다.

원뿔대를 거꾸로 하면 종이컵 모양이 됩니다.

수학적으로 원뿔대를 분석해 보면

원뿔대의 그림이 위와 같은 그림이라면 종이컵의 겉넓이는 아래식과 같게 됩니다. (아랫면만 더하면)

 

그리고 종이컵에 들어가는 부피는 다음과 같게 됩니다.

 

(이공식의 증명은 삼각형의 닮음비를 이용하면 되겠습니다~ 증명검색해보세용)

일반적으로, 원뿔대와 원기둥의 부피가 같다면

겉넓이는 원뿔대가 원기둥보다 더 넓어 집니다.

그러므로 경제적인 관점으로 봤을때는 같은 부피를 담을때

원기둥 모양의 종이컵을 만들때 만드는 재료가 더 적게 들어가기 때문에

원뿔대 모양의 종이컵보다 원기둥 모양의 종이컵이 더 경제적이라 할 수 있습니다.

(그래서 음료수 캔은 원기둥 모양이 경제적이죠)

이를 수학적으로 분석 제시를 한다면,

원뿔대의 겉넓이와 원기둥의 겉넓이를 비교하면 될 거 같습니다.

원뿔대와 원기둥은 회전체이기 때문에 단면을 비교해 보면 좋을것 같습니다.

이 두 회전체의 부피가 같고 높이가 같다고 가정합니다.

그러면 두 단면의 넓이는 같다고 생각 할수 있습니다.

그리고 넓이를 비교해 보는 겁니다.

(여기에서 r<k<R)

원뿔대의 단면인 사다리꼴의 넓이는

 

원기둥의 단면인 직사각형의 넓이는 

넓이가 같다고 하면

그리고 사다리꼴의 옆선과 직사각형의 옆선(높이)를 비교하면

 

넓이의 비는 길이의 제곱의 비와 같으므로 위 사실로 부터

이므로 원뿔대의 두원의 넓이의 합이 원기둥의 두원의 넓이보다 크게 되고

왜냐하면

원뿔대의 두 원의 넓이의 합은

원기둥의 두 원의 넓이의 합은

이므로

이 되기 때문이지요.

옆넓이의 넓이도 옆선의 길이가 길므로 원뿔대의 옆넓이가 커지게 됩니다.

왜냐하면 원뿔대의 옆넓이와 원기둥의 옆넓이를 비교하면

 원뿔대의 옆넓이는 아래와 같고

 원기둥의 옆넓이는 아래와 같습니다.

따라서 l이 h보다 크므로 옆넓이가 커지게 될테죠..

그러나 종이컵을 원뿔대로 만드는 이유는 실용성 때문이라 할 수 있죠. 종이컵이 원뿔대 모양이라 위에서 아래로 공간이 없이

겹치게 쌓을 수 있기 때문에 공간활용에 좋기 때문이죠 만일 종이컵이 원기둥 모양이라면 위에서 아래로 쌓을때 겹쳐지지

않아서 공간이 많이 생기겠지요..

실생활에서 원뿔대를 이용한 제품은.. 종이컵 말고도..

컵라면 용기의 모양도 원뿔대라고 할 수 있겠죠..

도움이 되셨나요..

저 나름대로 풀어본거라 제대로 답변했는지 모르겠네요 ~