제102회 12월21일 지구는 둥글지 않다

[김동지]

  말을 잘해야 한다. 언어는 전제와 진술의 대칭인데 일상의 대화는 상대방이 전제를 치면 내가 진술하는 형태가 된다. 상대방의 주장을 반박하는 형태가 된다. 이겨먹으려고 하게 된다. 그러므로 낚인다. 무의식에 지배되고 호르몬에 지배되고 본능에 지배된다. 보이지 않는 대본에 따라 연기하는 형태가 된다. 야구선수 송성문이 그러하다. 야구를 항 생각을 하지 않고 투수와의 대결에 이겨먹으려고 하므로 삼진을 안당하려고 무리한 스윙을 한다. 삼진을 먹으면 졌다고 생각하는 것이다. 삼진을 먹으면 타자가 진게 아니고 상대가 잘 던진 것이다. 타자는 투스의 실투만 치면 된다.

  소설의 작가는 상대방과 대화하지 않는다. 작가 혼자 전제와 진술을 동시에 구사해야 한다. 그것이 메커니즘어다. 메커니즘어를 사용해야 에너지의 방향성이 보인다. 메커니즘어는 내부에 에너지의 입력과 출력이 있고 내부에 대칭과 축이 있다. 깔때기 구조가 있다. 함수가 있다. 비로소 패턴을 복제할 수 있다. 어떤게 입력되든 내가 원하는 출력을 만들어낸다. 

  하수 - 강한 것은 이기고 약한 것은 진다.

  고수 - 약한 것이 나오면 일부러 져주어서 유인하고 내가 반드시 이겨야 하는 지점에서 이긴다.

  1. 방정식 - 저울은 강약을 판정한다. 큰 것은 거르고 작은 것은 통과시킨다.

  2. 전술의 함수 - 선별기는 종류대로 판정한다. 큰 것은 A, 중간 것은 B, 작은 것은 C로 분류한다.

  3. 전략의 메커니즘 - 큰 것은 바로 통과시키고 작은 것은 모아서 크게 만들어 통과시킨다.

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  과학자는 과학어를 써야 한다. 과학어는 사건의 메커니즘을 반영한 언어다. 에너지의 입력부와 출력부를 구분해서 말해야 한다. ‘라고한다의 법칙’이다. 지구가 둥글다는 표현은 곤란하다. 지구가 인간의 관측에는 둥근 모양으로 보여진다고 말해야 한다. 지구는 둥근 것이 아니고 에너지의 결에 따라 둥글게 보이도록 정렬된 것이다. 숨은 에너지의 질서를 꿰뚫어봐야 한다.

  뭉친 것은 밸런스다. 밸런스는 축이 있다. 축은 대칭에 의해 공유되고, 공유되면 효율적이고, 효율적이면 이긴다. 이기면 멈춘다. 이긴 타자의 방망이는 멈추고 진 투수의 공은 날아가서 홈런이 된다. 이긴 선수는 그 자리에 서 있고 진 선수는 링 바닥에 드러눕는다. 이긴 활은 멈추고 진 화살은 계속 날아간다. 이긴다는 것은 밸런스의 축을 차지하여 의사결정권을 쥐는 것이다.

  존재는 밸런스의 복원력이다. 우주 안의 모든 것은 밸런스의 복원을 향해 움직인다. 거기서 능동과 수동이다. 이긴 것은 능동이 되고 진 것은 수동으로 밀린다. 무한동력은 쉽게 논파된다. 에너지는 밸런스의 복원력에 따라 멈추는 힘이다. 우리는 사건의 결과측을 주목하므로 에너지가 무에서 유를 창조하는듯이 움직여 보이지만 그럴 리가 없잖아. 에너지는 밸런스로 멈춘다. 

  햇볕은 움직인다. 햇볕의 운동은 곡식의 낟알에서 멈춘다. 가솔린은 폭발한다. 동력은 바퀴로 전달되어 최후에 지면과의 마찰열로 멈춘다. 에너지라는 것은 원래 움직이고 있는 것이 인간을 이롭게 하는 특별한 지점에서 멈추는 것이다. 영구기관이 불성립인 이유는 에너지가 멈추는 것이기 때문이다. 영구기관은 멈추지 않는다는 것이고 그러므로 에너지를 사용할 수 없다.

  우리는 움직임의 멈춤을 이용해서 이득을 얻는다. 우주의 만물은 움직인다. 움직이는 이유는 원래 움직이고 있었기 때문이다. 빅뱅 시절부터 한 순간도 멈추지 않았다. 우주 안에 완전히 멈춘 것은 아무 것도 없다. 파동의 간섭에 의해 짝을 지어 나란히 움직이는 것이 상대적으로 멈춘 것처럼 보일 뿐이다. 에너지는 어떤 지점에서 나란해진다. 동력은 상대적인 멈춤을 쓴다.

  나란해지려면 잘게 쪼개야 한다. 작아지면 숫자가 증가한다. 엔트로피 증가의 법칙이다. 우주 안의 모든 것은 파동이다. 파동은 영원하며 멈추지 않는다. 파동은 생성도 없고 소멸도 없다. 단 파동의 간섭에 따른 나란함과 어긋남이 있을 뿐이다. 결맞음과 결어긋남이 있을 뿐이다. 갇힌 파동은 팽이의 세차운동이다. 세차운동이 그리는 큰 원이 음전자라면 작은 원이 양성자다.

  큰 원은 파동이고 작은 원은 입자다. 우주 안의 모든 것은 파동의 간섭으로 전부 설명된다. 파동은 긴 실과 같다. 실이 꼬여서 매듭이 만들어진 것이 우리가 아는 입자다. 매듭이 풀리면 본래의 실로 돌아간다. 우리는 거기에 무엇이 있거나 없다고 믿지만 단지 파동이라는 실이 꼬이거나 풀릴 뿐 생겨나지 않고 사라지지도 않는다. 있다고 있는게 아니고 없다고 없는게 아니다.

  있는 것은 드러난 것이요 없는 것은 감추어진 것이다. 있는 것은 꼬인 것이요 없는 것은 풀린 것이다. 있는 것은 나란한 것이요 없는 것은 어긋난 것이다. 존재는 곧 사건이며 사건은 원인과 결과의 의사결정 메커니즘이 있다. 원인이 결과를 쏜다. 원인이 결과를 이긴다. 그러나 우리의 언어는 결과중심적 언어다. 관측자 기준의 언어다. 원인측 부분이 숨은 전제로 잠복된다.

  화살이 과녁에 꽂혔다면 그 전에 누가 활을 쐈다는 의미가 된다. 누가 활을 쏴서 날아온 화살이 과녁에 꽂혔다고 말해야 한다. 그냥 그런 것은 없고 반드시 조건이 있다. 보통 전제는 숨겨져 있다. 전제와 진술의 대칭구조가 하나의 언어가 되는 것이다. 우리가 일상적으로 잘못된 언어를 사용하는 이유는 문답과 말하기를 혼동하기 때문이다. 문답은 전제가 상대방에게 있다. 

  질문과 대답을 합쳐야 하나의 말하기가 된다. 전제를 말하기 귀찮아서 핵심을 상대방에게 떠넘긴다. 전제가 이기고 진술이 지므로 패배의 언어다. 모든 사고가 패배지향적 사고로 굳어진다. 이런 식으로 국어가 안 되는 윤석열들은 대화상대로 끼워주지 말아야 한다. 덜 떨어진 애들은 공통점이 있다. 언어에서 쉽게 드러난다. 전제를 상대방에게 떠넘겨 윽박지르듯이 말한다.

  사또가 백성을 잡아다놓고 '이실직고 하렸다' 하고 압박하면 백성이 범인이라는 전제가 숨어 있다. 이건 넘겨짚기 기술이다. 용의자는 사또가 사건의 전말을 다 알고 있다고 착각하여 술술 불고 만다. 이런 얕은 수법이 통하는 것은 용의자가 배우지 못한 사람이기 때문이다. 그런데 배워서 알만한 사람들이 말하기에 이 따위로 잔기술을 쓴다면? 상종할 가치가 없는 쓰레기다.

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  인간의 모든 오류는 궁극적으로는 언어의 문제로 환원된다. 초딩 3학년때부터의 오래된 생각이다. 거창한 논리 필요없고 직관적으로 안다. 그냥 느끼잖아. 못 느낀다고? 그런 사람은 안테나가 고장난 사람이니 대화상대로 쳐줄 이유가 없다. 눈이 보이지 않는 사람과 색을 논하지 않고 듣지 못하는 사람과 음을 논하지 않는다.

  지구가 둥글다는 말은 잘못되었다. 표현이 과학적이지 않다. 지구는 밸런스다. 밸런스는 축이 있다. 대칭은 축을 공유한다. 축을 공유하면 효율적이다. 효율적이면 이긴다. 이기면 멈춘다. 지구의 형태는 둥근 것이 아니라 변화를 멈춘 안정된 형태인 것이다. 행성이 둥글지 않으면 안정되지 않고 외력의 영향에 취약해진다. 

  그런 물체들은 항성에 빨려들어가서 흡수되고 없다. 그것은 진 것이다. 진 것은 사라지고 이긴 것만 남아 있다. 지구가 둥글다고 말하므로 사실은 지구가 납작하다고 반격이 들어온다. 무엇인가? 둥글다는 말은 인간의 관측을 근거로 하는 말이다. 내부의 자체질서가 아니라 인간의 관측을 들이대므로 반격당하는 것이다. 

  둥글다는 말 자체가 잘못된 레토릭이다. 반격당하기 딱 좋은 말이다. 관측은 주장의 근거가 될 수 없다. 내부의 자체 질서가 근거가 되어야 한다. 예컨대 영구기관이 안된다고 말하면 사람들이 받아들이지 않는다. 해봤더니 안되더라고? 그럼 내가 한번 해볼께. 즉 원인측이 아닌 결과측을 끌어대므로 받아들이지 않는 것이다.

  에너지라는 말을 잘 정의해야 한다. 닫힌계 안에서 일어나는 자발적 변화는 의사결정에 소비되는 비용의 조달이 가능한 범위 안에서 결정된다. 내부모순에 의한 변화는 내부의 밸런스가 안정되는 일방향으로 일어난다는 말이다. 모든 변화는 언밸런스에서 밸런스로 돌아가는 것이며 바로 그것이 에너지라고 정의해야 한다. 

  자발적 변화는 불안정에서 안정으로의 변화이며 그것이 에너지이며 에너지는 안정되어 멈추게 되어 있으므로 영구기관은 없는 것이며 그 이유는 에너지에 멈춘다는 뜻이 들어 있기 때문이다. 쉽게 말하면 우리가 보는 변화는 멈추는 과정이며 에너지는 멈추는 것이며 멈추는 이유는 멈추는 것을 에너지라고 했기 때문이다.

  착각 - 에너지는 움직임을 발생시킨다.

  진실 - 에너지는 멈추는 과정이며 이왕이면 인간을 이롭게 하는 지점에서 멈추게 하여 이득을 챙긴다. 

  물은 흐르다가 반드시 멈추지만 내 논에서 멈추면 곡식이 자라게 돕는다. 에너지 - 밸런스의 원리에 의한 자발적 변화의 멈춤이라고 딱 정의해야 한다. 인간의 언밸런스와 자연의 언밸런스가 상쇄간섭을 일으켜 멈추게 하여 이득보는게 에너지다.    

  인간의 언어가 잘못했다. 멈추는 것이 아니라 반대로 움직이는 것이 에너지라고 착각하므로 영구기관이 가능하다는 망상을 하게 된다. 멈추는 것이 에너지이므로 에너지는 멈출 수 밖에 없다. 아 쉬바! 졸라 쉽잖아. 말을 헷갈리게 하지 않으면 다 쉽다. 과학자들이 어휘력이 부족해서 괜히 말을 어렵게 해서 헷갈리게 된다.

  파동과 입자라는 말 때문에 상대성이론이 헷갈린 것이다. 열린 파동과 갇힌 파동이 있을 뿐이다. 고리에 갇힌 파동의 고리 사이즈를 줄이면 입자다. 쉽게 말하면 세차운동이다. 세차운동은 원을 그린다. 그 원이 졸라리 작으면 그게 입자다. 입자는 파동의 한 가지 형태인데 마치 파동이 아닌 것처럼 말해서 존나게 헤맨 것이다.

  쌍둥이 소수도 이름을 잘못 붙여서 헷갈린 것이 아닌가 싶다. 쌍둥이 소수가 11과 13이라면 그 가운데 숫자는 3의 4곱이다. 쌍둥이 소수가 아니고 3의 n곱의 앞뒤 숫자인 것이다. 이름이 이상하다. 쌍둥이 소수가 생기는 이유는 3 다음의 숫자가 4이기 문이다. 쌍둥이 소수는 가운데가 4이거나 앞이 4인 3의 n곱 앞뒤 숫자다.

  말을 쉽게 하면 이해되는데 말을 어렵게 하므로 이해가 안 되는 것이다. 3의 n곱은 무한이다. 그러므로 3의 N곱의 앞뒤 홀수도 무한이다. 그 무한 중에 가운데나 앞 숫자가 4의 곱인 숫자도 무한이다. 증명 끝. 얼마나 쉽냐. 결론적으로 수학자들은 직관적으로 답을 알지만 언어적 표현력의 문제로 증명을 못한다는 추측이다.

  무슨 주장을 할 때 반드시 메커니즘에 태워 주장하는 훈련을 해야 한다. 원인측을 말해야지 결과측을 말하면 안 된다. 원인은 둘의 대칭을 통일하는 에너지 공급자가 메커니즘으로 있다. 관측은 결과다. 본 것을 말하면 피곤하다. 쌍둥이 소수는 눈으로 본 것을 말한다. 그게 왜 쌍둥이냐? 쌍둥이로 보이는 것은 2 때문이다.

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 소수의 정의.. 기하적 관점.. 한쪽 변이 2 이상인 사각형의 면적으로 나타낼 수 있는 수.

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  틀린 관점 - 쌍둥이 소수

  바른 관점 - 3의 n곱의 앞뒤 숫자 중에 4의 n곱이 앞숫자 앞이거나 가운데 숫자인 소수.

  증명 - 3의 n곱>4의 n곱이 앞숫자 앞이거나 가운데 숫자.(3의 n곱은 무한하고 쌍둥이 소수를 만드는 조건은 어떤 3의 n곱 숫자에 대해서 유한하다.) 3의 곱은 절대성이고 조건은 상대성이며 절대성(전제)은 상대성(진술)보다 크다. 모든 사과는 어떤 사과보다 크다. 무규칙은 유규칙보다 크다. 집합은 원소보다 크다. 무한은 유한보다 크다. 소수의 조건이 3n의 부분집합이다. 쌍둥이 소수는 다른 소수와 다른 특이성이 없으므로 무한히 많다.

  3의 배수의 바로 앞과 뒤에 오는 홀수이면서 어떤 소수의 배수가 아닌 숫자는 모두 쌍둥이 소수다. 소수는 무한하고 후보가 되는 어떤 수보다 작은 어떤 소수의 배수는 유한하므로 쌍둥이 소수는 무한하다. 

  과학자는 모든 주장을 메커니즘에 태워 말하는 훈련을 해야 한다. 하나, 둘, 셋 하는 주먹구구와 숫자는 다르다. 수학자는 숫자를 쓰고 과학자는 과학어를 써야 한다. 과학어는 메커니즘어다. 바람이 분다는 말은 과학어가 아니다. 전제와 진술의 대칭 형태로 에너지의 입력부과 출력부와 일방향성이 드러나야 과학어가 된다. 

  말이 달라야 한다. 언어는 강력한 도구다. 도구가 달라야 자격이 있다. 그런데 과학자들이 과학어를 쓰지 않는 황당함이라니 과학자의 자격이 없다. 수학도 그냥 수라고 하면 안 되고 변화의 측정방식이라고 말해야 한다. 무한이라는 말도 인간을 자살하게 만드는 잘못된 언어다. 변화의 진행형 수라고 말해야 그럴듯하다.

  모든 수는 자다. 고정된 것을 재느냐, 변화를 재느냐, 현재 진행중인 변화를 재느냐의 차이 뿐이다.  

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옛날 사람이 다 검토했겠지만 재미가 있다. 이런 것은 그냥 직관적으로 알 수 있는데 혹시 수학자들이 레토릭이 안되어, 즉 뻔히 아는 것을 말빨이 딸려서 표현을 못하고 있는게 아닌가 싶어서 써본다. 이거 연구해볼만 한다. 

  소수prime number라는 이름의 명명이 잘못된게 아닐까? 왜 1의 배수라고 하지 않을까? 간단히 소수는 1의 배수 외에 배수가 아닌 수다. multiple에 1배가 포함되지 않아서 헷갈렸을 수 있다. 우리말은 한 배가 있다.    

  소수.. 1의 배수 중에 다른 어떤 수의 배수가 아닌 수.(배multiple라는 말에는 둘 이상이라는 뜻이 있으므로 1배는 제외한다.)

  1. 소수는 2 이상 어떤 수의 배수를 제외한 1의 배수다. 
  2. 소수는 1의 배수 중에서 소수의 배수를 제외한 수다.

  모든 수는 1의 배수다. 자연수는 1배를 포함한 1의 배수다. 거기서 2의 배수, 3의 배수 등 어떤 수의 배수를 제외한 나머지 1의 배수가 소수다. 즉 소수는 간단히 1의 배수로 볼 수 있다. 추가설명이 필요하지만 투박하게 보면 소수는 1의 배수다. 

  1은 1의 1배이므로 인정되지 않는다. 1배는 배수multiple가 아니다. 2는 1의 2배이므로 소수다. 3은 1의 3배이므로 소수다. 4는 2의 2배수이므로 배제된다. 5는 1의 5배이므로 소수다. 6은 2의 3배이므로 배제된다. 7은 1의 7배이므로 소수다.

  숫자가 클수록 합성수가 많아지고 소수가 드물게 등장하지만 동시에 에라토스테네스의 체에 추가되는 눈금도 같이 드물어지므로 여기에 일정한 비례가 있고 검증하는 소수는 배수를 넘을 수 없어(후보의 절반) 절대 후보를 따라잡을 수 없으므로 소수는 무한하고 따라서 쌍둥이 소수도 무한하다. 

  이 과정을 반복하면 2의 배수이면서 동시에 3의 배수가 되는 식으로 배수가 겹치는 수가 모두 제거되고 소수만 남는다. 그러므로 그냥 소수의 배수만 제거하면 된다. 소수는 1의 배수 중에 소수의 배수를 제거하고 남은 수다. 소수는 1 외에 다른 수의 배수가 아닌 1의 배수다.

  자연수는 다음과 같이 정리된다.

  a. 1의 배수는 소수다. 2는 1의 2배, 3은 1의 3배. 5는 1의 5배, 7은 1의 7배..계속된다. 

  b. 2(짝수) 곱하기 3(홀수)은 추려지며 그 앞뒤에 오는 홀수는 소수의 배수가 아니면 소수다. 6, 12, 18, 24, 30의 앞뒤에 오는 홀수(2의 배수이면서 동시에 3의 배수인 수에 붙은 수)

  c. 3(홀수) 곱하기 홀수. 9, 15, 21, 27, 33(홀수 곱하기 홀수는 홀수이므로 그 앞뒤는 짝수이고 이때 세 칸이 연속으로 추려진다.)

  d. 3의 배수까지 제거했을 때 쌍둥이 숫자만 에라토스테네스의 체에 소수 후보군으로 남는다.

  e. 모든 소수 후보는 쌍둥이 숫자이며 거기서 소수의 배수가 추려진다.

  왜 3까지 가는가 하면 1의 배수는 소수 후보가 되는 자원 곧 자연수이고 거기서 짝수 2와 홀수 3이 쌍둥이를 결정하기 때문이다. 4 이상 숫자는 짝수냐 홀수냐를 결정하지 않는다. 오로지 2와 3이 결정한다.

  모든 쌍둥이 소수는 3의 배수에 앞뒤로 붙은 수다. 3의 배수가 짝수이면 그 앞뒤로 붙은 홀수가 쌍둥이다. 그 이상의 수는 이미 홀수와 짝수가 가려졌으므로 해당사항 없다.  

  3의 배수까지 제거했을 때 쌍둥이 숫자만 남는다. 남은 쌍둥이 숫자 중에 5 이상 소수의 배수를 제거하면 남는 숫자가 소수다. 2의 배수를 제거하면 모든 짝수가 제거되고, 3의 배수를 제거하면 쌍둥이 숫자만 남는다. 

  왜 쌍둥이 소수가 있느냐는 물음은 왜 소수 중에 짝수는 없느냐는 질문과 같다. 짝수는 제거했으니까 당연히 없다. 쌍둥이 소수는 홀수 곱하기 홀수가 짝수이고 그 앞뒤가 무조건 홀수이기 때문이다. 

  3의 배수를 제거했을 때 나오는 쌍둥이 숫자 외에 쌍둥이가 아닌 다른 소수 후보는 없다. 쌍둥이 숫자 중에서 5 이상인 소수의 배수를 제거해서 남는 숫자가 최종적으로 소수가 된다.

  그림이 이렇게 되는 이유는 짝수 곱하기 홀수는 항상 짝수가 되고, 홀수 곱하기 홀수는 항상 홀수가 되기 때문이다. 쌍둥이 소수는 짝수(2의 배수) 곱하기 홀수(3의 배수)의 앞뒤에 붙는 숫자다. 대단한게 아니다. 

  이상 알아본 바 쌍둥이 소수는 아무런 특이사항이 없으며 그냥 수다. 단순히 짝수 곱하기 홀수는 짝수, 홀수 곱하기 홀수는 홀수이기 때문에 만들어진 형태다. 

  쌍둥이 소수가 쉽게 없어지지 않고 끝까지 버텨서 소수가 되는 확률이 높듯이 반대로 짝수 곱하기 짝수도 짝수이므로 잘 사라진다. 쌍둥이 소수가 쌍으로 버티듯이 이건 쌍으로 사라진다. 왜 쌍으로 사라지는 수는 묻지 않지?

  끝까지 소수로 살아남는 쌍둥이 소수가 특이하다면 반대로 세줄씩 한꺼번에 사라지는 수도 특이하지 않는가? 사실은 둘 다 특이하지 않다. 마이너스 곱하기 마이너스는 플러스고, 플러스 곱하기 마이너스는 마이너스인 것과 같다. 짝수의 곱은 짝수, 짝곱홀은 짝, 홀홀곱은 홀수다.

  1. 짝짝은 짝이다.

  2. 짝홀은 짝이다. 

  3. 홀홀은 홀이다. 

  이러한 짝홀 비대칭이 어떤 줄은 남아있게 만들고 어떤 줄은 텅 비게 만들기 때문에 그게 쌍둥이로 보여서 호기심을 불러일으킨 것 뿐 아무런 특이사항이 없으므로 나머지는 오로지 확률(소수의 출현 빈도수)이 결정한다. 소수는 무한히 많고 모든 수는 짝수 아니면 홀수이므로 쌍둥이 홀수도 무한히 많다. 짝수 곱하기 홀수가 무한히 많은 것이다. 

  1. 쌍둥이를 만드는 짝수 곱하기 홀수는 무한히 많다.

  2. 어떤 짝수 곱하기 홀수로 얻은 수를 소수가 아니게 만드는 그 숫자보다 작은 숫자인 소수의 배수는 유한하다.

  3. 후보가 되는 자원은 무한하고 특정한 수를 추려내는 에라토스테네스의 체는 유한하므로 쌍둥이 소수는 무한하다.  

  4. 에라토스테네스의 체는 검증되는 후보 숫자보다 절반 이상 작은 소수다.

  5. 소수는 1외의 숫자의 배수가 아니어야 하므로 무조건 후보가 되는 수의 반 이하라야 한다. 

  숫자가 커질수록 소수들 사이의 간격이 멀어지고 소수가 드물게 출현하지만 합성수를 제거하는 것도 역시 소수이므로 소수의 출현 빈도가 드물어지면 에라토스테네스의 체에 추가되는 눈금의 수도 같이 드물어진다. 

  소수의 배수만 제거되므로 추가되는 추가되는 눈금의 크기는 절대 후보 숫자의 반을 넘지 못한다. 소수가 될 후보 숫자의 자원은 무한하고 에라토스테네스의 체의 눈금은 유한하므로 쌍둥이 소수는 무한하다. 

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  이런 것은 옛날사람들이 다 검토했겠지만 왜 사람들이 말을 그 따위로 하느냐 하는 측면에서 관심을 둘 수 있다. 수학자들의 레토릭이 좋지 않다. 짝수는 일단 소수가 아니다. 에라토스테네스의 체로 가장 많이 추려낸다. 그 다음은 3과 4다. 그러므로 3*4=12처럼 3의 4곱이면서 4의 3곱인 수의 앞뒤에 오는 홀수는 소수가 될 확률이 높다.  

  모든 쌍둥이 소수는 3의 배수의 앞뒤에 오는 숫자다. 4의 배수는 3의 배수와 겹치거나 쌍둥이 소수를 앞뒤로 포위한다. 예외는 없다. 3의 배수와 4의 배수가 겹치는 수는 무한히 많으므로 쌍둥이 소수는 무한히 많다. 쌍둥이 소수를 만드는 3의 배수는 무한하고 어떤 3의 배수의 앞뒤 수가 소수인지를 결정하는 조건은 유한하다. 에라토스테네스의 체 크기는 그 체로 걸러야 하는 어떤 특정 자연수에 대해 유한하다말. 이것은 무한의 성질 문제다.

11, 13  3*4(3의 배수는 가운데), 4*3(4의 배수는 가운데..3의 배수와 4의 배수가 겹침.)

17, 19  *6(3의 배수는 가운데), *4 (4의 배수는 앞뒤)

29, 31  *10, *7(앞뒤)  

41, 43  *14, *10(앞뒤)

59, 61  *20, *15(겹침)

71, 73  *24, *18(겹침)

101, 103 *34 *25(앞뒤)

107, 109 *36 *27(겹침)

137, 139 *46 *34(앞뒤)

149, 151 *50 *37 (앞뒤)

179, 181 *60 *45(겹침)

191, 193 *64 *48(겹침) 

197, 199 *66 *49(앞뒤)

227, 229 *76 *57(겹침) 

239, 241 *80 *60(겹침) 

269, 271 *90 *67(앞뒤)

281, 283 *94 *70(앞뒤)

311, 313 *104 *78(겹침)

347, 349 *116 *87(겹침)

419, 421 *140 *105(겹침)

431, 433 *144 *108(겹침)

461, 463 *154 *115(앞뒤)

521, 523 *174 *130(앞뒤)

569, 571 *190 *142(앞뒤)

599, 601 *200 *150(겹침)

617, 619 *206 *154(앞뒤)

641, 643 *214 *160(앞뒤)

821, 823 *274 *205(앞뒤)

827, 829 *276 *207(겹침)

857, 859 *286 *214(앞뒤)

881, 883 *294 *220(앞뒤)

1019, 1021 *340 *255(겹침)

4가 앞뒤에 붙는 쌍둥이 17개, 가운데에서 3과 겹치는 쌍둥이 15개

모든 쌍둥이 소수는 끝자리가 (1,3), (7,9), (9,1)이다.