플라톤이 우주를 정다면체에 대응시킨 까닭

[김동석]

플라톤이 우주를 정다면체에 대응시킨 까닭

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정다면체는 오형제

우리는 주변에서 많은 입체도형을 보고, 사용하면서 살고 있다. 원기둥 모양의 컵에 물을 담아 먹고, 직육면체 모양의 상자에 물건을 넣어 선물하고, 원뿔 모양의 아이스크림 콘을 먹으며, 직육면체 모양의 침대에 누워, 직육면체 모양의 방에서 잠을 잔다.

이와 같은 여러 입체도형은 크게 다면체와 회전체 2종류로 나눌 수 있다. 말 그대로 다면체란 여러 개의 면으로 이루어진 입체도형인데 각종 상자, 건물, 사무용 책상, 피라미드 건축물 등이 다면체에 속한다고 볼 수 있다. 반면 회전체는 한 축을 중심으로 평면도형을 한바퀴 회전시켜 만들 수 있으므로 곡면을 가지고 있으며 각종 그릇들, 원뿔이나 도우넛 모양의 물건, 절이나 신전의 원기둥 등이 여기에 속한다.

다면체 가운데 △각 면이 모두 합동인 정다각형이고 △각 꼭지점에 모인 면의 개수가 같다는 등 2가지의 특별한 조건을 만족하는 다면체를 정다면체라고 한다. 그런데 정다면체는 이 세상에서 딱 5종류뿐이다. 왜 그럴까?

먼저 입체를 만들려면 한 꼭지점에 적어도 3개의 면이 모여야 한다. 많은 정다각형 중 한 꼭지점에 3개 이상의 면을 모을 수 있는 것은 그렇게 많지 않다. 정삼각형의 한 내각이 60°인 것처럼 정사각형 90°, 정오각형 108°, 정육각형 120° 등이므로 곧바로 정삼각형 정사각형 정오각형만이 정다면체의 한 면이 될 수 있다는 것을 알 수 있을 것이다. 정육각형은 한 내각이 120°이기 때문에 3개를 한 꼭지점에 모으면 360°가 돼 평면이 되고 만다. 따라서, 정육각형 이상은 정다면체의 한 면이 될 수 없다.

다음으로 정삼각형, 정사각형, 정오각형으로 각각 정다면체를 만들어보면 <표>와 같다. 이렇게 차근차근 생각해보면 정다면체는 딱 5형제뿐이란 사실을 알 수 있다.

그런데 이런 사실은 이미 그리스 시대 사람들도 알고 있었다고 한다. 정다면체가 5가지 뿐이라는 사실이 몹시 신기했던지 플라톤은 우주를 구성하는 4가지의 원소를 정다면체와 대응시켰다. 흙-정육면체, 불-정사면체, 공기-정팔면체, 물-정이십면체 등 정다면체를 하나씩 대응시켜 정십이면체가 우주를 상징한다고 믿었다고 한다.