라그랑주 역학이 뉴턴역학보다 더 중요한 이유는?

[유토피아]

라그랑주역학(Lagrangian mechanics)은 라그랑주가 고전역학을 새롭게 공식화하여 그의 논문 《해석 역학》을 통해 1788년에 발표한 이론이다.

 라그랑주 역학에서는 라그랑지언(계의 동역학을 나타내는 함수)을 구해 라그랑주 방정식에 넣어 풀어냄으로써 물체의 궤적을 구할 수 있다.

뉴턴역학과는 다음의 3가지 차원에서 차이가 있다.

다루는 물리량의 차이

뉴턴역학에서는 외부에서 물체에 미치는 힘에 중점을 두고 벡터량들을 주로 다루지만,

라그랑주 역학은 물체의 운동에너지와 위치에너지 같은 스칼라량에 중점을 두고 운동을 기술하고 있다.

 벡터량에 비해 다루기 쉬운 스칼라량들을 다루고 있기 때문에, 복잡한 경우에는, 뉴턴 역학에 비해 라그랑주 역학이 더욱 더 유용하게 쓰인다. 뿐만 아니라, 힘으로 기술하기 어려운 장의 개념을 포함하는 물리현상등에도 적용이 가능하게된다.

사용되는 좌표계의 차이

뉴턴 역학의 경우, 벡터량을 주로 다루기 때문에 직교좌표계와 같은 벡터량들을 다루기 쉬운 좌표계에서 운동을 기술한다.

반면에 라그랑주 역학은 일반화좌표계를 사용한다.

이는 물리학에서의 운동의 분석을 더 쉽게 해준다.

예를 들어, 고리에 매달려서 돌아가는 구슬을 생각해 보자.

뉴턴역학에서는 구슬의 움직임을 구하려면 각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘들을 고려하기 위한 복잡한 방정식들을 다뤄야 한다. 하지만 라그랑주 역학에서는 구슬이 고리에 매달린 채로 움직일 수 있는 모든 경로들 중에서 작용을 최소화하는 것을 선택하기만 하면 된다.

각 순간마다 고리가 구슬에 미치는 힘을 고려할 필요가 없기에 방정식의 수가 줄어드는 것이다.

철학적 관점의 차이

뉴턴 역학은 물체에 미치는 힘은 이에 따른 운동을 수반한다고 본다.

즉, 하나의 사건(원인)이 다른 사건(결과)을 일으킨다인과론적인 역학론이다.

하지만, 라그랑주 역학은 운동이 어떤 물리량 작용을 최소로 유지하며 움직인다는 최소작용원리를 따른다고 본다.

이 관점에 따르면 운동은 자연이 가지고 있는 어떤 목적을 달성하기 위한 결과로 간주된다.

따라서, 라그랑주 역학은 ㅁ목적론적인 역학론이라고 할 수 있다.

팽이의 세차운동은 뉴턴역학을 통해서는 분석이 매우까다롭다.

라그랑주역학은 분석이 간단하고 쉽다.

라그랑주 역학의 중요성

라그랑주가 공식화한 형태의 역학은 다양한 분야에 응용된다는 점 뿐만 아니라 물리학의 보다심도깊은

 이해를 가져다주었다는 점에 그 중요성이 있다.

정상작용의 원리와 라그랑주 역학은  뇌터정리와 밀접한 연관이 있으며

이를 통해 물리적 보존량과 계의 연속적 대칭성사이에 관계가 맺어진다.

상대성 이론에서의 라그랑주 역학

해밀턴 역학과는 달리라그랑주 역학은 자연스럽게 상대론적 이론을 다룰 수 있다.

예를 들어, 상대론적 고전장론에서는 라그랑지언 밀도를 마당과 그 기울기의 함수로 정의한다.

이에 따라 정상작용원리를  상대론적 장론 (고전전자기학등)에 자연스럽게 적용할 수 있다.

이는 상대론적 양자장론에서도 그대로 적용할 수 있다.

양자역학에서의 라그랑주 역학

라그랑주는 원래 고전역학을 묘사하는 것만이 목적이었지만, 그가 라그랑주 방정식을 유도하기 위해 도입한 '작용 원리'는 양자역학에도 응용되었다.

양자역학을 경로적분으로 서술하면 자연스럽게 작용과 라그랑지언이  등장한다.

이에 따라 정상작용원리를 경로적분에서 파동함수의 보강간섭에 인한 고전적 근사라고 말할 수 있다.

 또한 라그랑주 역학과 라그랑주역학과 뇌터정리를  이용하면, 물리적 계의 라그랑주 운동방정식의 특정 항들 사이에 교환자를  삽입하여 자연스럽게 양자화할 수가 있다.

-------------------------------

라그랑주 역학의 운동방정식을 라그랑주 방정식(Lagrange's equation)이라고 한다. 자세한 형태는 아래와 같다

보존계의 경우에는

라그랑주 방정식은 다음과 같은 형태를 가지고, 이러한 방정식을 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)이라고 한다.