수열과 급수

[유토피아]

수학에서, 급수(級數, 영어: series, ∑a_n)는 수열의 모든 항을 더한 것이다.

항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, 영어: finite series)와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, 영어: infinite series)로 분류된다.

무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수를 수렴급수와 그렇지 않은 발산 급수로 분류된다.

급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다.

유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.

수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.

정의

수열 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ a n ) n = 0 ∞ {\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }} 에 대한 (무한) 급수 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 는, 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }

급수 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 의 부분합(部分合, 영어: partial sum) ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}} 은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 N a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ + a N {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}

부분합의 수열 ${\displaystyle {<span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}_{}^{}}$ ∑ n = 0 N a n ) N = 0 ∞ {\displaystyle \textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N=0}^{\infty }} 이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. 수렴급수 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 의 합은, 그 부분합의 극한이며, 이 역시 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 로 표기한다. 즉,

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ ∑ n = 0 N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|} 도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다.

 

 

가산 첨수 급수

가산 무한 집합 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}$ {\displaystyle I} 및, 자연수 집합 ${\displaystyle \mathbb{<span\; style="font-size:\; 12pt;">N</span>}}$ {\displaystyle \mathbb {N} } 과 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}$ {\displaystyle I} 사이의 일대일 대응 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ : N → I {\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">a</span>}}$ : I → R {\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} } 에 대한 급수 ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i = ∑ n = 0 ∞ a i n {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{i_{n}}}

다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 의 합이 일대일 대응 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 에 대해서도 절대 수렴하며, ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ {\displaystyle i} 를 취할 수 있다.

임의 첨수 급수

 

임의의 집합(특히 비가산 집합) ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}$ {\displaystyle I} 가 주어졌다고 하자. 모든 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">i</span>}}$ ∈ I {\displaystyle i\in I} 에 대해 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">a</span>}}_{}}$ i ≥ 0 {\displaystyle a_{i}\geq 0} 이라고 가정하자. 급수 ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

i ∈ I a i = sup J ⊂ I , | J | < ∞ ∑ i ∈ J a i ≤ ∞ {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,|J|<\infty }\sum _{i\in J}a_{i}\leq \infty }

이때 집합 ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}^{}}$ ′ = { i ∈ I : a i ≠ 0 } {\displaystyle I'=\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}} 가 비가산 집합이면 ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i = ∞ {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\infty } 이다. 즉 i ∈ I a i < ∞ {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}<\infty } 이라면

${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}^{}}$ ′ = ⋃ n = 0 ∞ { i ∈ I : a i > 1 n } {\displaystyle I'=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}}

이며

{ i ∈ I : a i > 1 n } | < n ∑ i ∈ I a i < ∞ ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle \left|\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}\right|<n\sum _{i\in I}a_{i}<\infty \qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}

이므로, ${\displaystyle {\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">I</span>}}^{}}$ ′ {\displaystyle I'} 이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">a</span>}}$ : I → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]} 에 대한 급수 ${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

${\displaystyle \underset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}$ i ∈ I a i = ∑ i ∈ I ′ a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{i\in I'}a_{i}}

 

 

수렴성

급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.

발산 급수

수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.

예를 들어, 영이 아닌 상수항 급수

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ 1 = 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1=1+1+1+\cdots }

는 발산 급수이다.

또한 다음의 조화급수 역시 발산한다.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 1 ∞ 1 n = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots }

${\displaystyle }$ = 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ⋯ {\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots }

${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">></span>}$ 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ⋯ {\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots }

${\displaystyle }$ = 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 2 ) + ( 1 2 ) + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots }

${\displaystyle }$ = 1 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots }

${\displaystyle }$ = 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots }

${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">\therefore </span><!--\; \therefore \; -->}$ 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + ⋯ > 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots }

또한 이것은 아래의 리만 제타 함수 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\zeta </span><!--\; \zeta \; -->}}$ ( 1 ) {\displaystyle \zeta (1)} 이기도 하다.

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">1</span>}}{}}$ 1 1 + 1 2 1 + 1 3 1 + 1 4 1 + 1 5 1 + 1 6 1 + 1 7 1 + 1 8 1 + ⋯ {\displaystyle {1 \over 1^{1}}+{1 \over 2^{1}}+{1 \over 3^{1}}+{1 \over 4^{1}}+{1 \over 5^{1}}+{1 \over 6^{1}}+{1 \over 7^{1}}+{1 \over 8^{1}}+\cdots }

 

 

조건 수렴

절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 교대급수

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }

는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.

 

 

절대 수렴

급수 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} 에 항별로 절댓값을 취한 급수 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|} 이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 기하급수

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ ( − 1 2 ) n = 1 − 1 2 + 1 4 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }

는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\sum </span><!--\; \sum \; -->}}}$ n = 0 ∞ ( 1 2 ) n = 1 + 1 2 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }

도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.

 

 

수렴 판정법

• (n항판정법) 만약 lim_n→∞ a_n = 0이지 않으면, ∑a_n은 발산한다.
• (비교판정법) 궁극적으로 |a_n| ≤ |b_n|인 경우, ∑b_n이 절대수렴하면 ∑a_n도 절대수렴하며, ∑a_n이 절대수렴하지 않으면 ∑b_n도 절대수렴하지 않는다.
• (비판정법) 만약 궁극적으로 |a_{n + 1}|/|a_n| < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑a_n은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |a_{n + 1}|/|a_n| > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑a_n은 절대수렴하지 않는다.
• (근판정법) 만약 궁극적으로 |a_n|^1/n < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑a_n은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |a_n|^1/n > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑a_n은 절대수렴하지 않는다.
• (적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = a_n(n = 1, 2, ...)이면, ∑a_n과 ∫∞
  1 f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
• (코시 응집판정법) a_n이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑a_n과 ∑2^ka_2^k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
• (교대급수판정법) 만약 a_n이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)ⁿa_n은 수렴한다.
• (디니 판정법)