해석학 특이적분

[만이할수있다]

[a,무한)에서 절대적분가능하면 무한적분가능하다는 정리가
“ [a,b]구간에서 절대적분가능하면 리만적분이 가능하다”가 왜 성립이 안하는지 모르겠습니다..!
증명과정을 보면 리만적분도 성립하는것처럼 보입니다,,ㅠㅠ

[신선물고기]

잘못 서술된 정리입니다.

[만이할수있다]

조금 자세히 설명 부탁드려도 될까요 교수님?

[신선물고기]

반례가 존재합니다.f(x)^2이 적분 가능이라고 하여 f(x)또한 적분 가능이라는 부분을 보장할 수가 없어서 입니다. 곧, 부등식의 좌변이 정의되지 않는 경우가 존재합니다.

[신선물고기]

저 증명에서 f(x)가 리만적분이 가능하다는 것을 전제로 깔고 하고 있습니다.명제를 고쳐야 할 것으로 보입니다.

[만이할수있다]

|f(x)^2| = f(x)^2으로 같은값이라서 정리는 등호가 될것 같은데..
제가 교수님 말씀을 이해못한 것 같아요ㅠ

[신선물고기]

아니고 절댓값을 잘못썼네요. 절댓값이 적분가능이라고 그 함수가 적분가능이 되냐 물으셨죠? 저 증명에서 그렇게 진행했다고. 그런데 그거 틀렸다는 말이에요. 보장이 안 되어요. 디리클레 스타일 함수 생각해보세요^^

[만이할수있다]

아아 네 맞습니다 ㅎㅎ
그 이유가 증명과정중에 특이적분의 비교판정법을 보면 2 |f(x)|가 특이적분 가능하여 f(x)+|f(x)|가 특이적분 가능하다고 서술돼있는데
이 부분이 리만적분에서는 성립하지 않기 때문일까요???

(특이적분에서 비교판정법 전제조건이
(a,무한)에 포함되는 임의의 b에 대해
[a,b]에서 리만적분이 가능하다는 조건이 있을때 쓸 수 있는 정리라서요..!)

[신선물고기]

네

[만이할수있다]

감사합니다 교수님!!!😭😭