[공업수학] linear 의 뜻이 무엇인가요?

[질문 - "charles" 님] linear 의 뜻이 무엇인가요? 아주 기본적인 질문인가요? 선형의 뜻이 무엇인지 알려주세요. [답글 - "Pioneer" 님] 선형이라고 하셨는데 선형사상을 말하는 걸로 알고 선형사상에 대해 말하겠습니다. 선형사상이라 함은 V, W를 체 F위의 벡터공간이라고 할 때, 사상 T:V -> W가 벡터공간의 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존시킬 때를 말합니다. 즉, 임의의 벡터 v_1,v_2,v_3가 V의 원소이고 a는 체 F의 원소라고 합시다. 이것이 아래의 두 조건을 만족하면 선형사상이라고 합니다. (i) T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) (ii) T(av)=aT(v) 참고로 원점을 지나는 직선이 대표적인 선형사상입니다. 이들은 위의 조건 (i),(ii)를 다 만족합니다. 미분연산자와 적분연산자도 선형입니다. 대칭이도 회전이동도 선형사상입니다.] 우리가 선형에 대해서 배우는 것은 여러가지로 유익한 면이 있기 때문입니다. 선형성을 띄면 덧셈과 스칼라 곱셈이 보존되기 때문에 어떤 사상(함수라고 생각하셔도 됩니다.)이 선형성을 띄는지 알아보기 위에 위의 방법 (i), (ii)를 통해서 알아봅니다. 그러면 그것은 함수들 끼리 자유롭게 더할 수 있고 스칼라 곱을 할 수 있다는 장점이 있기 때문입니다. 뭐 그것이 중요한 것이냐고 할지도 모르지만 적분기호만 보아도 적분안에 있는 상수(스칼라)는 적분기호 밖으로 또는 안으로 들락날락해도 값이 변하질 않습니다. 그것은 적분연산자도 선형성을 띄었기 때문입니다. 미분연산자도 마찬가지이고요. 적분끼리의 덧셈도 뭉쳤다 모았다 가능한 것은 선형성 때문입니다. 만일 적분기호가 선형성을 띄지 않았다면 우리가 배운 적분방법은 거의 무용지물이 될 것입니다. 그렇다면 공업수학이고 뭐고 아무것도 없었겠지요. 적분에 대해서만 알아만 봤지만 그것만 보더라도 선형성을 띄면은 우리가 유익하고 편한 방법의 수학적 계산이 쉬워짐을 알 수 있습니다. 적어도 선형성을 띄지 않는 함수(또는 사상)에 비해서 말이죠.