피라미드(원방각)와 격자구조론( algebraic structure)

[유토피아]

원래 격자의 개념은 초고대의   피라미드의 기하학이며 원방각이론에서 비롯합니다.

역으로 원방각은 피라미드의 기하학에서 도출된 것입니다.

즉 원방각이 피라미드이고 피라미드는 원방각이라는 것인데요.

동일한 기하학이라는 겁니다.

피라미드는의 꼭지점이 원이고 무수한 것이 방이고 각은 원과 방으로 구성된다는 것입니다.

초고대인들중에서 수리물리학에 탁월한 제사장들이나 정치적인 지도자들이 즐겨사용한 것입니다.

피라미드란 개념은 원래 우주의 모형도로서 초고대 사회에서 보편적으로 공유한 우주론적인 지혜입니다.

이집트의 피라미드와 세계의 각지역이나 문명들에서 분포되어 있는 초고대의 가장 두드러진 건축물인 피라미드 는 후에 격자이론으로 정립됩니다.

환단문명은 물론이고 이집트문명과 수메르문명 마야문명과 황화문명에서 문명의 이론적인 기초를 이루고 있었던 것이고 이러한 이론을 바탕으로 하여 다양한 지혜가 창출되었습니다.

특지 종교적인 지혜나 철학 수리학등에서 그 영향력은 막강하였습니다.

천문학에도 반영되고 종교적인 교리에서도 신화나 전설적인 설화에도 반영되었던 것입니다.

오늘날 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로  또는 범주론으로 정의할 수 있으며,

이 세 정의는 서로 동치개념이기도 합니다.

결론적으로 격자론은 수학에서 군환체이며 물리학에서는 응집물리학 혹은 파장과 입자의 물리학의 개념으로 정립됩니다.

1. 단위격자(unit cell , 單位格子): 결정의 기본 단위가 되는 평행육면체

결정고체 내의 원자는 격자라고 불리는 3차원의 반복적 배열을 이루며 놓여 있고, 격자 내의 임의의 점의 위치는 한 그룹의 결정축에 대해서 결정된다. 격자나 결정축은 공간 내의 실제 원자 위치를 기술하기 위해 고안된 수학적 수법이지 실체는 아니다. 그러나 이 개념들은 많은 결정성질을 쉽게 기술할 수 있게 하며 표준적인 결정축과 격자가 정해져 있다. 단위격자를 이루는 점의 집단은 기본적인 반복단위이고, 격자는 3개의 결정축에 따른 단위격자의 병진에 의해 형성된다. 결정구조는 삼사정계(三斜晶系)?단사정계(單斜晶系)?사방정계(斜方晶系)?정방정계(正方晶系)?입방정계(立方晶系)?삼방정계(三方晶系)?육방정계(六方晶系)의 7개 결정계와 브라베 격자(Bravais Lattice)라고 불리는 14개의 단위격자를 사용하여 표시하는 것이 보통이다. 어떤 것을 선택하는가는 중요하지 않으며, 공간 내 점의 반복적 배치인 모든 격자는 이 14개의 단위격자 중 어느 하나에 포함된다.

2. 불 격자Boolean lattice

격자 L이 최대원 1과 최소원 0을 가질 때, L을 유계격자(bounded lattice)라고 한다. 유계격자 L이 있고, 임의의 x∈L에 대해서 x̄∈L이 존재하여 상보법칙(complement law)

x∪x̄=1, x∩x̄=0
x∪x̄=1, x∩x̄=0

을 만족시킬 때, L을 상보격자(complemented lattice)라 하고, x̄를 x의 보원(complement)이라고 한다.

격자 L이 분배격자(격자 참고)이고, 또한 상보격자이면, L은 불 격자이다 라고 한다 불 격자에 있어서, 각 x∈L에 대해서 보원 x̄는 일의로 정해진다. 불 격자를 내연산 ∪, ∩ 그리고 보원 x̄를 가지는 대수계라고 간주했을 때, 불 대수라고 한다. 원소 0, 1만으로 구성되는 불 대수는 논리대수라고도 하고, 컴퓨터의 논리설계의 기초이론으로서 중요하다.

임의의 집합 S의 멱집합 2s의 위에 반순서관계를 집합의 포함관계 ⫅로 정의하고, 결합과 교차를 합집합과 공통집합으로 정의하면, 최대원과 최소원은 S와 공집합 ф로 주어져, 2s는 불 격자가 된다. A∈2s에 대해, 보원 A는 A의 보집합 S-A로 된다. 2s와 부분집합에서 불 격자가 되는 것을 집합 불 격자(Boolean of sets)라고 한다.

3. 격자 에너지lattice energy : 결정을 이루는 모든 원자·분자·이온을 완전히 분리시키기 위해 필요한 에너지 양.

격자 에너지는 구성입자가 얼마나 단단히 묶여 있는가를 나타내는데, 같은 물질은 격자 에너지가 같으므로 이것은 물질의 고유한 특성이 된다. 결정을 이루고 있는 입자 사이의 거리와 그 구조를 알면 격자 에너지를 구할 수 있다. 보통 소금이라 부르는 염화나트륨(NaCl)은 이온결합을 이루고 있는 고체이다.

이온결합은 주로 반대 전하를 띠는 이온들이 가깝게 있기 때문에 끌어당기는 힘이 커서 격자 에너지가 크게 늘어난다. 반대로 같은 전하를 띠고 있는 이온들은 조금 멀리 떨어져 있기 때문에 서로 미는 힘이 작게 생기므로 격자 에너지는 조금 줄어든다. 순 에너지나 결합 에너지도 격자 에너지에 영향을 준다. 실온에서 이온결합으로 이루어진 고체 1mol(몰)이 갖는 격자 에너지는 대개 약 200kcal이다.

4. 광화학 격자 모델

광화학 격자 모델은 다양한 기상 조건하에서 대기 오염 과정 중에 어떠한 일이 일어날지 예측하기 위해 기상학자와 환경학자들이 사용하는 컴퓨터 모델이다. 격자 시스템에서 연구 지역은 수천 개의 셀(cell)로 나누어지는데, 각 셀은 3차원으로 보통 너비와 길이가 수 킬로미터 정도이고 연구자의 의사에 따라 고도가 결정된다. 이러한 모델은 1) 공기의 수직적·수평적 이동, 2) 건물, 차량, 동식물 등 여러 곳에서 발생하는 다양한 기체와 먼지 입자의 증가, 3) 대기 중에서 일어나는 화학적 반응을 모사한다. 이 모델은 대기 중 오존량에 미치는 영향을 예측하는 데 매우 유용하다. 광화학 격자 모델은 기상학적 모델과는 같지 않다. 그러나 이 모델은 오염 물질이 어떻게 증가하고 소진되고 특정 지역에 영향을 미치는지를 밝히기 위해 기상학적 도구를 활용한다. 광화학 격자 모델은 오염 물질의 배출량에 영향을 주는 의사 결정을 내려야 하는 상황에서 대기질이 이 의사 결정에 의해 과연 어떠한 영향을 받게 될지 모사하는 데 이용될 수 있다. 예를 들어 도시 공무원이 도심지로의 통근 차량을 10%가량 감소시키는 결정을 내리기 전에, 이러한 조치로 감소되는 일산화탄소 배출량이 어느 정도인지 모사해 볼 수 있다.

5. 체심 입방 격자 body centered cubic lattice , 體心立方格子: 입방체의 각 꼭지점과, 대각선의 교점에 원자가 한 개씩 배열된 결정격자.

결정구조는 삼사정계(三斜晶系)?단사정계(單斜晶系)?사방정계(斜方晶系)?정방정계(正方晶系)?입방정계(立方晶系)?삼방정계(三方晶系)?육방정계(六方晶系)의 7개 결정계와 브라베 격자(Bravais Lattice)라고 불리는 14개의 단위격자를 사용하여 표시하는 것이 보통이다. 어떤 것을 선택하는가는 중요하지 않으며, 공간 내 점의 반복적 배치인 모든 격자는 이 14개의 단위격자 중 어느 하나에 포함된다. 체심입방 격자는 입방체의 8개 구석에 1개씩의 원자와 입방체의 중심에 1개의 원자가 있다. 체심입방 격자의 예로 철은 상온에서 체심입방(體心立方) 격자구조로 격자점당 하나의 철원자가 있다. 각 격자점당 원자수가 복잡한 구조로 망간 원소는 온도에 따라 결정구조가 달라지는데 1,133℃ 이상 녹는점 사이에서는 단위격자당 2개 원자를 가진 체심입방 격자의 결정구조를 취한다.

면심 입방 격자face-centered cubic lattice , 面心立方格子

입방격자의 각 꼭지점(8개)과 각 면(6개)의 중심에 각각 1개씩 원자가 존재하는 결정 구조.

결정구조를 기술하려면 모든 원자의 위치를 브라베 격자에 맞추어야 한다. 면심입방 격자는 육면체의 꼭지점과 면에 총 14개의 격자점을 갖는 결정격자인데 예를 들면 구리의 구조는 면심입방(面心立方) 격자로 각 격자점당 하나의 구리원자가 있으며, 대부분의 결정은 더 복잡한 구조를 가지고 있으며, 각 격자점당 여러 개의 원자가 대응하고 있다. 공유결합 결정을 대표하는 다이아몬드의 구조는 면심입방 격자의 각 격자점에 2개씩의 원자를 지니며, 또 이온결합을 특징짓는 염화나트륨의 구조는 면심입방 격자의 각 격자점이 나트륨 이온과 염화 이온 2개의 이온을 가진다. 각 격자점당 원자수가 더욱 많은 복잡한 구조도 많이 알려져 있다. 예를 들어 망간 원소는1,095`~1,133℃ 사이에서는 단위격자당 4개 원자를 가진 면심입방 격자의 결정구조이다.

단순 입방 격자simple cubic lattice , 單純立方格子 : 입방체의 꼭지점이 격자점이 되는 구조.

결정고체는 공유결합?이온결합?수소결합의 특성에 따라 각각의 경우에 생길 수 있는 결정구조의 다양성이 제한된다. 또 결정의 대칭성에 따라서 많은 거시적인 성질들이 결정 내에서의 방향 의존성을 나타낸다. 즉 전기 전도도, 자기 투과도, 탄성계수, 유전율 같은 성질들은 결정구조의 대칭성을 반영한다. 결정 구조를 표시할 때 7개 결정계와 브라베 격자를 사용하여 원자의 위치에 따라 결정구조를 구분하는데 단순입방 격자는 단위격자의 꼭지점만을 격자점으로 가지는 격자를 말한다. 단순입방 격자 구조로 각 격자점당 원자수가 많은 예로 망간 원소를 들 수 있다. 망간은 742℃ 이하에서는 단위격자당 58개 원자를 지닌 단순입방 격자의 결정구조, 742~1,092℃ 사이에서는 단위격자당 20개의 원자를 가진 단순입방 격자의 결정구조이다.

6. 음운격자 phoneme lattice :패턴 정보처리

음성인식에 있어서 음운 단위로 세그멘테이션된 구간에 대해서, 그 구간의 음운식별 결과의 후보가 복수로 나타날 때, 복수개의 후보를 그것이 지닌 확실성의 척도도 첨가해서 나열한 것. 다음 그림에 ‘서울까지’의 예를 보기로 한다.

가로축에 시간, 세로축에 음운(여기에서는 엄밀한 음소에 입각해있지 않다. 공학적으로는 때때로 이와 같이 다룬다)의 후보에 이름을 붙여서 나타낸다. 아래의 것일수록 확실성이 적어지고 있다.

세그멘트를 잡는 방법을 음운 단위로 했을 경우의 격자 표현이며, 세그멘트 격자(segment lattice)라고도 한다. 세그멘트의 단위를 단어로 잡았을 경우에는 단어 격자(word lattice)라고 불리며, 발화문의 인식에 널리 사용되고 있다. 이 음운 격자로부터 가장 타당한 하나의 음절열을 결정하기 위해서는 음운 삽입 이나 삭제에 관한 규칙의 적용이나 확실성의 척도에 입각한 처리를 행한다.

7.  격자 생성법method of grid generation

임의의 형상의 영역을 직사각형(직육면체) 영역에 사상하는 수치적 방법. 편미분방정식을 풀 때에, 사상영역에서 직사각형(직육면체) 격자를 갈라서 차분법을 적용하기 쉽게 하기 위해서 개발되었다. 원래의 영역에서의 격자와 사상영역에서의 격자와의 대응관계를 상당히 자유롭게 정할 수가 있으므로, 높은 정밀도의 수치해를 얻기 위한 효과적인 계산 스텝으로 되어 있다. 대응관계를 구하는 구체적인 방법으로서는 사상영역에서 편미분방정식(예를 들면, 적당한 푸아송 방정식)을 수치적으로 푸는 방법이라든가, 내장함수를 대수적으로 구하는 방법 등이 있다.

8. 격자형 회로 lattice network

그물코를 만들기 위하여 4개의 가지를 직렬로 접속한 회로이고 인접하지 않는 두 개의 접합점은 입력단자대로하고 기타 두 개의 접합점을 출력단자대로 한다. 〈참조어〉 회로망해석. 격자형 회로
가지 4와 가지 1의 접합점과 가지 3과 가지 2의 접합점이 입력단자대이고, 가지 1과 가지 3의 접합점과 가지 2와 가지 4의 접합점이 출력단자대이다.

9. 관리 격자 모델

관리 격자 모델(Managerial Grid Model)은 Robert Blake와 Jane Mouton이 제시한 이론이다. 관리격자 이론(Managerial Grid)은 리더십 스타일을 ‘생산에 대한 관심(Concern for Production)’과 ‘사람에 대한 관심(Concern for People)’의 두 가지 축의 결합으로 나타낸 행동론 관련 리더십유형이다.

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10. 격자 모형

격자 모형(格子模型, 영어: lattice model 래티스 모델[*])이란 물리학 용어로, 공간 또는 시공의 연속체에 대립하는 격자에서 정의된 물리학적인 모형을 말한다. 격자 모형은 최초에 응집물질물리학의 문맥에서 발생했다.

거기서 결정의 원자는 격자를 자동적으로 형성한다. 현재, 많은 이유 때문에 격자 모형은 이론물리학에서 아주 인기가 있다. 일부 모델은 정확하게 해결할 수 있고, 따라서 섭동 이론으로부터 배우게 될 수 있는 것을넘어 물리학에 대한 통찰을 제공한다. 격자 모형은 또한 계산물리학적 방법의 연구에 이상적이고, 어떠한 연속적인 모형의 불연속화도 자동적으로 격자 모형로 변한다.

응집물질물리학에서 등장하는 격자 모형은 이징 모형, 포츠 모형, XY 모형, 도다 격자 등이 있다. 이러한 모형들은 보통 적분가능계로서 해석적으로 완전히 풀 수 있고, 보통 솔리톤을 가진다. 이러한 격자 모형을 풀기 위하여 역산란 변환(inverse-scattering transform)과 럭스 쌍, 양-백스터 방정식, 양자군 등을 사용한다. 이러한 모형의 해답은 자연에서 상전이, 자화율과 비례 축소(scaling) 행동뿐만 아니라, 또한 양자장론의 성질에 대한 통찰까지 주었다.

격자 모형은 물리량을 계산할 때에 발산을 막기 위해 자외선 영역(짧은 파장 영역)까지만 적분하거나 수치 해석을 이행하기 위하여 연속체 이론에 근사치로 자주 발생한다. 격자 모형에 의해 넓게 공부하게 되는 연속체 이론의 예는 양자색역학의 격자 장론, 불연속화한 계산 등이다. 일반적으로, 격자 게이지 이론과 격자장론은 연구의 분야이다.