자연음(복합음)의 비밀! ★★푸리에의 변환★★이 풀어내다

[독회바]

[참고] 음악과 수학의 관계(푸리에 변환) ; http://blog.naver.com/gpatient/70024581077 [카루(창배)의 음악 이야기 중에서]

소리에는 순음과 복합음이 있다.

순음은 단일 주파수 즉 사인파의 소리로서 사실상 자연상태에서는 거의 존재하지 않는 인공음이다

반면 복합음은 "기음에 배음이 합쳐진 소리" 즉 "화음"으로서 자연 상태의 음은 다양한 주파수가 합성된 복합음(비사인파)이 대부분이다.

이 때 기음은 기본파로서 음의 높이를 결정하며, 배음은 기음 외의 구성음으로서 음질 내지는 음색을 결정한다

여러 악기가 같은 주파수의 소리를 내도 음색이 서로 다 다른 것은 바로 악기마다 배음이 다르기 때문이다

마치 인간이 46개의 염색체로 만들어졌다 하더라도 염색체 안의 유전자가 조금씩 달라서 같은 얼굴이 전혀 없는 것과 같다고 하겠다

배음이 섞인 상태에 따라서 음색과 음질이 정해지므로
기음의 짝수차 배음이 많을 경우와 기음의 홀수차 배음이 많을 경우의 음색이 어떻게 달라지는지 알아보는 것도 의미가 있다

여기서 기음, 배음의 관계를 좀더 깊이 있게 이해하기 위해서는 푸리에의 변환(Fourier transform)을 알아볼 필요가 있다.


☆ 푸리에 변환(Fourier transform)☆

Fourier Transform 이론의 요점은 다음과 같다

"모든 신호는 일정한 주기를 갖는 무한 개의 Cos 또는 Sin함수의 합으로 나타낼 수 있다"

결국 모든 신호는 주파수 별로 분해될 수 있다는 것이다.

어떤 신호 = 어떤 주기의 주파수 성분 + 또 어떤 주기의 주파수 성분 +또 어떤 주기의 주파수 성분 ...... 등등 이런 식으로 분해될 수 있고,

어떤 신호의 기초음의 기본 주파수의 정수배 항들이 그 신호를 구성하기 위하여 공헌하는 바가 각기 다른 데, 그 공헌하는 바들은 각각의 신호 크기로 나타난다.

그 공헌하는 바를 어떤 주파수의 크기라고 하면

어떤 신호 = 어떤 주기의 주파수의 크기+ 어떤 주기의 주파수의 크기 + 또 어떤 주기의 주파수의 크기+ 또 어떤 주기의 주파수의 크기 .... 등등 이런 식으로 표현될수 있다는 것이다



푸리에 급수(Fourier series)도 대단한 이론이지만 푸리에 변환(Fourier transform)은 기법의 폭발력에서 푸리에 급수를 훨씬 넘어선다.

현대 통신의 시작과 끝이 푸리에 변환이기 때문에 통신 전분야에서 광범위하게 쓰이는 것이 푸리에 변환이다.


푸리에 변환은 푸리에 급수의 약점을 보완하기 위해 제안된 적분 변환(integral transform)이다.

이름에서도 알 수 있듯이 최초 제안자는 푸리에(Joseph Fourier)이다.

푸리에 급수는 유용하지만 함수가 반드시 주기적이어야 한다는 제약 조건이 있다.

이 문제를 해결하는 방법은 주기(시간)를 무한대로 보내는 것이다. 그러면 비주기 함수도 푸리에 급수로 변환할 수 있다. 다만 주기를 무한대로 보낸 경우는 푸리에 급수라 하지 않고 푸리에 적분(Fourier integral) 혹은 푸리에 변환(Fourier transform)이라 한다. 푸리에 적분과 푸리에 변환은 같은 공식을 다른 관점에서 표현한 것이다.


푸리에 급수의 주기를 늘려서 급수를 적분 형태로 만든 것을 푸리에 적분이라 한다.

푸리에 변환은 시간 함수를 주파수 함수로 바꾸어 생각하는 것이다.

즉, 푸리에 적분과 푸리에 변환은 설명이 약간 다르지만 같은 수식의 서로 다른 이름이다.


☆ 시간 영역 신호의 파형

우리가 신호의 특성을 관측하는 방법 중의 하나는 시간에 대해 진폭 특성이 어떻게 변하는가를 보는 것이다. 즉, 특정 지점의 진폭을 관측하는 것이 시간 영역의 관측법이다.

그런데 시간에 따라 주기적으로 변하는 신호들을 주파수별 진폭 분포에 맞게 모으면 신기하게도 시간 영역 관측과 일치한다는 것이 푸리에 변환의 의미이다.


주파수별 진폭을 표현하는 공간은 주파수 영역(frequency domain)이라 한다.


푸리에 변환의 핵심은 현재 시간과 전혀 관계없는 새로운 영역인 빈도수로 해석 관점을 바꾸는 것이다.

현재 시점에 집중하는 것(시간 영역)이 아니고 신의 영역에 해당하는 태초부터 세상끝까지 퍼져 있는 주기 또는 빈도수의 분포(주파수 영역)를 보는 것이다.

따라서, 현재를 관찰하지 말고 처음부터 끝까지 나타나는 빈도를 보는 것이 푸리에 변환이다.

푸리에 변환이 시간에 대해 적용되면 시간-주파수가 서로 쌍이 된다. 시간에 대해 보는 것과 주파수의 분포에 대해 보는 것이 동일한 것이다.

공간의 경우에는 공간 파수(wave number)가 서로의 쌍이다. 즉, 공간에 집중하는 것이 아니고 공간적 주기의 빈도수 분포를 보는 것이다.


푸리에 변환은 시간과 공간에만 적용되는 것은 아니다. 현재 상태와 빈도수를 정의할 수 있는 어떤 곳에도 쓰일 수 있다.

예를 들면 푸리에 변환은 사진 압축에도 쓰일 수 있다. 대표적인 압축 형태인 JPEG(Joint Photographic Experts Group)는 푸리에 변환의 일종인 DCT(Discrete Cosine Transform, 이산 코사인 변환)에 기반하고 있다.

JPEG에서는 사진을 있는 그대로 저장하지 않고 영상 처리(image processing)를 통해 빈도수를 가진 기저 함수(basis function)의 진폭으로 저장한다.

즉, 영상 처리를 위해 JPEG는 사진을 8×8 픽셀(pixel) 단위로 쪼갠다. 8×8 픽셀은 하나의 블록(block)이 된다.

HDTV의 기준해상도인 1024×768 픽셀은 JPEG 블록 기준으로는 128×96 블록이 된다.

영상 처리에 빈번하게 사용하는 사진은 '레나(lena or lenna)'이다.

'레나'는 영상 처리를 위한 다양한 시각적 요소들(곡선, 평면, 거울, 그림자, 살색, 질감 등)을 가지고 있으며 더군다나 대상이 아름다운 여인이다.

역사를 추적해 보면 '레나'는 원래 도색 잡지인 '플레이보이(Playboy)'에 나오는 사진이었다.

1970년 즈음 이를 불법으로 복사해서 영상 처리에 몰래 사용했고 용기 있는 누군가가 학술지에 영상 처리 이론과 함께 이 사진을 공개해서 사진이 급속도로 퍼졌다.

이후에 이 사진은 '레나'라는 이름도 가지게 되었고 사진의 주인공은 "인터넷의 으뜸 여인 혹은 영부인(First Lady of the Internet)"이 되게 되었다.

[맨땅에 헤딩]

푸리에 이론?
글로 표현하니 어렵네요