<p><strong><span style="font-size: 10pt;">미분 가능한 함수에서 미분 계수는 그 점에서의 접선의 기울기의 의미를 가진다고 합니다</span><br><br><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-size: 10pt;">1) 곡선위의 한 점에서 접선이란 무슨 뜻일 까요?</span><br><span style="color: rgb(255, 0, 0); font-size: 10pt;">2) 미분계수가 곡선위의 한 점에서의 접선의 기울기와 같다는 것은 어떻게 증명이 될까요?</span><br><span style="color: rgb(102, 0, 255); font-size: 10pt;">3) 직선위에의 한 점에서 접선이란 무슨 뜻일 까요?</span><br><span style="color: rgb(102, 0, 255); font-size: 10pt;">4) 직선위에의 한 점에서 접선은 정의 될 필요가 없는 걸까요?</span><br><br><span style="color: rgb(255, 0, 221); font-size: 10pt;">선생님들은 어떻게 생각 하시나요?</span></strong><br></p>
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첫댓글간단히는 접촉의 개념이라 하는데 간혹 더 자세히 묻는 아이들에게 이렇게 설명해줍니다. 1) f(x)에서 위(아래)로만 볼록한 구간 [a,b]에 대해 (a,f(a))를 A, (b,f(b))를 B라 할 때 이 구간 내의 한 점 P(p,f(p))를 지나며 기울기가 BP보다 크고(작고) AP보다 작은(큰) 직선 중 그 구간 내에서 f(x)와의 교점이 1개뿐인 직선이 오직 하나뿐일 때 이 직선을 (p,f(p))에서의 접선이라 한다. 2) 교과과정대로 평균변화율='양끝점을 연결한 직선의 기울기' ->순간변화율=평균변화율의 극한='양끝점을 연결한 직선의 기울기'의 극한 ->구간크기가 0으로 갈 때 양끝점을 연결한 직선은 접선에 한없이 가까워지므로 기울기 또한 접선의 기울기에 수렴
3),4) 직선에서의 접선은 굳이 생각할 필요가 없다고 봅니다. 실제로도 직선에 대해서는 접선이라는 표현자체를 쓰지 않습니다. 다만 접선이라는 용어를 곡선이나 직선에서 구분하지 않고 다룰 때 순간변화율의 관점에서 논리적인 모순이 없도록 하려면 직선의 접선은 어느 점에서든 그 직선 자체여야겠죠.
한점을 지나는 접선이란 개념은 없습니다. 직선이 유일하게 결정되려면 직선이 지나는 2점이 주어져야하기 때문이죠. 곡선위의 점 (a,f(a))에서의 접선이란 그점과 그점에 아주 가까운 곡선위의 두점을 지나는 직선을 이야기합니다. 그래서 좌극한 우극한이 모두 같아야 합니다. 다만 그 직선을 x=a에서의 접선이라 칭하는것 뿐이죠. 억지로 따지자면 y=|x| 그래프에서 x=0에서의 미분계수는 존재하지않지만 구지 접선의 갯수를 따지자면 무수히 많은게 아니라 y=+-x 두개라고 얘기해야겠죠.
@문명5수학흠... 역시 저랑은 마인드가 확연히 다르시네요. 저는 학생 스스로가 개념만으로 일반적인 풀이를 할 수 있도록 만들어 주는 것이 우선이고 그게 되는 학생들에 한해서만 기술을 가르쳐줍니다. 그게 안된 학생에게 기술을 먼저 가르쳐 버리면 결국 쉬운 방식에 익숙해져서 결과만 외우게 되고 장기적으로 학생을 망치게 된다고 생각해서요.
@yesrainy기본 개념 이해는 기본이죠. 이런 수업은 선생이 힘들죠. 기존의 풀이를 얘기를 해주고, 다른 풀이도 얘기를 해주니. 그리고 문제를 다시 풀어봐야 해서 더욱 힘들죠. 오른수학by이명래샘이 강의가 산으로 간다고 했는데, 강의는 한번도 산으로 간 적이 없슴다. 결단코! 물론 아이도 힘들어 하죠. 시험 봐서, 제가 다른 풀이한것 까지 될수 있으면 적으라고 하니, 아이들은 힘들죠. 근데, 이렇게 수업하면 아이들 수학실력 늡니다. 책이랑 똑같이 가르치는 강의는 필요없다 생각함다. 강의를 들을 필요가 없이 책으로만 공부하면 되니깐요. 그리고 무수한 온라인 강의등!
@문명5수학흠.. 샘이 작성하신 댓글에서 생략된 내용이 많다보니 오해가 있었습니다. 바로 위의 샘 댓글을 보기 전까지는 일반적인 풀이는 생략하고 바로 다른 풀이를 알려준다는 식의 댓글로 이해했습니다. 그래서 저나 다른 샘들의 댓글들이 샘 댓글에 대해 비판적인 내용인 것이고요. 다른 선생님들도 당연히 일반적인 방법 이후에 다른 방법들을 추가로 제시합니다. 앞으로는 댓글을 좀 더 명확하게 써주셨으면 합니다. 그래야 서로 오해가 없습니다.
첫댓글 간단히는 접촉의 개념이라 하는데 간혹 더 자세히 묻는 아이들에게 이렇게 설명해줍니다.
1) f(x)에서 위(아래)로만 볼록한 구간 [a,b]에 대해 (a,f(a))를 A, (b,f(b))를 B라 할 때 이 구간 내의 한 점 P(p,f(p))를 지나며 기울기가 BP보다 크고(작고) AP보다 작은(큰) 직선 중 그 구간 내에서 f(x)와의 교점이 1개뿐인 직선이 오직 하나뿐일 때 이 직선을 (p,f(p))에서의 접선이라 한다.
2) 교과과정대로 평균변화율='양끝점을 연결한 직선의 기울기'
->순간변화율=평균변화율의 극한='양끝점을 연결한 직선의 기울기'의 극한
->구간크기가 0으로 갈 때 양끝점을 연결한 직선은 접선에 한없이 가까워지므로 기울기 또한 접선의 기울기에 수렴
3),4) 직선에서의 접선은 굳이 생각할 필요가 없다고 봅니다. 실제로도 직선에 대해서는 접선이라는 표현자체를 쓰지 않습니다. 다만 접선이라는 용어를 곡선이나 직선에서 구분하지 않고 다룰 때 순간변화율의 관점에서 논리적인 모순이 없도록 하려면 직선의 접선은 어느 점에서든 그 직선 자체여야겠죠.
한점을 지나는 접선이란 개념은 없습니다.
직선이 유일하게 결정되려면 직선이 지나는 2점이 주어져야하기 때문이죠.
곡선위의 점 (a,f(a))에서의 접선이란 그점과 그점에 아주 가까운 곡선위의 두점을 지나는 직선을 이야기합니다. 그래서 좌극한 우극한이 모두 같아야 합니다.
다만 그 직선을 x=a에서의 접선이라 칭하는것 뿐이죠.
억지로 따지자면 y=|x| 그래프에서 x=0에서의 미분계수는 존재하지않지만 구지 접선의 갯수를 따지자면 무수히 많은게 아니라 y=+-x 두개라고 얘기해야겠죠.
수학과 학생이 질문할 것은 하시지 마시고, 카이스트준 닉냄에 맞게 어려운 문제를 서로 공유를 해 보는 것은 어떨지요? 당장 밥벌이에 도움이 되는 . .
저는 이런 질문이 훨씬 더 좋습니다. 선생님들 댓글보며 생각하고 배울 것도 많고요.
@성지훈 근데, 저런 것 아이들에게 얘길 하면 속으로 욕을 할 걸요. 실제적인 문제푸는 기술을 알려주는 것을 원하니. 저는 항상 아이들에게 다른 풀이를 애길 해줄려고 노력합니다. 책이랑 똑같이 푸는 것을 싫어 해서요.
@문명5수학 흠... 역시 저랑은 마인드가 확연히 다르시네요. 저는 학생 스스로가 개념만으로 일반적인 풀이를 할 수 있도록 만들어 주는 것이 우선이고 그게 되는 학생들에 한해서만 기술을 가르쳐줍니다. 그게 안된 학생에게 기술을 먼저 가르쳐 버리면 결국 쉬운 방식에 익숙해져서 결과만 외우게 되고 장기적으로 학생을 망치게 된다고 생각해서요.
@성지훈 동의합니다. 사탕좋아하다가 이가 썩는것처럼.....
강의역시 빠른풀이 다른풀이에 집착하는순간 강의가 산으로 가죠 ㅎ
@오른수학by이명래™ 먹고 사는 것이 가장 우선 이라서요.
@문명5수학 다른풀이를 설명해줬을때 아이가 그것을 받아들일수 있으려면 기본적이 개념이해는 되어있어야 하지 않을까요?
@yesrainy 기본 개념 이해는 기본이죠. 이런 수업은 선생이 힘들죠. 기존의 풀이를 얘기를 해주고, 다른 풀이도 얘기를 해주니. 그리고 문제를 다시 풀어봐야 해서 더욱 힘들죠. 오른수학by이명래샘이 강의가 산으로 간다고 했는데, 강의는 한번도 산으로 간 적이 없슴다. 결단코! 물론 아이도 힘들어 하죠. 시험 봐서, 제가 다른 풀이한것 까지 될수 있으면 적으라고 하니, 아이들은 힘들죠. 근데, 이렇게 수업하면 아이들 수학실력 늡니다. 책이랑 똑같이 가르치는 강의는 필요없다 생각함다. 강의를 들을 필요가 없이 책으로만 공부하면 되니깐요. 그리고 무수한 온라인 강의등!
@문명5수학 흠.. 샘이 작성하신 댓글에서 생략된 내용이 많다보니 오해가 있었습니다. 바로 위의 샘 댓글을 보기 전까지는 일반적인 풀이는 생략하고 바로 다른 풀이를 알려준다는 식의 댓글로 이해했습니다. 그래서 저나 다른 샘들의 댓글들이 샘 댓글에 대해 비판적인 내용인 것이고요. 다른 선생님들도 당연히 일반적인 방법 이후에 다른 방법들을 추가로 제시합니다. 앞으로는 댓글을 좀 더 명확하게 써주셨으면 합니다. 그래야 서로 오해가 없습니다.
@성지훈 사람 사이에 오해가 생기는 것은 당연지사, 서로 비판을 할수는 있지요. 다음에는 저도 저도 모르게 남을 비판 하겠죠. 하지만, 저는 이런 것이 파괴적이지만 않으면 괜찮다고 봅니다. 사람 사는 세상에 오해가 없음, 기계이게요!
@문명5수학 오해가 생길 수는 있으나 그게 당연하지는 않지요. 샘이 쓰신 글은 오해의 소지가 있는 글이라 앞으로는 그럴 여지가 없도록 좀 더 의미를 명확하게 써달라는 부탁입니다.
@문명5수학 선생님을 지칭해서 드린 말씀이 아니오니 오해없으시길 바랍니다^^