[016] 오목 볼록성를 의미하는 여러가지 표현들 그리고 증명?

[카이스트준]

어떤 구간에서 오목 볼록성을 의미하는 여러가지 식이나 문장이 있을 수 있습니다

예를 들어 그 구간에 속하는 임의의 서로 다른 두 수에 대응하는 함숫값의 평균이 그 서로 다른 두 수의 평균에 대응하는 함숫값보다 작은 경우이거나 이계도함수의 부호가 음수인 경우 위로 볼록(아래로 오목)이라고 할 수 있습니다

[1] 그렇다면 이런 경우 외에 위로 볼록을 의미하는 식이나 문장이 또 어떤 것이 있을까요?

[2] 한편 이계 도함수의 부호에 따라 오목 볼록성이 결정되는데 선생님들은 이것을 가르칠 때 증명을 다 하시는지 아니면 예를 드는 경우에서 그치시는 지 궁금합니다 (물론 대상에 따라 다르겠지만 저의 경우 학생들이 느끼기에 지나치게 증명에 집착하는 경향이 있는 것 같아서 다른 선생님들의 의견을 들어보고 싶습니다. 특히 지수가 유리수 지수인 경우 지수법칙 성립함을 설명할 때가 그렇습니다.)

[오른수학by이명래™]

정의중에서 한부분 수정하셔야 할듯.
셋째줄 작은경우→작거나같은경우


함숫값비교, 기울기비교,넓이비교 말고 또 있나요?

그리고 저는
이계도함수부호에따른 오목볼록...
유리수지수법칙..
모두 당연히 증명해 줘야한다고 생각합니다.

[카이스트준]

작거나 같은 경우라 하면...직선의 경우 오목하기도 하고 볼록하기도 하다는 것을 의미하는 것인가요?

[오른수학by이명래™]

네

[성지훈]

이계도함수>0 이면 아래로 볼록
이계도함수<0 이면 위로 볼록
이계도함수=0 이면 이것만으로는 알 수 없다.
아래로 볼록이면 이계도함수가 0이상
위로 볼록이면 이계도함수가 0이하
고등 과정에서 직선은 오목, 볼록 둘 다 아닌 것으로 취급하지 않나요?
둘 다에 포함시킨다는 내용이 혹시 어딘가에 나와 있나요?
모르고 있던 내용이라 다시 여쭤봅니다.

[오른수학by이명래™]

꺽이는 직선의 경우를 생각해보시면 등호가 성립하는걸 알수있습니다. 예를들어 절댓값 x

[성지훈]

y=lxl의 경우 실수전체에서 아래로 볼록한 것으로 취급한다는 말씀이시죠? 어렵네요.
저는 이 경우 아래로 볼록도 아니고 위로 볼록도 아니라고 취급할 것 같습니다.
예를 들어 0이상 1미만에서 f(x)=x, 1이상 2미만에서 f(x)=-x+2, f(x+2)=f(x) 인 함수 y=f(x)에 대해
구간 [0,1]에서는 아래로 볼록한 구간이면서 위로 볼록한 구간으로 보는 건가요?

[성지훈]

샘 제가 궁금해서 갖고 있는 고등학교 교과서 몇 개의 오목볼록 부분을 찾아봤습니다. 중학교에서 한번 나온 개념이라 그런지 뜻에 대해 아예 언급이 없는 것도 있고 있는 교과서에는 그래프가 선분보다 위 아래라는 표현을 써 놨네요. 적어도 고등학교에서는 직선 형태의 구간에 대해 오목볼록 둘 다 아닌것으로 취급하는 듯 합니다. 혹시 갖고 계신 고등학교 교과서중에 등호 포함된 것이 있는지 확인 좀 부탁드려요 될까요?

[오른수학by이명래™]

개강첫주라서 몹시 바쁘네요. 정리되는데로 관련자료 올려볼게요^^

[성지훈]

네 감사합니다!