함수

[유토피아]

수학에서, 함수(函數, 영어: function) 또는 사상(寫像, 영어: map)은 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다.

함수 ${\displaystyle f}$는 다음과 같은 튜플 ${\displaystyle (X,Y,\operatorname {graph} f)}$이다.

• ${\displaystyle X}$는 집합이며, ${\displaystyle f}$의 정의역이라고 한다.
• ${\displaystyle Y}$는 집합이며, ${\displaystyle f}$의 공역이라고 한다.
• ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$는 곱집합 ${\displaystyle X\times Y}$의 부분 집합이며, ${\displaystyle f}$의 그래프라고 한다.

이 튜플이 다음 공리들을 만족시켜야지만 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle (x,y)\in \operatorname {graph} f}$인 ${\displaystyle y\in Y}$가 유일하게 존재한다.

다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다. 이러한 ${\displaystyle y}$를 ${\displaystyle f(x)}$라고 쓰며, 이러한 ${\displaystyle y}$들의 집합을 치역이라고 한다. 치역은 공역의 부분 집합이나, 공역보다 작을 수 있다.

사상은 보통 함수의 동의어로 쓰이나, 추상대수학에서는 더 좁은, 범주론에서는 더 넓은 뜻을 갖는다.

표기

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

는 ${\displaystyle f}$가 정의역 ${\displaystyle X}$, 공역 ${\displaystyle Y}$를 갖는 함수라는 뜻이다. 표기

${\displaystyle f\colon x\mapsto y}$

는 ${\displaystyle f(x)=y}$와 같은 뜻이다.

함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다.

${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)\qquad (x\in X)}$

${\displaystyle y=f(x)}$

구체적인 함수를 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 정의역의 원소가 유한 개일 경우, 각 원소가 공역의 어느 원소와 대응하는지를 표 따위에 열거하여 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하는 공식이나 알고리즘이 존재한다면, 이를 통해 나타낼 수도 있다. 함수의 정의역과 공역이 모두 실수 집합이나 복소수 집합의 부분 집합이라면, 함수의 그래프를 통해 나타낼 수도 있는데, 직관적인 반면 정확성이 떨어질 수 있다.

어떤 가족의 구성원들의 집합을 정의역, 날짜의 집합을 공역으로 하며, 각 구성원 ${\displaystyle x}$를 그 생년월일 ${\displaystyle f(x)}$로 대응시키는 관계 ${\displaystyle f}$는 함수이다. 모든 구성원은 어느 날엔가 태어났으며, 동시에 두 다른 날에 태어났을 수 없기 때문이다.

정의역이 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$, 공역이 ${\displaystyle \{4,5,6,7\}}$이며, 대응 규칙 ${\displaystyle f(1)=4}$, ${\displaystyle f(2)=5}$, ${\displaystyle f(3)=6}$을 따르는 대응 관계는 함수이다.

실수 집합을 ${\displaystyle \mathbb {R} }$로 쓰자. 그렇다면, 모든 실수를 그 제곱으로 대응시키는 대응 관계 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$는 함수이다.

공집합을 ${\displaystyle \varnothing }$로 쓰자. 그렇다면, 임의의 집합 ${\displaystyle Y}$에 대하여, ${\displaystyle f\colon \varnothing \to Y}$는 함수이며, 여기에는 아무런 대응 규칙이 필요하지 않다. 이러한 함수를 공함수(空函數, 영어: empty function)라고 한다.

${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$는 공역이 공집합인 유일한 함수이다.

단사 함수 · 전사 함수 · 전단사 함수[편집]

이 부분의 본문은 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수입니다.

단사 함수

전사 함수

전단사 함수

정의역이 ${\displaystyle X}$, 공역이 ${\displaystyle Y}$인 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자.

만약 ${\displaystyle f}$가 정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, ${\displaystyle f}$를 단사 함수 또는 일대일 함수라고 한다.^[1] 예를 들어, 함수

${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{D,B,C,A\}}$

${\displaystyle f\colon 1\mapsto D}$

${\displaystyle f\colon 2\mapsto B}$

${\displaystyle f\colon 3\mapsto A}$

는 단사 함수이다. 그러나 각 자연수가 이를 2로 나눈 나머지로 대응되는 함수는 단사 함수가 아니다. 모든 홀수를 1, 모든 짝수를 0으로 대응시키기 때문이다.

만약 ${\displaystyle f}$가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) ${\displaystyle f}$를 전사 함수 또는 위로의 함수라고 한다.^[1] 예를 들어, 함수

${\displaystyle g\colon \{1,2,3,4\}\to \{D,B,C\}}$

${\displaystyle g\colon 1\mapsto D}$

${\displaystyle g\colon 2\mapsto B}$

${\displaystyle g\colon 3,4\mapsto C}$

는 전사 함수이다.

만약 ${\displaystyle f}$가 동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, ${\displaystyle f}$를 전단사 함수 또는 일대일 대응이라고 한다.^[1] 예를 들어, 함수

${\displaystyle h\colon \{1,2,3,4\}\to \{D,B,C,A\}}$

${\displaystyle h\colon 1\mapsto D}$

${\displaystyle h\colon 2\mapsto B}$

${\displaystyle h\colon 3\mapsto C}$

${\displaystyle h\colon 4\mapsto A}$

는 전단사 함수이다.

단사 함수와 전사 함수 사이에는 특별한 함의 관계가 존재하지 않는다. 예를 들어, 상술 ${\displaystyle f}$는 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다. 또한, 상술 ${\displaystyle g}$는 전사 함수이지만, 단사 함수가 아니다.

특별한 정의역 · 공역을 갖는 함수[편집]

복소 감마 함수의 그래프

정의역이 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$인 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to X}$를 실변수 함수(實變數函數, 영어: function of a real variable)라고 한다. 공역이 실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$인 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$를 실숫값 함수(實數-函數, 영어: real-valued function) 또는 실함수(實函數, 영어: real function)라고 한다. 실변수 실숫값 함수에 대하여, 단조함수 · 홀함수와 짝함수 · 주기 함수 등의 개념을 정의할 수 있다. 단조함수는 대략 그래프가 오른쪽으로 갈수록 줄곧 상승하거나 줄곧 하강하는 함수이다. 전자를 단조 증가 함수, 후자를 단조 감소 함수라고 한다.^[1] 예를 들어, ${\displaystyle f(x)=2x}$는 단조 증가 함수이며, ${\displaystyle f(x)=-2x}$는 단조 감소 함수이다. 홀함수는 그래프가 원점에 의하여 중심 대칭인 함수, 짝함수는 그래프가 y축에 의하여 반사 대칭인 함수이다. 예를 들어, ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$는 홀함수, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$은 짝함수이다.^[2] 주기함수는 대략 그래프가 x축의 방향의 벡터에 의한 평행 이동 대칭을 갖는 함수이다. 삼각 함수가 대표적이다.

정의역이 복소수 집합 ${\displaystyle \mathbb {C} }$인 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to X}$를 복소변수 함수(複素變數函數, 영어: function of a complex variable)라고 한다. 공역이 복소수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$인 함수 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$를 복소값 함수(複素-函數, 영어: complex-valued function) 또는 복소함수(複素函數, 영어: complex function)라고 한다. 복소변수 복소값 함수에 대해서도 주기 함수의 개념이 존재한다.

조각마다 정의된 함수[편집]

이 함수를 나타내는 공식은 [-∞, x₀)와 [x₀, ∞)에서 다르다.

함숫값은 유한 가지의 서로 다른 경우에 서로 다른 공식으로 나타내야 할 수 있는데, 이러한 함수를 조각마다 정의된 함수(-定義-函數, 영어: piecewise-defined function)라고 한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수는 조각마다 정의되었다.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&x<1/2\\-x^{2}+2x&x\geq 1/2\end{cases}}}$

일반적으로, 매끄러운 다양체 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 정의역의 분할 ${\displaystyle X=X_{1}\sqcup \cdots \sqcup X_{n}}$이 존재한다면, ${\displaystyle f}$를 조각마다 ~ 함수라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle D\subseteq X_{i}\subseteq \operatorname {cl} D}$인 영역 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{X_{i}}}$는 ~ 함수이다.

예를 들어, 정의역이 실수 구간인 경우, 정의역의 분할은 구간 분할이어야 한다. 예를 들어, ${\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }$의 분할의 한 가지 예는 다음과 같다.

${\displaystyle [0,1]=[0,1/4)\sqcup [1/4,1/2)\sqcup \{1/2\}\sqcup [1/2,1]}$

'~'에 여러 가지 함수의 성질을 대입할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.

~ 함수	조각마다 ~ 함수	조각마다 ~ 함수의 예
연속 함수	조각마다 연속 함수(-連續函數, 영어: piecewise-continuous function)
매끄러운 함수	조각마다 매끄러운 함수(-函數, 영어: piecewise-smooth function)
선형 함수	조각마다 선형 함수(-線型函數, 영어: piecewise-linear function)	절댓값 함수
상수 함수	조각마다 상수 함수	부호 함수

부분 정의 함수 · 다가 함수[편집]

함수가 아니지만 '함수'라는 이름이 붙은 부분 정의 함수와 다가 함수의 개념이 존재한다.

함수의 정의역의 모든 원소는 그에 대응하는 상을 반드시 가져야 한다. 예를 들어, 각 실수 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$를 또 다른 실수 ${\displaystyle 1/(1-x)\in \mathbb {R} }$에 대응시키는 관계 ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 함수가 아니다. 1의 상이 정의되지 않았기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 정의역 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{1\}}$을 갖는 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{1\}\to \mathbb {R} }$로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 부분 정의 함수는 ${\displaystyle X}$의 어떤 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$를 정의역으로 하며, ${\displaystyle Y}$를 공역으로 하는 함수 ${\displaystyle f\colon A\to Y}$로 정의된다. 이 경우, 상술 ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 부분 정의 함수이지만, ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 전함수(全函數, 영어: total function)라고 불러 부분 정의 함수와 구별하기도 한다.

함수의 정의역의 원소에 대응하는 상은 반드시 유일해야 한다. 예를 들어, 절댓값이 1 이하인 실수 ${\displaystyle x\in [-1,1]}$를 방정식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$의 해 ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$로 대응시키는 관계 ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 함수가 아니다. 모든 ${\displaystyle x\neq \pm 1}$은 두 개의 상 ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$에 대응하기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 공역 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$을 갖는 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 다가 함수는 ${\displaystyle X}$를 정의역, ${\displaystyle Y}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$를 공역으로 하는 함수 ${\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(Y)}$로 정의된다. 이 경우, 상술 ${\displaystyle R}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 다가 함수이지만, ${\displaystyle \mathbb {R} }$와 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 일가 함수(一價函數, 영어: single-valued function)라고 불러 다가 함수와 구별하기도 한다.^[1]

상 · 원상[편집]

이 부분의 본문은 상 (수학)입니다.

집합 ${\displaystyle A\subset X}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle \{f(a)\colon a\in A\}}$

를 ${\displaystyle A}$의 상이라고 하며, ${\displaystyle f(A)}$로 쓴다. 집합 ${\displaystyle B\subset Y}$ 및 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle \{x\in X\colon f(x)\in B\}}$

를 ${\displaystyle B}$의 원상이라고 하며, ${\displaystyle f^{-1}(B)}$로 쓴다. 치역은 곧 정의역의 상 ${\displaystyle f(X)}$이다.

역함수[편집]

이 부분의 본문은 역함수입니다.

함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle f}$가

• 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle y=f(x)}$인 ${\displaystyle x\in X}$가 유일하게 존재한다.

를 만족한다면, 이에 따른, 정의역과 공역은 뒤바뀌고, 대응 관계는 방향만 뒤바뀐 함수

${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$

가 존재한다. 이를 ${\displaystyle f}$의 역함수이라고 한다. 역이 존재하는 함수를 가역 함수라고 한다. 어떤 함수가 가역 함수일 필요 충분 조건은, 전단사 함수라는 것이다.

예를 들어, 지수 함수는 가역 함수이며, 그 역함수는 로그 함수이다.

함수의 합성[편집]

이 부분의 본문은 함수의 합성입니다.

함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 공역과 함수 ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$의 정의역이 같다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 ${\displaystyle g\circ f}$를 두 함수 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$의 합성이라고 한다.

${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))\qquad (\forall x\in X)}$

즉, 먼저 ${\displaystyle X}$의 원소를 ${\displaystyle f}$에 따라, ${\displaystyle f}$의 공역이자 ${\displaystyle g}$의 정의역인 ${\displaystyle Y}$의 원소에 대응시키고, 다시 이를 ${\displaystyle g}$에 따라 ${\displaystyle Z}$의 원소로 대응시킨다.

예를 들어, ${\displaystyle u=2x}$와 ${\displaystyle y=u+1}$의 합성은 ${\displaystyle y=2x+1}$이다.

제한 · 합집합[편집]

함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 정의역의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 ${\displaystyle f|_{A}}$를 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle A}$로의 제한(制限, 영어: restriction)이라고 한다.

${\displaystyle f|_{A}\colon A\to Y}$

${\displaystyle f|_{A}(x)=f(x)\qquad (\forall x\in A)}$

즉, 원래 대응 방식을 유지하되, 정의역을 ${\displaystyle A}$로 줄인 함수이다.

두 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon X'\to Y'}$가 다음 두 조건을 만족시키면, ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle g}$의 제한이라고 하며, ${\displaystyle g}$가 ${\displaystyle f}$의 확장이라고 한다.

• ${\displaystyle X\subseteq X'}$
• ${\displaystyle f=g|_{X}}$. 즉, 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

두 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon X'\to Y'}$가 다음 조건을 만족시키면, 서로 일치한다고 한다.

• ${\displaystyle f|_{X\cap X'}=g|_{X\cap X'}}$. 즉, 임의의 ${\displaystyle x\in X\cap X'}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

두 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$와 ${\displaystyle g\colon X'\to Y'}$가 서로 일치한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 ${\displaystyle f\cup g}$를 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$의 합집합이라고 한다.

${\displaystyle f\cup g\colon X\cup X'\to Y\cup Y'}$

${\displaystyle (f\cup g)(x)={\begin{cases}f(x)&x\in X\\g(x)&x\in X'\end{cases}}}$

마찬가지로, 쌍마다 일치 함수족 ${\displaystyle \{f_{i}\colon X_{i}\to Y_{i}\}_{i\in I}}$의 합집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}f_{i}\colon \bigcup _{i\in I}X_{i}\to \bigcup _{i\in I}Y_{i}}$

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}f_{i}\right)(x_{j})=f_{j}(x_{j})\qquad (\forall x_{j}\in X_{j})}$

물론, 함수의 합집합은 서로 일치하지 않는 경우에도 이항 관계로서 정의할 수 있으며, 이 이항 관계가 함수일 필요충분조건은 일치성이다.

점별 연산[편집]

이 부분의 본문은 점별 연산입니다.

정의역과 공역이 같은 함수들에 대한 점별 연산을 공역 위의 연산으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 두 실숫값 함수 ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }$의 점별 합(點別合, 영어: pointwise sum) ${\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} }$은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)\qquad (x\in X)}$

마찬가지로, 점별 곱(點別-, 영어: pointwise product) ${\displaystyle fg\colon X\to \mathbb {R} }$은 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)\qquad (x\in X)}$