☯ 공전과 자전의 함수 관계 (2) : 그레고리력에서 매년 총일수 및 윤년 판별식

[재후]

☯ 공전과 자전의 함수 관계 (2) : 

그레고리력의 매년 총일수 및 윤년 판별식

[  이태원 프리덤 -  UV+박진영 ]

연도 수열: 변수로 사용

Y = 1, 2, 3, 4, 5, …

상수 365 수열:

365 = 365, 365, 365, 365, 365, …

연도 Y가 a의 배수일 때만 A(Y, a) = 1이고

그 외에는 A(Y, a) = 0이 되는 수열을 A(Y, a)라고 하면...

수열 A(Y, a) :

(앞에 (a-1)개의 0이 있고 a번째에서 처음으로 +1이 나타나는 주기수열)

A(Y, a) = 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, +1, 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, +1, …

4년 마다 +1 나타나는 수열:

A(Y, 4) = 0, 0, 0, +1, 0, 0, 0, +1, …

100년 마다 -1 나타나는 수열:

(앞에 99개의 0이 있고 100번째에 처음으로 -1이 나타남)

-A(Y, 100) = 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, -1, …

400년 마다 +1 나타나는 수열:

(앞에 399개의 0이 있고 400번째에 처음으로 +1이 나타남)

A(Y, 400) = 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, +1, 0, 0, 0, …, 0, 0, 0, +1, …

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Y년도의 총일수

율리우스력에서

Y년도의 총일수 G(Y)는

G(Y) = 365 + A(Y, 4) - A(Y, 100) + A(Y, 400)

그런데

아래 ◐ 공부합시다 ◑에 의하면

G(Y) = 365 + ([Y]⁴ - [Y-1]⁴) - ([Y]¹⁰⁰ - [Y-1]¹⁰⁰) + ([Y]⁴⁰⁰ - [Y-1]⁴⁰⁰)

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Y년도의 윤년 판별식

연도 Y에 대하여

G(Y) = 365이면 평년

G(Y) = 366이면 윤년

따라서

다음과 같은 결과를 얻게 됩니다.

A(Y, 4) - A(Y, 100) + A(Y, 400) = 0 이면 평년

A(Y, 4) - A(Y, 100) + A(Y, 400) = 1 이면 윤년

그런데

합수열을 이용하면

∴ A(Y, a) = [Y]^a - [Y-1]^a 

혹은

∴ A(Y, a) = [1+[Y-1]_a]^a 

따라서...

윤년 판별식

D(Y) = ([Y]⁴ - [Y-1]⁴) - ([Y]¹⁰⁰ - [Y-1]¹⁰⁰) + ([Y]⁴⁰⁰ - [Y-1]⁴⁰⁰) 

D(Y) = 0 이면 평년

D(Y) = 1 이면 윤년

혹은

D(Y) = [1+[Y-1]₁₀₀]⁴ - [1+[Y-1]₁₀₀]¹⁰⁰ + [1+[Y-1]₄₀₀]⁴⁰⁰ 

D(Y) = 0 이면 평년

D(Y) = 1 이면 윤년

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◐ 공부합시다 ◑

이를테면

Y = 1, 2, 3, …

A(Y, 4) = 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0. 1, …

A(Y, 4)의 합수열을 S(Y, 4)라고 하면

S(Y, 4) = 0, 0. 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, …

그런데

S(Y, 4)는

초항 0, 공차 1, 각항4회 반복의 제1반복수열에서

처음 1개 항을 제거한 수열이므로

S(Y, 4) = 0 + [(Y+1) - 1]⁴ = [Y]⁴ 

특히

S(0, 4) = 0

그런데

합수열과 일반항의 관계는

a_n = S_n - S_n-1  (2≤n)이고

만약

합수열 S₀ = 0이면

a_n = S_n (1≤n)

따라서

일반항

A(Y, 4) = S(Y, 4) - S(Y-1, 4)

즉

∴ A(Y, 4) = [Y]⁴ - [Y-1]⁴ 

또한

[Y]⁴ - [Y-1]⁴ = [Y - 4[Y-1]⁴]⁴ 

= 

[1 + (Y-1) - 4[Y-1]⁴]⁴ = [1+[Y-1]₄]⁴