기하학을 모르는 자, 이 문을 들어오지 말라

[dhleepaul]

기하학을 모르는 자는 내 집에 발을 들여 놓지 말라-

플라톤 아카데미는 '기하학을 모르는 자, 이 문을 들어오지 말라'

피타고라스 정리

정리

유클리드 기하학

다리 위의 두 정사각형(a와 b)의 면적의 합은 빗변(c)에 있는 정사각형의 면적과 같다.

a2 + b2 = c2

• 코사인 법칙
• 고체 기하학
• 비유클리드 기하학
• 미분 기하학

• 피타고라스 삼중
• 상호 피타고라스 정리
• 복소수
• 유클리드 거리
• 피타고라스 삼각법 등등

구를 평면에 투영하기

원론(The Elements 또는 기하학 원론) 또는 유클리드 원론(The Elements of Euclid)은 기원전 300년 무렵에 유클리드가 편찬한 기하학 책이다. 수학의 성과를 집대성하여 체계화한 수학의 고전으로, 평면 기하 6권, 수론(數論) 4권,[1] 입체 기하 3권으로 되어 있다. 총 13권이다.[2][3][4]
제1권 법칙33은 밑변 선분 CDCD가 선분 ABAB와 평행하고 그 길이가 같다면 또한 선분 ACAC가 선분 BDBD와 평행하고 그 길이가 같다는 평행사변형의 정리.
이것은 삼각형의 넓이 (12⋅밑변⋅높이)(21​⋅밑변⋅높이)는 사각형의 넓이의 1221​임을 말하며 유클리드 기하학의 주요 핵심이다.

제1권 법칙34는 밑변 선분 CDCD가 선분 ABAB와 평행하고 그 길이가 같다면 그리고 또한 선분 ACAC가 선분 BDBD와 평행하고 그 길이가 같다.(제1권 법칙 33)
이러한 평행사변형은 맞모금(또는 대각선) 선분 BCBC에 의해 이등분된다는 것이다.

제1권 법칙37은 대표적인 등적변형(equiareal transform)의 예이다. 밑변 선분 BCBC를 공통으로 갖는 두 삼각형 ABCABC와 DBCDBC가 그들의 윗 꼭짓점에서 서로 연결한 선분 ADAD가 밑변 선분 BCBC와 서로 평행하다면 제1권 법칙33에 의해서 선분 ADAD의 연장선인 선분 EFEF에서 역시 ACAC에 평행한 EBEB를 구할 수 있고 BDBD에 평행한 CFCF를 구할 수 있다. 따라서 제1권 법칙34에 의해서 평행사변형 ACBEACBE는 평행사변형 DBCFDBCF와 그 크기가 같고, 따라서 삼각형 ABCABC와 DBCDBC가 각각 사각형 ACBEACBE와 DBCFDBCF를 이등분한다는 것이다.

Triangles (ABC, DBC) on the same base (BC) and between the same parallels (AD, BC) are equal.

같은 밑변(BC)과 같은 평행선(AD, BC) 사이의 삼각형(ABC, DBC)은 같습니다. (제1권 법칙 37)

제1권 법칙47은 피타고라스 정리를 등적변형 및 평행사변형의 정리(제1권 법칙33,34,37등)를 사용하여 기하학적으로 설명하고있다.[5]선분 ACAC와 선분 AKAK가 그 길이에서 같고 선분 ABAB와 선분 AGAG가 또한 그 길이에서 같다. 따라서 삼각형 AKBAKB는 삼각형 AGCAGC와 같다.
계속해서 제1권 법칙37에 의해서 밑변 선분 AKAK를 공통으로 갖는 △AKB△AKB는 사각형인 평행사변형 AKHCAKHC를 이등분하는 크기의 삼각형이다.
또한 밑변 선분 AGAG를 공통으로 갖는 삼각형 AGCAGC는 사각형인 평행사변형 AGLOAGLO를 이등분하는 크기의 삼각형이다.
그리고 △AKB△AKB와 △AGC△AGC는 같다.
따라서 사각형 AKHCAKHC는 AGLOAGLO와 같고 이와같이 사각형 CBEDCBED는 BOLFBOLF와 같다.
따라서

□AKHC+□CBED=□AGLO+□BOLF□AKHC+□CBED=□AGLO+□BOLF

AC2‾+CB‾2=(AO‾+BO‾)2AC2+CB2=(AO+BO)2
AC‾2+CB‾2=AB‾2AC2+CB2=AB2

[1] 당시 수론은 현재의 정수론에 해당한다. 다만, 제10권에서는 22​ 등의 무리수도 등장하는데 약분 가능성(commensurability) 및 현대와 다른 무리수의 정의 등 현재의 기준으로 보면 이질적인 이론들이 다수 서술되어 있다.[2] 우리말샘[3] 프로젝트 구텐베르크 The Elements of Euclid by John Casey 1885 The First Six Books - https://www.gutenberg.org/ebooks/21076[4] [전집 총13권 3부작](archive.org) The thirteen books of Euclid's Elements by Euclid; Heath, Thomas Little, Sir, Volume 1 영문판 1908(1956) # Volume1(436P),Volume2(464P),Volume3(422P)[5] THE FIRST SIX BOOKSOF THEELEMENTS OF EUCLID,ANDPROPOSITIONS I.-XXI. OF BOOK XI.,AND ANAPPENDIX ON THE CYLINDER, SPHERE,CONE, ETC.,WITHCOPIOUS ANNOTATIONS AND NUMEROUS EXERCISES.BYJ O H N C A S E Y, LL. D., F. R. S.,프로젝트 구텐베르크 -https://www.gutenberg.org/ebooks/21076

기하학자들

수학에서 피타고라스 정리 또는 피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변 사이의 유클리드 기하학에서 근본적인 관계이다. 이 문서는 변이 빗변(직각과 반대편)인 정사각형의 면적이 나머지 두 변의 정사각형의 면적의 합과 같다고 말한다. [1]

이 정리는 변 a, b, 그리고 빗변 c의 길이를 나타내는 방정식으로 표현할 수 있으며, 때로는 피타고라스 방정식이라고도 불립니다:[2]a2+b2=c2.

이 정리는 기원전 570년경에 태어난 그리스 철학자 피타고라스의 이름을 따서 명명되었다. 이 정리는 여러 가지 방법으로 여러 차례 증명되었으며, 아마도 어떤 수학적 정리 중에서도 가장 많이 증명된 방법일 것이다. 증명은 기하학적 증명과 대수적 증명을 모두 포함하며, 일부는 수천 년 전까지 거슬러 올라갑니다.

해석기하학에서 유클리드 공간이 데카르트 좌표계로 표현될 때, 유클리드 거리는 피타고라스 관계를 만족한다: 두 점 사이의 제곱 거리는 각 좌표의 차이의 제곱 합과 같다.

이 정리는 여러 방식으로 일반화할 수 있다: 고차원 공간, 유클리드 공간이 아닌 공간, 직각삼각형이 아닌 객체, 그리고 삼각형이 아닌 n차원 입체의 객체로 다양하다.

역사

플림튼 322 점토판에는 바빌로니아 시대의 피타고라스 삼중형이 기록되어 있습니다. [3]

피타고라스 정리가 한 번만 발견되었는지, 아니면 여러 곳에서 여러 번 발견되었는지에 대해 논란이 있으며, 최초 발견 시기와 첫 증명 시기는 불확실하다. 이 정리의 역사는 네 부분으로 나눌 수 있다: 피타고라스 삼중항에 대한 지식, 직각삼각형의 변 간 관계에 대한 지식, 인접한 각 간의 관계에 대한 지식, 그리고 어떤 연역적 체계 내에서 정리의 증명.

기원전 약 1800년에 작성된 이집트 중왕국 베를린 파피루스 6619에는 두 개의 정사각형이 합쳐져 세 번째 정사각형이 되는 문제를 포함하고 있으며, 이 해법은 피타고라스 삼중형 6:8:10이지만, 이 문제에는 삼각형이 언급되지 않는다. [4] 플루타르코스에 따르면, 고대 이집트인들은 3:4:5 직각삼각형에 대해 알고 있었으며, 각각 오시리스, 이시스, 호루스의 변을 동일시했습니다. [5]

메소포타미아 수학 역사가들은 피타고라스 규칙이 고대 바빌로니아 시대(기원전 20세기부터 16세기까지)에 널리 사용되었으며, 이는 피타고라스가 태어나기 천 년 이상 전의 일이라고 결론지었다. [6][7][8][9] 기원전 약 1800년에 라르사 근처에서 작성된 메소포타미아 점토판 플림튼 322에는 15개의 서로 다른 피타고라스 삼중문자의 변과 대각선으로 해석될 수 있는 항목들이 포함되어 있다. [10] 비슷한 시기의 또 다른 석토판인 YBC 7289는 정사각형 또는 등변 직각삼각형의 대각선을 계산합니다. [11]

인도에서는 바우다야나 슐바 경전(Baudhayana Shulba Sutra)이 기원전 8세기에서 5세기 사이로 다양하게 연대를 기록하며[12] 피타고라스 삼중형의 목록과 피타고라스 정리의 진술을 포함하고 있습니다. 이는 이등변 직각삼각형의 특수한 경우와 일반적인 경우, 아파스탐바 슐바 경전(기원전 약 600년)도 마찬가지입니다. [a]

주비 수안경에서 나온 피타고라스 정리의 기하학적 증명

비잔틴 신플라톤주의 철학자이자 수학자 프로클로스는 서기 5세기에 "하나는 플라톤에게, 다른 하나는 피타고라스에게 귀속된",[14] 특수 피타고라스 삼중항을 생성하기 위한 두 가지 산술 규칙을 언급한다. 피타고라스(약 기원전 570년 – 약 495년)에게 귀속된 규칙은 홀수에서 시작하여 다리와 빗변이 한 단위 차이인 삼중형을 만듭니다; 플라톤(기원전 428/427년 또는 424/423년 – 기원전 348/347년)에게 귀속된 규칙은 짝수부터 시작하여 다리와 빗변이 두 단위 차이인 삼중형을 산출한다. 토머스 L. 히스(1861–1940)에 따르면, 피타고라스가 살은 후 5세기 동안 남아 있는 그리스 문헌에는 이 정리를 피타고라스에게 구체적으로 귀속시키지 않는다. [15] 그러나 플루타르코스와 키케로와 같은 저자들이 이 정리를 피타고라스에게 귀속시킬 때, 그 귀속이 널리 알려져 있고 의심받지 않았음을 시사한다. [16][17] 고전학자 쿠르트 폰 프리츠는 "이 공식이 피타고라스 개인에게 정당하게 귀속되는지 여부는 ... 이것이 피타고라스 수학에서 가장 오래된 시기에 속한다고 안전하게 추정할 수 있다." [18] 기원전 300년경, 유클리드의 『원론』에서는 이 정리의 가장 오래된 공리적 증명과 함께 모든 원시 피타고라스 삼중을 생성하는 유클리드의 공식이 제시되었다.

내용이 훨씬 이전부터 알려져 있으나, 기원전 1세기경의 현존하는 문헌들에서는 중국 문헌 『주비전(周髀算经)』(『노비 산전과 천의 원문』)이 피타고라스 정리(3, 4, 5) 삼각형에 대한 이유를 제시한다. 중국에서는 이를 '勾股定理'라고 부른다. [20][21] 한나라(기원전 202년부터 서기 220년까지) 동안 피타고라스 삼중형은 『수학 예술에 관한 아홉 장』에 등장하며,[22] 직각삼각형에 대한 언급도 함께 나온다. [23] 일부는 이 정리가 기원전 11세기 중국에서 처음 등장했다고 믿으며,[24] 여기서 "상고정리"(商高定理)라고도 불리는데, 이는 주비 수경에 실린 대부분의 내용을 구성한 주공의 천문학자이자 수학자인 주공의 이름을 따서 명명되었다. [26]

구성 정사각형을 이용한 증명

피타고라스 정리의 재배열 증명.
(삼각형의 이동 재배열 동안 백란 공간의 면적은 일정하게 유지된다. 모든 순간에 그 영역은 항상 c2입니다. 마찬가지로, 모든 시점에서 면적은 항상 a 2 + b2이다.)

재배열 증명

한 재배치 증명에서는 변이 다음과 같은 측도를 가진 두 개의 정사각형을 사용합니다. a+b

 그리고 변이 a, b, c인 네 개의 직각삼각형을 포함하며, 이들은 각변이 c이다. 오른쪽 정사각형에서는 삼각형의 모서리가 삼각형의 직각과 일치하도록 배치하여, 중심에 변이 c인 정사각형을 형성합니다. 각 외부 정사각형의 면적은 (a + b)²와 2ab + c2이며, 2ab는 네 삼각형의 총 면적을 나타냅니다. 왼쪽의 큰 정사각형 안에서 네 개의 삼각형이 이동되어 변이 a와 b인 두 개의 유사한 직사각형을 형성합니다. 이 직사각형들은 새 위치에서 두 개의 새로운 정사각형을 구분했는데, 하나는 왼쪽 하단에 변길이 a를 가지고, 오른쪽 상단에는 변길이 b의 또 다른 정사각형이 형성됩니다. 이 새로운 위치에서 이 왼쪽 면은 면적이 (a + b)²인 정사각형과 2ab + a2 + b2가 있습니다. 두 정사각형의 면적이 (a + b)²이므로, 정사각형 면적의 다른 측도도 서로 같아 2ab + c2 = 2ab + a2 + b 2가 된다. 방정식 양쪽에서 네 개의 삼각형의 면적을 제거하면 남는 것은 2 + b2 = c2입니다. [27]

또 다른 증명에서는 두 번째 상자의 직사각형을 배치하여 두 칸 모두 하나의 모서리가 사각형의 연속된 모서리에 해당하도록 할 수 있습니다. 이렇게 하면 이번에는 연속된 모서리에 두 개의 상자가 형성되고, 면적은 a, 2, b, 2는 다시 두 번째 칸으로 이어집니다. 이 칸은 면적이 2ab + a2 + b2입니다.

영국 수학자 토머스 히스 경은 유클리드의 『원론』 1.47 명제 주석에서 이 증명을 제시하며, 독일 수학자 칼 안톤 브레츠나이더와 헤르만 행켈이 피타고라스가 이 증명을 알고 있었을 가능성을 언급한다. 히스 자신은 피타고라스의 증명에 대한 다른 제안을 선호하지만, 논의 초반부터 "우리가 피타고라스 이후 처음 5세기 동안 보유한 그리스 문학에는 그에게 이 위대한 발견이나 다른 어떤 위대한 발견을 명시하는 진술이 없다"고 인정한다. [28] 최근 학계에서는 피타고라스가 수학 창조자로서 어떤 역할을 했는지에 대해 점점 더 의문이 제기되고 있지만, 이에 대한 논쟁은 계속되고 있다. [29]

대수적 증명

두 대수 증명의 도표

이 정리는 다이어그램 하단에 나타난 것처럼 변이 c인 정사각형을 대칭적으로 둘러싼 네 개의 동일한 삼각형을 대칭적으로 배치하여 대수적으로 증명할 수 있다. [30] 이로 인해 변이 a + b, 면적이 (a + b)²인 더 큰 정사각형이 됩니다. 네 개의 삼각형과 정사각형 변 c는 더 큰 정사각형과 같은 면적을 가져야 한다.(b+a)2=c2+4ab2=c2+2ab,

주기c2=(b+a)2−2ab=b2+2ab+a2−2ab=a2+b2.

유사한 증명은 변이 a, b, c인 직각삼각형의 네 개의 복사본을 다이어그램 상단 절반처럼 변이 c가 있는 정사각형 안에 배열하는 경우입니다. [31] 이 삼각형들은 면적과 유사합니다⁠1/2⁠AB, 작은 정사각형은 변이 b − a이고 면적은 (b − a)²이다. 따라서 큰 정사각형의 면적은 다음과 같다.(b−a)2+4ab2=(b−a)2+2ab=b2−2ab+a2+2ab=a2+b2.

하지만 이 정사각형은 변이 c이고 면적이 c는 2입니다.c2=a2+b2.

정리의 다른 증명들

이 정리는 다른 어떤 정리보다 더 많은 증명을 가지고 있을 수 있다(이차 상호성의 법칙도 그 구분의 또 다른 후보이다); 『피타고라스 명제』라는 책에는 370개의 증명이 포함되어 있다. [32]