순환소수

[유토피아]

순환소수란 소수점 아래 어떤 자리부터 일정한 숫자 배열이 한없이 반복되는 무한소수이다

쳇바퀴처럼 돌고 도는 소수

분수를 소수로 고치면 몇 가지 재미있는 사실을 발견할 수 있어요. 와 같이 분모가 자연수 2 또는 5의 곱으로 표현되면 딱 떨어지는 소수로 표현할 수 있지만,

예를 들어, 은 3이 계속해서 반복되고

순환소수

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같은 수가 반복되는 경우에는

순환소수

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순환소수는 영국의 수학자 윌리스에 의해 처음 소개되었답니다.

1 나누기 7을 하면,

 

100 m 기록과 소수

1960년 역사상 처음으로 아르민 하리가 100m를 10.0초로 달린 이후 100m기록은 계속 경신됐다. 1988년 서울 올림픽에서는 칼 루이스가 9.92초에 달렸으며 현재 최고 기록은 우사인 볼트의 9.58초이다.

생활 속 순환소수

분수

① 분수
② 분수

 

분수 를 소수로 나타내면

로 소수점 아래 자리에서 45가 한없이 되풀이된다.

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무한소수 중에는 0.45454545…와 같이 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수가 있다. 이러한 소수를 순환소수라고 한다.
이때, 숫자의 배열이 되풀이되는 가장 짧은 한 부분을 순환마디라고 한다.
순환소수는 그 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 간단히 나타낸다.
예를 들어, 순환소수 0.45454545…는 순환마디가 45이고

로 나타내고 이들 소수의 순환마디는 차례대로 6, 36, 281이다.

문제를 풀기 위한 해법 (1)

다음 중 순환소수를 간단히 나타낸 것으로 옳은 것은?
①
②
③
④
⑤

순환소수는 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다.

② 0.5444…의 순환마디가 4이므로
③ 2.323232…의 순환마디가 32이므로
④ 8.37666…의 순환마디가 6이므로
⑤ 0.321321321…의 순환마디가 321이므로
따라서 옳은 것은 ① 이다.

소수점 아래에서 숫자 배열이 반복되는 부분, 즉 순환마디를 찾는다.

문제를 풀기 위한 해법 (2)

이 순환소수일 때, 다음 중 x값으로 알맞은 것은?
① 2　　② 3　　③ 6　　④ 7　　⑤ 9

기약분수로 나타내어 분모에 2나 5이외의 소인수가 있도록 한다.

① x = 2 일때 → 유한소수
② x = 3 일때 → 유한소수
③ x = 6 일 때 → 유한소수
④ x = 7 일 때 → 순환소수
⑤ x = 9 일 때 → 유한소수
따라서 답은 ④ 이다.

문제를 풀기 위한 해법 (3)

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
⑴ 　　⑵

순환소수의 크기를 비교할 때는 순환마디를 나열하여 직접 비교한다.

⑴ 에서
두 수는 소수점 아래 셋째 자리부터 숫자가 다르다.
이때 23 〈 33이므로

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⑵ 에서
두 수는 소수점 아래 다섯째 자리부터 숫자가 다르다.
이때 35 〈 53이므로

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소수 부분을 풀어 써서 각 자리의 숫자를 비교하거나 분수로 고쳐 비교한다.

문제를 풀기 위한 해법 (4)

분수와 소수의 크기를 비교할 때는 분수 또는 소수 중 한 가지로 나타낸다.

이므로
이때 이 범위에 있는 한 자리의 자연수는 4이므로 x = 4 이다.

* 　　* 　　*

관련문제

난이도 하 01.다음 순환소수의 순환마디를 말하고, 점을 찍어 간단히 나타내어라.

⑴ 0.333…
⑵ 3.2777…
⑶ 2.808080…
⑷ 1.432432…

정답 및 해설

정답

⑴ 3,
⑵ 7,
⑶ 80,
⑷ 432,

난이도 하 02.순환소수 정답 및 해설

정답

2

해설

순환마디가 025이므로 소수점 아래의 숫자는 세 자리마다 반복된다. 이때, 62 = 3 × 20 + 2 이므로 소수점 아래 62번째 자리의 숫자는 순환마디의 2번째 숫자인 2이다.