1)기하학적 접근 준식의 양변을 2로 나누면 {f(a-x)+f(a+x)}/2=b이므로 (a-x,f(a-x))와 (a+x,f(a+x))의 중점이 (a,b)라는 뜻이 됩니다. 따라서 모든 실수 x에 대해서 이 성질이 성립하려면 f(x)의 그래프는 (a,b)에 대해 점대칭인 형태여야 합니다.
2) 대수학적 접근 a-x=t로 치환하면 준식은 f(t)+f(2a-t)=2b이므로 f(t)=f(2a-t)+2b가 됩니다. 대칭이동 개념에서 y=f(t)를 (a,b)에 대해 대칭이동하면 y=f(2a-t)+2b로 준식의 우변과 같습니다. 즉, 우변은 f(t)의 그래프를 (a,b)에 대해 대칭이동한 것이고 좌변은 그냥 f(t)이므로 f(t)를 (a,b)에 대해 대칭이동한 결과가 대칭이동 하기 전과 같다는 뜻이 됩니다. 이 조건을 만족하려면 f(t)는 처음부터 (a,b)에 대해 점대칭인 모양일 수 밖에 없으므로 위와 같은 결론이 나옵니다.
첫댓글 결론적으로는 f(a-x)+f(a+x)=2b 이면 f(x)는 (a,b)에 대한 점대칭이란 개념입니다.
그림으로 해보셔도 되고 식으로도 보일 수 있습니다. 지금 하는 것좀 정리하고 설명해드리겠습니다.
1)기하학적 접근
준식의 양변을 2로 나누면 {f(a-x)+f(a+x)}/2=b이므로
(a-x,f(a-x))와 (a+x,f(a+x))의 중점이 (a,b)라는 뜻이 됩니다.
따라서 모든 실수 x에 대해서 이 성질이 성립하려면 f(x)의 그래프는 (a,b)에 대해 점대칭인 형태여야 합니다.
2) 대수학적 접근
a-x=t로 치환하면 준식은 f(t)+f(2a-t)=2b이므로 f(t)=f(2a-t)+2b가 됩니다.
대칭이동 개념에서 y=f(t)를 (a,b)에 대해 대칭이동하면 y=f(2a-t)+2b로 준식의 우변과 같습니다.
즉, 우변은 f(t)의 그래프를 (a,b)에 대해 대칭이동한 것이고 좌변은 그냥 f(t)이므로
f(t)를 (a,b)에 대해 대칭이동한 결과가 대칭이동 하기 전과 같다는 뜻이 됩니다.
이 조건을 만족하려면 f(t)는 처음부터 (a,b)에 대해 점대칭인 모양일 수 밖에 없으므로 위와 같은 결론이 나옵니다.