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혹은
양변에 -1을 곱하면
시그마(∑)에 대한 새로운 기호를 정의하여
독자적으로 만들어 낸
위 합의공식은
특정한 유형의 수학문제를
쉽게 해결할 수 있는
아주 유용한 공식입니다.
아래의 수식 또한
위 합의공식을 이용하여
만들어졌습니다.
| 1 | × | 2 | × | 3 | × | 4 |
+ | 2 | × | 3 | × | 4 | × | 5 |
+ | 3 | × | 4 | × | 5 | × | 6 |
+ | 4 | × | 5 | × | 6 | × | 7 |
+ | 5 | × | 6 | × | 7 | × | 8 |
= | 6 | × | 7 | × | 8 | × | 9 |
뭔가...
신비로운 수식처럼
느껴지지 않나요?
◐ 공부합시다 ◑
합의 공식에 사용하는
수학 기호 시그마(∑)에 관한
새로운 정의가 필요합니다.
가령 수열의 일반항 f(n)에 대하여
제3항부터 제10항까지의 합은
다음과 같이 표현합니다.
이제
제가 필요해서
새로 만든 시그마(∑) 기호를
소개하겠습니다.
이를테면
제3항부터 올라가면서 4개 항의 합을
구하고 싶다면
다음과 같이 표현하기로 합니다.
마찬가지로
제10항부터 내려오면서 6개 항의 합을
구하고 싶다면
다음과 같이 표현하기로 합니다.
이제
새로운 시그마(∑) 기호의 사용법에 대해 알게 되었으니
[재후의 합의공식]을 증명해보겠습니다.
재후의 합의공식
(증명)
적당히 조정하면...
제3항부터 제10항까지 8개 항의 합은
제1항부터 제8항까지 8개 항의 합으로
바꾸어 표현할 수 있을 것입니다.
이와같이
시작과 끝을 조정할 수 있는
시그마 관련 식은 다음과 같습니다.
따라서
¶ (증명 끝)
※ 참고:
(f(k+c): 위에서 c개 항의 합) - (f(k): 아래에서 c개 항의 합)
재후의 합의공식
이용 사례
①
제1항 f(1) = a, 공차 d인 등차수열의 일반항:
등차수열의 점화식:
f(k+1) - f(k) = d
위 점화식의 양변에
시그마를 다음과 같이 취하면...
②
제i항 f(i), 공차 d인 등차수열의 일반항:
등차수열의 점화식:
f(k+1) - f(k) = d
위 점화식의 양변에
시그마를 다음과 같이 취하면...
③
부분분수의 합:
④
윤일의 합:
아래 f(Y)는
Y가
윤년이면 1
평년이면 0
f(Y) = ([Y]4 - [Y-1]4) - ([Y]100 - [Y-1]100) + ([Y]400 - [Y-1]400)
이제
[재후-그레고리력에서]
1년부터 2020년까지
윤일의 총합을 구해보면
∑f(Y)
=
∑([Y]4 - [Y-1]4) - ∑([Y]100 - [Y-1]100) + ∑([Y]400 - [Y-1]400)
=
([2020]4 - [0]4) - ([2020]100 - [0]100) + ([2020]400 - [0]400)
=
505 - 20 + 5
=
480 (일)
⑤
등차수열의 합:
(k+1)k - k(k-1) = 2k
양변에 ∑를 취하면
n(n+1) - 1(1-1) = 2∑k
∴ ∑k = n(n+1) / 2