예제 47, 유제 4-35 최대크기원리

[묘묘묙]

질문2) 예제47에서 f=g/z^3 으로 두면 f는 0에서 문제가 될 수 있는 가능성이 있고 즉 |z|<r 에서 해석적이라고 보장할수 없기때문에 최대크기정리에의해 바로 (*)이라고 풀이하는데 문제가 있지 않나요? 아니면 g가 유계라서 f도 0<|z|<r에서 유계&해석적이기때문에 리만정리에 의해 |z|<r에서 해석적 이라는 사실이 생략되어있는건가요??
(+) 문제를 다시 읽어봤는데 예제47은 f가 애초에 D에서 해석적이네요… 죄송합니다ㅠ 만약 이런 조건이 없을때라면 바로 정리 적용이 불가한거죠?

질문3) 유제 4-35에서는 영점인 z=pie*i/2 를 아예 D에서 제외한 영역을 새로운 영역으로 잡아서 그 영역에서 최대크기원리를 사용했는데 위 예제랑 차이가 생기는 이유가 뭘까요…?(영점을 포함하지않고 굳이 뺀 이유) 별개로 이 유제에서도 f/(ez-i) 에 대해 리만정리를 적용하면 D에서 해석적이라는 결론은 얻을 수 있나요?

[수정과]

①, ② 네. 해당 조건(f가 D에서 해석적)이 없으면 바로 최대크기원리를 적용할 수 없습니다.
③ 필수예제 47에서 최대크기원리를 적용하려는 함수는 f이고 이는 D 전체에서 해석적이므로 굳이 원소를 빼고 새로운 영역을 고려할 필요가 없습니다. 그러나 유제 4-35은 최대크기원리를 적용하려는 함수가 g=f/(e^z-i)입니다. (유계 조건을 찾기 위해서는 부등식의 양변을 나눠야 함) 그러므로 g가 정의되지 않는 점을 제외한 D-{πi/2}에 대해 최대크기원리를 적용하던가 리만정리로 g를 확장해서 D 전체에서 해석적인 함수 h로 접근하던가 해야합니다.