전자기학 가우스법칙증명 어떻게 해요?

[바람風]

  좀 붕 뜨게 말하는거 같지만 ;

   구 인 경우에는 E x A = q / ε0 에서 A 는 4파이r제곱 이고 E 는 q / 4파이ε0 r제곱 에서

    계산을 하면 q / ε0  가 나오긴 하지만

  일반적인 폐곡면에서 증명하는 방법을 알고 싶어서요

[변신항아리™]

그건 면적분을 알아야 하겠죠?? 일반물리 수준에서는 아마 가우스 곡면을 대칭으로 두어서 나올수 있는 경우만 나올껍니다.

[엑스피씨디]

그리피스 전자기학 책을 보면, 본문내용은 말로만 장황하게 설명하죠..허나...힌트는...1장 뒤에 문제를 보면, 반구 그림같은게 나옵니다. 어떤 loop를 통과하는 flux는 그 loop로 만들어진 임의의 면을 통과하는데 그 임의의 면을 전부 적분하면 루프를 통과하는 플럭스와 같다라는 거죠. 이것을 가우스 법칙에 확장시켜 생각하고, 필요하면 수식으로도 나타낼 수 있는데, 여튼 가우스 법칙을 수학적으로 증명이 되는거죠.

[김률]

일반적인 경우의 가우스 법칙은 Stoke's theorem으로 부터 증명이 됩니다. 이 theorem은 임의의 n 차원 적분을 n-1 차원 적분으로 줄여주는 아주 파워풀한 정리입니다. 자세한 내용은 네이버같은데 검색하시면 금방 찾을 수 있을겁니다. ^^

[두리둥실]

착각하신 것 같은데요... 스토크스 정리가 아니라 발산정리(divergence theorem, 또는 가우스 정리(Gauss's theorem) -_-;라고도 하죠)일텐데요. 게다가 발산정리만으로 가우스법칙이 증명되던가요?

[엑스피씨디]

착각은 아닌 것 같은데요. 제가 전에 배울 땐 수학적 증명방법이 다소 복잡해서 딱히 무슨 theorem이라고 말할 수는 없었는데, 책에서 말은 Gauss 정리라고 하더군요. 지금 어렴풋 드는 생각으론 가우스 법칙이 스톡스 정리로부터 정리 될 것 같습니다. ^^

[밝히리]

가우스 법칙은 미분기하학에서 말하는 가우스-보넷 정리와 매우 비슷해요. 제 추측으로는 가우스 법칙은 가우스-보넷 정리의 따름정리로 나온 것 같습니다.

[김률]

두리둥실님이 착각하고 계신것 같습니다. stoke's theorem은 더욱 일반적인 정리이고.. divergence theorem은 stoke's theorem의 일반적인 경우 (즉, n-dim space에서 n차원 manifold와 n-1차원 manifold사이의 적분을 연결시켜주는...)에 지나지 않죠. 학부 수학과 4학년 과목으로 differential geometrty라는 것이 있는데, 관심 있으시면 공부하세요~ ^^;

[김률]

n차원 stoke's theorem을 사용하면 n-dim space 에서의 gauss law 를 유도할 수 있습니다. 우리가 알고 있듯이, 어떤 물체 주위의 gravitational filed는 그 물체의 질량이 어떤 한 점에 모여있다고 가정하고 푼 것과 동일한 결과를 줍니다. 이러한 성질이 n-dim space에서도 성립하기 위해서는 n-dim space에 살고 있는 사람들이 느끼는 중력 은 거리의 몇승분의 1이 되어야 할까요? ^^ 한번 생각해보세요~