72의 법칙

[황박사]

72의 법칙

복리의 이율로 어떤 금액의 가치가 2배로 증가하기까지 걸리는 시간을 간단히 구할 수 있는 마법의 법칙. 예를 들면, 100만원을 연 5%(세후 수익율)로 저축해 200만원을 만드는 데 걸리는 시간은 72÷5=14.4년이 걸린다는 것이다. 10% 수익율이라면 72÷10=7.2년이 걸린다. 반대로도 사용할 수 있는데, 100만원을 n년 후에 200만원으로 만들고싶다면 (72÷n)%의 수익률로 투자하여야 한다. 사용할 때는 0.72/r(이자율) 혹은 72/R(퍼센트로 고친 이자율)이라는 것에 주의하자. 즉, 10%의 이자율이라면 72/0.1이 아니라 72/10 이다.

69의 법칙, 70의 법칙으로도 불린다. 물론 다른 이름으로 부를 시에는 공식에 사용되는 수도 바뀐다. 그 본질은 경제학에서 이자율에 따라 재산(혹은 GDP)이 2배가 되는 기간을 간편하게 구하는 것으로, 72/(이자율)로 계산할 수 있다.

증명은 매우 쉬운데,

2 = (1 + r)^t 혹은 ln 2 = t * ln (1 + r).

ln2 = 0.693....이고
ln (1 + r) = r - (r^2)/2 + (r^3)/3 -... [2]
따라서 r이 0에 근접할수록 ln (1 + r)은 r에 대차없게 된다.

0.69 / r = 69 / (100r) = 69 / R 가 거의 t에 근접한다. (단, R = 100r)

보통 이자율이 매우 작으면 69가 잘 맞고, 보통 70, 커질 수록 72에 맞게 되지만 사실 별 차이는 없다. 어차피 이 식의 목적은 대강 언제쯤 가치가 2배가 되는지를 어림짐작하는 것이기 때문에(정확한 값을 알고 싶다면 계산기 잠깐 두들겨서 쉽게 구할 수 있다.) 어느정도의 오차는 허용된다. 오히려 69보다는 70이나 72가 잘 나누어떨어지기 때문에 그 쪽이 많이 쓰이는 듯 하다.

이자율이 상당히 큰 경우도 비슷하게 적용된다. 연 100% 이자율인 경우 8개월 보름 정도면 원금이 두배가 된다는 결과인데, 실제로 월 복리 8.33%면 8~9개월 즈음에 원금이 두 배가 된다.

이 경우 ln (1 + r)을 3차까지 테일러 근사해서 공식을 조정해주면 상당히 정확해진다.
t = (69.3/R) * {(600 + 4R)/(600 + R)} (단, R = 100r)
100% 이자율하에서 원금이 2배되는데 0.99년, 거의 1년이라는 정답이 나온다. Much Ado About Nothing

참고로, 주요 연이자율 별 2배가 되는 기간

1% : 69.7년
2% : 35.0년
3% : 23.4년
5% : 14.2년
7% : 10.2년
8% : 9.0년
10% : 7.3년

이 근사적 공식은 몇가지 개(槪)산에 응용될수도 있다.
예컨대 영원한 떡밥인 한국 경제규모가 일본의 그것을 능가하는 시점은 몇년뒤인가...

한국의 경제규모가 일본의 1/4 라고 하자. 물론 그보다 더 작다. 그리고 한국의 경제성장률이 5%에 일본의 경제성장률이 1%이고 이것이 계속 지속된다고 가정하자. 인구증가율, 물가상승률, 환율상승률은 양국간에 동일하다고 친다.

이 문제는 근사적으로 한국경제가 4%(= 5% - 1%) 성장할때 경제규모가 4배가 되는 시점을 묻는 것과 동일하다.
4% 성장률에서 경제규모가 두배가 되는데 70의 법칙에 의해 약 17.5년이 걸리므로 경제규모가 4배가 되는데는 35년이 걸릴 것이다.

한국의 일인당 GDP가 일본의 반이고 양국의 성장률 차이가 위와 같다면, 양국의 일인당 GDP는 17.5년이면 같아질 것이다.

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• [1] 해당 캐릭터 항목 참조.관련 라디오에서 실제 이 법칙과 캐릭터를 연관시킨 사연 이야기가 나오기도 했다.
• [2] 이는 테일러 전개를 통해 근사한 것이다.

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