루트2 는 무리수?

[귀뚜라미]

 

무리수, 두 정수의 비로 쓸 수 없는 수

글을 쓰고 있는 피타고라스. 라파엘로의 그림

√2가 무리수라는 것을 보여주는 가장 흔한 증명

√2는 대수적 무리수이다

 

유한 단계의 연분수는 유리수이다, 그러면 무리수는?

(단순)연분수란 주어진 수를 ‘정수부분과 소수부분으로 쪼갠 뒤, 소수부분이 0이 아닐 경우 소수부분의 역수를 다시 정수부분과 소수부분으로 쪼개는 과정’을 반복해서 얻는 수식을 말한다. 예를 들어 유리수 90/17을 생각하자. 이 수를 정수부분과 소수부분으로 쪼개보자.

 

이제 소수부분만 떼어 내, 역수 17/5을 역시 정수부분과 소수부분으로 쪼개 보자.

마찬가지로 소수부분의 역수인 5/2를 정수부분과 소수부분으로 쪼개 쓰자.

   

마지막으로 소수부분의 역수 2/1를 역시 쪼개 보자. 이제 소수 부분이 0이 되어 네 단계에 끝난다.

 

이 과정을 한꺼번에 쓰면 아래와 같은데, 이를 연분수로 나타냈다고 말한다. 

 

아무 유리수나 주고 위의 과정을 적용하면 유한 단계에 끝날 수밖에 없는데, 중간 단계에 등장하는 소수부분의 (위의 예에서는 5/17, 2/5, 1/2) 분모와 분자가 갈수록 작아지기 때문이다. 사실 에르되시(Paul Erdős, 1913-1996)는 ‘유한 단계에 끝나는 연분수가 유리수라는 것은 어린이도 이해할 수 있다’고 말할 정도였는데, 정말로 그러한지는 독자들이 판단할 문제이다.

연분수를 써서 √2가 무리수임을 증명하자

연분수를 이용하면 근삿값을 쉽게 찾을 수 있다

 

글 정경훈 / 서울대 기초교육원 강의교수

서울대학교 수학과에서 학사, 석사, 박사를 받고, 포항공대, 연세대, 위스콘신대, 서울대에서 박사후 과정을 밟았다. 현재 서울대 기초교육원 강의교수이다.