[문과 남자의 과학 공부] 5~6장

[마루]

[문과 남자의 과학 공부] 5~6장

5장. 우리는 어디서 왔고 어디로 가는가 (물리학)

(불확정성 원리) 불확정성 원리에 따르면 입자의 운동량과 위치를 동시에 알수 없다. 그것은 세계에 대한 인간의 인식능력의 한계를 보여주는 증거로 해석하면 인문학과의 관계가 생겨난다. 수소 원자은 핵에 양성자가 하나 있고 그 바깥에 전자가 하나 있는게 전부다. 전자는 원자핵 주변을 둘러싼 구름 형태로 분포한다. 구름의 밀도는 그 위치에서 전자를 발견할 확률을 나타낸다. 핵에서 멀어질수록 구름 밀도는 낮아진다. 전자가 이런 식으로 분포한 것을 오비탈이라고 한다. 양자역학은 우리가 사물에 대해 완전한 지식을 가질 수 없음을 증명하지 않는다. 반대로 양자역학은 우리가 진정 알 수 있는 것이 무엇인지 보여준다.

이중 슬릿 실험-하나의 전자가 파동처럼 두 슬릿을 다 통과하지 않는다면 나올 수 없는 결과. 실험 결과는 전자는 입자이고 파동이다로 해석. 실험을 사진으로 찍자 줄무늬가 두개가 생김. 전자는 누가 보면 입자였지만 아무도 보지 않으면 파동이었다. 빛도 전자와 마찬가지로 파동이고 입자. 입자는 운동량이 있다. 가시광선 영역 빛 입자의 운동량은 날아가는 모기 운동량의 1/1024 정도. 전자의 질량은 9/1028 그램에 불과. 전자의 위치를 알려고 빛 입자를 전자에 충돌시키면(전자를 관찰하면) 전자의 운동량이 달라진다. 정확하게 측정하려면 파장이 짧은 빛을 써야 하는데 파장이 짧을수록 빛 입자의 운동량이 큼. 따라서 위치가 정확해지면 운동량이 불확실해지고 운동량이 확실해지면 위치가 부정확진다. 따라서 전자의 운동은 확률로 기술할 수밖에 없다.

슬릿A를 지나는 상태와 슬릿B를 지나는 상태가 하나의 양자에 동시에 존재하는 것을 양자 중첩quantum super-position이라고 함.

(상대성이론) 뉴턴의 만유인력 공식 F=G*m1m2/d2 (F는 인력, d는 거리, m1m2는 두 물체의 중량, G는 중력상수)

G=6.67430(15)×10－11N⋅m2kg−2

우리는 이것이 완전한 진리를 서술하지 않는다는 것을 안다. 입자가 활동하는 미시세계에서는 작동하지 않으며 거시세계를 다 설명하지도 못한다. 양자역학이나 아인슈타인이 상대성이론을 내놓기 전에는 그런 한계가 있다는 것을 몰랐다.

아인슈타인은 고전역학이 거시세계의 운동을 대체로 정확하게 설명하고 예측하지만 특정한 조건 아래서만 그렇다는 사실을 증명함. E=mc2 빛의 속도는 초속 30만 킬로미터. 음속의 무려 90만배. 이 공식에 따르면 질량 1그램인 물질은 어떤 물질이든 보통 규모 핵발전소 하루 발전량과 맞먹는 에너지로 바뀔수 있다. 히로시마와 나사사키에 떨어진 핵폭탄에서 에너지로 변한 질량은 1퍼센트도 되지 않았다. (동명의 책에서 나치에 협력한 하이젠베르크가 얼마나 집요하게 핵폭탄을 개발하려 했는지 구체적으로 서술함)

절대온도 0도는 모든 입자의 운동이 멈추는 온도로 섭씨 -273.15도에 해당. 그보다 낮은 온도는 물리계에 존재하지 않는다. 아인슈타인의 세계는 속도와 스케일이 다르다. 움직이는 물체가 빛의 속도에 접근하면 크기가 줄어들고 시간은 느려진다. 가속에 쓴 에너지가 질량으로 바뀌어 물체의 질량이 증가한다. 중력은 힘이 아니라 시공간을 휘게 만드는 방식으로 존재한다. 빛은 직선으로 달리다가 별 가까이에서 휜다. 별이 물체를 끌어당겨서가 아니라 중력이 시공간을 구부렸기 때문이다. 뉴턴의 중력법칙은 시공간의 곡률이 매우 작을 때는 잘 들어맞지만 곡률이 크면 어긋난다.

아인슈타인은 중력이 없는 상황에서 공간 시간 물질을 다루는 특수상대성이론을 먼저 세웠고 10여년 후에 중력을 고려한 일반상대성이론을 정립했다. 아인슈타인의 이론을 검증하려면 행성 별 블랙홀 같은 천문학적 스케일의 공간과 시간이 필요하다. 천문학자들은 관측 자료와 이론의 예측치를 비교하는 방법으로 상대성이론을 검증했다.

행성의 공전궤도는 타원이다. 행성의 공전궤도에서 태양과 가장 가까운 곳을 근일점이라고 한다. 공전궤도의 장축 방향이 조금씩 바뀌기 때문에 근일점도 매우 느리게 태양 주위를 이동한다. 일반상대성이론을 이용해 계산한 수성의 근일점 이동 추정 값은 관측 값과 일치했다. 반면 고전역학으로 추정한 값은 100년에 43아크초(1아크초는 1/3,600도) 정도 오차 발생.

지구 자전 속도 초속 465미터. 공전 속도 초속 30킬로미터. 태양의 공전 속도는 초속 200킬로미터. 자동차 내비케이션은 위성 24개를 연결한 위성항법장치가 보내는 신호를 이용해서 현제 위치를 파악. 시속 110킬로미터로 주행할 때 오차범위를 몇 미터로 하려면 위성이 송출하는 신호를 25나노초(10억분의 25초)안에 포착해야 함. 특수상대성이론에 의하면 위성의 원자시계는 지상의 시계보다 하루에 7마이크로초(100만분의 7초)씩 뒤쳐짐. 일반상대성이론에 따르면 그 원자시계는 지구 중력 때문에 하루 45마이크로초 빨라짐. 종합하면 위성의 원자시계는 지상의 시계보다 하루 38마이크로초 빨라짐. 위성항법장치가 감내할 수 있는 오차 25나노초보다 무려 1,500배나 됨. 뉴턴 역학으로 위치를 계산하면 내 차가 시속 110킬로미터로 달릴 경우 하루에 10킬로미터씩 오차가 생김. 유럽이라면 며칠 안에 다른 나라에 갈 판.

(별에서 온 그대) 사람의 몸을 원자 단위로 분해하면 산소 탄소 수소 질소 칼슘 인이 질량의 99%를 차지함. 이론만 보면 원자 제조법은 간단하다. 양성자와 중성자를 좁은 공간에 집어넣고 전자를 양성자 수만큼 오비탈에 뿌리면 된다. 양성자와 전자의 수가 같아야 한다는 것 말고 달리 고려할게 없다. 그러나 양성자와 중성자를 핵에 욱여넣으려면 엄청난 온도와 압력이 필요. 지구에는 그런 장소와 방법이 없음. 그래서 우리 몸을 이루는 원자는 지구 밖에서 왔다.

빅뱅 직후 양성자와 중성자를 비롯한 입자가 생겼다. 그 입자들이 높은 온도와 압력을 받아서 주기율표 첫 주기의 수소와 헬륨이 되었다. 태양은 젊은 별이다. 빅뱅 이후 90억 년도 더 지나서 태어났다. 태양은 약 45억 년을 살았고 그보다 조금 긴 생애를 앞두고 있다. 우주 구름이 뭉쳐 태양이 될 때 떨어져 나간 물질 가운데 수소 헬륨 메탄 암모니아처럼 가벼운 것들은 멀리서 모여 가스형 행성인 목성 토성 천왕성 해왕성이 되었고 철 니켈 알류미늄처럼 무거운 원소들은 태양 가까운 곳에서 바위형 행성인 수성 금성 지구 화성을 만들었다.

지구는 형성 초기에 큰 행성과 부딪친 충격으로 자전축이 공전면에 대해 약 23.5도 기울어져 사계절이 생겼고 떨어져 나간 물질은 달이 되었다. 수억년 동안 유성이 비처럼 쏟아져 물이 끓었다 식기를 되풀이했다. 유성우가 그쳐 바다가 어는 정도 안정 상태에 들아서자 최초의 생명이 출현했고 이후 35억 년이 지나 호모 사피엔스가 나타났다.

(양자역학, 불교, 유물변증법) 불교는 우주의 모든 것에 신성이 깃들어 있다고 보는 범신론, 자연법칙을 신의 자리에 올려두는 이신론에 가깝다. 석가모니는 존재의 이유와 삶의 의미를 탐색한 끝에 인간 이성과 자연법칙 말고는 모든 것이 헛되다는 결론에 도달한 철학자였다.

<아인슈타인의 우주적 종교와 불교:양자역학이 묻고 불교가 답하다> (김성구 2018) 세상의 많은 종교와 윤리 도덕 강령 중에서 과학적 진리와 충돌하지 않고 조화를 이루는 것이 불교의 연기법이다. 시공간의 모양과 물질의 분포는 어느 쪽이 먼저 결정되고 그에 따라 다른 쪽이 결정되는 것이 아니라 함께 서로를 결정한다. 둘은 상호의존 관계다. 어떤 사물도 다른 것과의 관계를 떠나 독립해서 존재할 수는 없으며 모든 것은 다른 것과의 관계를 통해서만 의미를 가진다.

색즉시공 공즉시색. 이 문장을 양자역학과 연결하려면 색과 공을 존재와 무로 해석하는게 자연스럽다. 우리가 감각으로 인지하는 세계는 물질로 꽉 차 있다. 그렇지만 그 역도 성립한다. 겉보기는 꽉 찼으나 실제로는 텅 비어 있다. 수소 원자로 가상적인 사고실험을 해 보자. 원자핵을 농구공 크기로 확대하고 전자도 같은 비율로 키운다. 그래도 여전히 전자는 작은 점이며 농구공에서 10킬로미터 정도 떨어져 있다. 서울로 치면 세종문화회관 자리에 농구공이 하나 있고 영등포역 근처에 깨알보다 작은 점 하나가 있는 그림이다. 농구공과 점 말고는 아무것도 없다. 수소 원자는 이렇게 생겼다. 하지만 어떤 물질도 들어오지 못한다. 그러니 꽉 차 있다고도 할수 있다. 세상은 원자로 꽉 차 있고 원자는 모두 텅 비어 있다. 존재와 무를 어찌 구분할 것인가.

지구는 태양에서 약 1억 5,000만 킬로미터 정도 떨여져 있어 빛의 속도로 달려도 8분 정도 걸림. 둘 사이에는 수성과 금성 뿐 공간은 대부분 비어 있다. 우리 은하는 별이 촘촘한데도 그렇다. 우주여행은 사실 볼거리가 없다. 가도 가도 어둠뿐이다. 우주 전체가 텅 비었다고 해도 지나친 말은 아니다.

원자는 왜 안정되어 있을까? 원자핵과 전자 사이의 빈 곳을 그 무엇도 침범하지 못하는 이유는 무엇인가? 물질은 왜 뒤섞이지 않는가? 힘 때문이다. 원자의 구조를 결정하고 원자를 결합해 물질을 형성하는 힘은 핵력과 전자기력이다. 핵력은 강력과 약력 두가지가 있는데 강력은 양성자와 중성자를 뭉쳐 원자핵을 만든다. 양성자와 중성자는 근본입자가 아니며 그 입자를 만드는 쿼크가 글로온이라는 입자를 교환하면서 강력을 만든다. 약력은 원자핵의 베타 붕괴에 관여한다. 베타 붕괴는 원자핵의 중성자와 양성자가 전자나 양전자를 방출하고 양성자와 중성자로 바뀌는 현상이다.

(위키 백과) 베타 붕괴(beta decay)는 핵물리학에서 방사성 감소 중 한 가지를 뜻하는 말로, 베타 입자가 (전자 혹은 양전자를 뜻함) 방출되는 방사성 감쇠를 말한다. 전자가 방출될 경우에는 "음의 베타 붕괴"(β-)라 부르며, 양전자가 방출될 경우에는 "양의 베타 붕괴"(β+)라 불린다.

마르크스 추종자들은 초기 사회주의 사상을 가리켜 ‘공상적 사회주의’라고 하고 자기네 것은 ‘과학적 사회주의’라고 했다. 물질이 관념에 우선한다. 세계의 본질은 운동이다. 사물은 대립물의 통일이다. 변화의 동력은 대립물의 투쟁이다. 양적 축적은 질적 변화를 일으킨다. 모든 사물이 대립물의 통일인것처럼 사회는 대립하는 계급의 통일이다.

(엔트로피 묵시록) 엔트로피 법칙에 따르면 우주는 점점 더 무질서해져 언젠가는 어떤 질서도 남아 있지 않게 된다. 신이 그것을 최종 목표로 삼았다면 굳이 우주를 창조할 필요는 없었다. 엔트로피 법칙은 내게 ‘세상에는 아무리 노력해도 안되는 일이 있다’고 가르쳐 준다. 거부할 수 없는 것은 순순히 받아들이라고 조언한다.

우리 모두는 현재의 무질서도를 유지한 채 원자 배열을 변경하기가 몹시 어려운, 엔트로피가 극도로 낮은 원자 그룹이다. 영구기관을 만들 수 없는 것처럼 이러한 저엔트로피 상태를 영원히 유지하는 것은 불가능하다. 노화와  죽음이 필연이라는 말이다.

과학자들은 우주의 종말이 어떤 형태로 찾아들지 알아냈다. 빛도 파동이기 때문에 도플러 효과가 나타난다. 빛이 관측자에게 접근할 때는 파장이 짧아져 파란색 쪽으로 이동하고(청색이동) 멀어지는 경우에는 빨간색 쪽으로 이동한다(적색 이동). 빛의 도플러 효과다. 1920년대 휴메이슨과 허블은 별과 은하를 관측하다가 은하들은 모두 적색이동을 보이고 멀리 떨어진 은하일수록 적색이동의 정도가 심한 것을 발견함. 이 발견은 빅뱅과 우주의 가속팽창 가설을 뒷받침하는 유력한 증거가 됨.

6장. 우주의 언어인가 천재들의 놀이인가 (수학)

(수학의 아름다움) 과학자는 수학을 우주의 언어로 여기며 물리 세계의 운동을 서술하는데 필요한 수학을 선호한다. 그러나 수학자는 다르다. 우주와 대화하는 것이 아니라 수학 연구 자체를 목적으로 삼는다. 수학의 역사에 이름을 올린 수학자들은 신계 소속이다. 다만 정수론 분야에서 대단한 업적을 이루었다는 평가를 받는 하디는 1940년 <어느 수학자의 변명>이라는 책을 통해서 인간의 언어로 수학에 대해 이야기했다.

수학은 그냥 천재의 학문이 아니라 젊은 천재의 학문이고 수학 천재는 수학 말고 다른 일에 재능이 없다는 뜻이다. 하디는 ‘하찮은 수학은 유용하지만 지루하고 진정한 수학은 아름답지만 무용하다’고 주장했다. 산술 대수학 유클리드기학 미적분학과 대학의 공학 물리학 전공자가 배우는 수학은 하찮은 수학이다. 현대 기하학과 대수학 정수론 집합론 함수론 상대성이론 양자역학은 진정한 수학이다.

<엔드 오브 타임>(브라이언 그린) 수학은 한번 진리로 판명되기만 하면 영원히 진리로 남는다. 이것이 바로 수학의 매력이다.

(천재들의 지적 유희) <세상의 모든 수학>(에르베 레닝 2020) 아리스토텔레스에 연원을 둔 사고방식에 따르면 수학은 아름다움을 추구하는 언어유희일 뿐이다. 수학의 공리는 논리 법칙에 따라 일관된 이론을 구축하는 데 쓰는 규칙일 뿐이다. 그런데도 그렇게 해서 얻은 수학의 결과가 현실에서 유용한 것은 그렇게 되도록 공리를 선택했기 때문이다.

어떤 수학자는 수학적 실재라는 것을 부정한다. 20세기 초반 세계 수학계의 지도자로 일컬어졌던 힐베르트(1862~1943)가 대표 인물이다. 그는 수와 원 같은 추상적 개념을 인간의 의식과 무관한 완벽하고 절대적인 존재로 인정하지 않았다. 수학을 기호와 논리 규칙으로 하는 게임으로 간주했다. 예컨대 ‘2+2=4’가 참인 것은 수로 이루어진 세계를 옳게 기술하기 때문이 아니라 규칙에 따라 논리체계 안에서 유도할 수 있기 때문이라고 주장했다.

괴델(1906~1978)은 바로 그 시기에 ‘불완전성 정리’를 제출함으로써 수학이 기호로 하는 게임이라 하더라도 완전하고 모순이 없는 게임은 아님을 증명했다. 괴델은 또 수학의 어떤 논리체계도 자체 수단으로는 모순이 없다는 것을 보일 수 없다는 것도 증명했다. 스스로 무모순성을 증명할 수 없다면 수학을 일관된 논리체계로 인정할 수 없다. 괴델은 ‘나는 증명될 수 없다’고 말하는 공식이 참임을 수학의 논리체계 밖에서 ‘알 수 있는’ 것은 우리에게 초감각적인 ‘수학적 직관’이 있기 때문이라는 말을 하고 싶어서 불완전성 정리를 제출했다고 함

수학은 수학자들이 창조한 추상의 세계다. 수학자는 수학적 실재를 서술하려고 수학을 연구하지 않는다. 수학의 아름다움과 수학적 진리의 영원성에 끌려 추상의 세계를 구축한다.

(난 부럽지가 않아) 수학 천재는 ‘발명왕’과 달리 99퍼센트의 노력으로 만들수 없다. 수학 역사의 최고 천재로 널리 인정하는 가우스(1777~1855)는 12세에 <유클리드 원론>의 문제점을 감지했고 15세에 평행선 공리를 위배해도 모순이 없는 기하학이 성립한다는 사실을 파악했으며 19세에는 자와 컴퍼스만으로 정십칠각형을 작도할 수 있다는 것을 증명함으로써 2,000년 동안 해결하지 못한 임의의 n각형 작도 문제 해결 실마리를 찾음. 그는 괴팅겐대학교 교수이자 괴팅겐 천문대장을 겸하며 다른 천체의 중력 때문에 태양계 행성의 궤도가 달라지는 섭동의 크기를 계산하는 방법을 제시함.

‘노력형’에 그나마 가까운 수학자는 ‘페르마의 마지막 정리’를 증명한 와일스(1953~) 그는 열 살에 그 문제를 알았고 30년 동안 연구한 끝에 증명함. 수학 정리 하나를 증명하는 데 인생을 바친 셈이다. 페르마의 마지막 정리- n이 3 이상의 정수일 때 xn+yn=zn 를 충족하는 정수해 (x,y,z)는 존재하지 않는다. 와일스는 현대 수학의 최신 방법론을 동원해 증명했는데 증명 과정이 책 두 권 분량이 될만큼 길고 복잡함.