풀이&답 Re:산술.기하.조화 평균요.....

[구르자]

요넘은 <Jensen의 부등식> 을 알면 쉽게 풀수 있는 문젠데......

우선 <Jensen의 부등식>부터 설명하면,
f(x)가 위로 볼록일때(즉, f(x)''< 0 ), 일반적으로 다음이 성립한다.

{p1*f(x1) + p2*f(x2) +......+ pn*f(xn)}/{p1+...+pn} <=

f[{p1*x1 + p1*x2 +.....+ pn*xn}/{p1 +...+ pn}] (단, pi> 0,등호는 x1=x2=.......=xn)

그리고 이것은 아래로 볼록일때는 부등호방향이 반대가 됩니다.
jensen의 부등식에 관한 증명은 자료실에 시간나면, 적어서 올리죠.

그러면, 밑을 10으로 하는 상용로그 log는 위로 볼록하므로, jensen의 부등식에 의해서,

log{{a1+a2+.....+an)/n} >= {log(a1)+log(a2)+.....log(an)}/n 을 얻을수 있는데, 이것을 정리하면,
(a1+a2+.....+an)/n >= n승근(a1*a2*.......*an) 을 얻을 수 있습니다.

이건, 산술 기하평균증명이고,

이번에는, 위에서와 비슷하게,

log[{(1/a1)+(1/a2)+.....(1/an)}/n] >= {log(1/a1)+log(1/a2)+....+log(1/an)}/n

에서, 정리하면,

n승근(a1*a2*......*an) >= 1/[{(1/a1)+(1/a2)+.....+(1/an)}/n]

이라는 기하조화평균사이에 관계도 증명할수 있습니다.
물론 등호는 젠센의 부등식에 의해서, a1=a2=.....= an 일때, 성립합니다.




--------------------- [원본 메세지] ---------------------
산술.기하.조화 평균사이에 관계 아시죠?
a+b/2 >= 루트(ab) >= 2ab/(a+b)

근데 이건, 변수가 2개일때이구, 일반적으로 n개일때도 성립한다는건 많이들아는데, 그걸 어케 증명하나요?

아시는분.......리플요...




--------------------- [원본 메세지] ---------------------
산술.기하.조화 평균사이에 관계 아시죠?
a+b/2 >= 루트(ab) >= 2ab/(a+b)

근데 이건, 변수가 2개일때이구, 일반적으로 n개일때도 성립한다는건 많이들아는데, 그걸 어케 증명하나요?

아시는분.......리플요...